计算机图形学

1. 图形学基础

1.1 坐标系统

1.2 变换矩阵

平移：

$T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

缩放：

$S=\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

旋转（绕 Z 轴）：

$R_z=\left(\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

1.3 MVP 变换

${\mathbf{p}}_{clip}=M_{projection}\times M_{view}\times M_{model}\times {\mathbf{p}}_{local}$

2. 投影

2.1 透视投影

近大远小，符合人眼视觉：

$M_{persp}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& -\frac{f+n}{f-n}& -\frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)$

其中 $n$ 为近裁剪面距离，$f$ 为远裁剪面距离。

2.2 正交投影

平行投影，无近大远小：

$M_{ortho}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

3. 光栅化

3.1 三角形光栅化

将三角形覆盖的像素标记为”内部”。

判断点在三角形内：

使用叉积判断：

${\vec{v}}_0\times {\vec{v}}_1>0\wedge {\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2>0\wedge {\vec{v}}_2\times {\vec{v}}_0>0$

3.2 重心坐标

三角形内任意点 $P$ 可表示为：

$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$

$\alpha +\beta +\gamma =1,\alpha ,\beta ,\gamma \ge 0$

$\alpha =\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\beta =\frac{S_{PCA}}{S_{ABC}},\gamma =\frac{S_{PAB}}{S_{ABC}}$

3.3 Z-Buffer 算法

维护深度缓冲区，解决遮挡问题：

for each triangle:
    for each pixel in triangle:
        if z < zbuffer[x][y]:
            zbuffer[x][y] = z
            framebuffer[x][y] = color

时间复杂度：$O(n)$（$n$ 为三角形数 × 每个三角形的像素数）

空间复杂度：$O(W\times H)$（帧缓冲 + 深度缓冲）

4. 光照模型

4.1 Phong 光照模型

$I=I_a\cdot k_a+I_d\cdot k_d(\mathbf{N}\cdot \mathbf{L})+I_s\cdot k_s(\mathbf{R}\cdot \mathbf{V}{)}^n$

Blinn-Phong 改进：用半程向量 $\mathbf{H}=\frac{\mathbf{L}+\mathbf{V}}{\Vert \mathbf{L}+\mathbf{V}\Vert }$ 替代 $\mathbf{R}$：

$I_{specular}=k_s(\mathbf{N}\cdot \mathbf{H}{)}^n$

4.2 着色频率

5. 纹理映射

5.1 纹理坐标

将2D纹理映射到3D表面：

$(u,v)\in [0,1]\times [0,1]$

5.2 纹理过滤

Mipmap：预计算多级纹理，根据像素与纹理的距离选择级别：

$\text{级别}={\log }_2\left(\max \left(\frac{du}{dx},\frac{dv}{dx},\frac{du}{dy},\frac{dv}{dy}\right)\right)$

5.3 法线贴图

用纹理存储法线方向，模拟表面细节而不增加几何复杂度：

${\mathbf{N}}^{\prime }=\text{normalize}(T\cdot {\mathbf{n}}_t)$

其中 $T$ 为切线空间变换矩阵，${\mathbf{n}}_t$ 为纹理中的法线。

6. 渲染管线

6.1 图形渲染管线

顶点数据 → 顶点着色器 → 图元装配 → 几何着色器 → 光栅化 → 片段着色器 → 混合 → 帧缓冲

6.2 光线追踪

从相机发射光线，与场景求交：

for each pixel:
    ray = generate_ray(pixel)
    hit = trace_ray(ray, scene)
    color = shade(hit)

递归光线追踪：在交点处继续发射反射/折射光线。

加速结构：

6.3 路径追踪

蒙特卡洛方法求解渲染方程：

$L_o(p,{\omega }_o)=L_e(p,{\omega }_o)+{\int }_{{\Omega }^{+}}{f}_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)L_i(p,{\omega }_i)(\mathbf{n}\cdot {\omega }_i)d{\omega }_i$

通过采样估计积分：

$L_o\approx L_e+\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\frac{f_r{L}_i(\mathbf{n}\cdot {\omega }_i)}{p({\omega }_i)}$

收敛速度：$O(1/\sqrt{N})$