计算机图形学

1. 图形学基础

1.1 坐标系统

1.2 变换矩阵

平移：

$T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

缩放：

$S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

旋转（绕 Z 轴）：

$R_z = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1.3 MVP 变换

$\mathbf{p}_{clip} = M_{projection} \times M_{view} \times M_{model} \times \mathbf{p}_{local}$

2. 投影

2.1 透视投影

近大远小，符合人眼视觉：

$M_{persp} = \begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

其中 $n$ 为近裁剪面距离，$f$ 为远裁剪面距离。

2.2 正交投影

平行投影，无近大远小：

$M_{ortho} = \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & -\frac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 光栅化

3.1 三角形光栅化

将三角形覆盖的像素标记为”内部”。

判断点在三角形内：

使用叉积判断：

$\vec{v}_0 \times \vec{v}_1 > 0 \wedge \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 > 0 \wedge \vec{v}_2 \times \vec{v}_0 > 0$

3.2 重心坐标

三角形内任意点 $P$ 可表示为：

$P = \alpha A + \beta B + \gamma C$

$\alpha + \beta + \gamma = 1, \quad \alpha, \beta, \gamma \geq 0$

$\alpha = \frac{S_{PBC}}{S_{ABC}}, \quad \beta = \frac{S_{PCA}}{S_{ABC}}, \quad \gamma = \frac{S_{PAB}}{S_{ABC}}$

3.3 Z-Buffer 算法

维护深度缓冲区，解决遮挡问题：

for each triangle:
    for each pixel in triangle:
        if z < zbuffer[x][y]:
            zbuffer[x][y] = z
            framebuffer[x][y] = color

时间复杂度：$O(n)$（$n$ 为三角形数 × 每个三角形的像素数）

空间复杂度：$O(W \times H)$（帧缓冲 + 深度缓冲）

4. 光照模型

4.1 Phong 光照模型

$I = I_a \cdot k_a + I_d \cdot k_d (\mathbf{N} \cdot \mathbf{L}) + I_s \cdot k_s (\mathbf{R} \cdot \mathbf{V})^n$

Blinn-Phong 改进：用半程向量 $\mathbf{H} = \frac{\mathbf{L}+\mathbf{V}}{\|\mathbf{L}+\mathbf{V}\|}$ 替代 $\mathbf{R}$：

$I_{specular} = k_s (\mathbf{N} \cdot \mathbf{H})^n$

4.2 着色频率

5. 纹理映射

5.1 纹理坐标

将2D纹理映射到3D表面：

$(u, v) \in [0, 1] \times [0, 1]$

5.2 纹理过滤

Mipmap：预计算多级纹理，根据像素与纹理的距离选择级别：

$\text{级别} = \log_2\left(\max\left(\frac{du}{dx}, \frac{dv}{dx}, \frac{du}{dy}, \frac{dv}{dy}\right)\right)$

5.3 法线贴图

用纹理存储法线方向，模拟表面细节而不增加几何复杂度：

$\mathbf{N}' = \text{normalize}(T \cdot \mathbf{n}_t)$

其中 $T$ 为切线空间变换矩阵，$\mathbf{n}_t$ 为纹理中的法线。

6. 渲染管线

6.1 图形渲染管线

顶点数据 → 顶点着色器 → 图元装配 → 几何着色器 → 光栅化 → 片段着色器 → 混合 → 帧缓冲

6.2 光线追踪

从相机发射光线，与场景求交：

for each pixel:
    ray = generate_ray(pixel)
    hit = trace_ray(ray, scene)
    color = shade(hit)

递归光线追踪：在交点处继续发射反射/折射光线。

加速结构：

6.3 路径追踪

蒙特卡洛方法求解渲染方程：

$L_o(p, \omega_o) = L_e(p, \omega_o) + \int_{\Omega^+} f_r(p, \omega_i, \omega_o) L_i(p, \omega_i) (\mathbf{n} \cdot \omega_i) d\omega_i$

通过采样估计积分：

$L_o \approx L_e + \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{f_r L_i (\mathbf{n} \cdot \omega_i)}{p(\omega_i)}$

收敛速度：$O(1/\sqrt{N})$