代数系统

12 minAdvanced2026/6/14

代数运算与性质、半群与群、子群与陪集、Lagrange定理、环与域、同态与同构。

1. 代数运算与性质

1.1 代数运算

设 SS 是非空集合。映射 f:Sn→Sf: S^n \to S 称为 SS 上的 nn 元运算。

最常用的是二元运算 ∗:S×S→S*: S \times S \to S，记作 a∗ba * b。

1.2 运算的性质

封闭性：∀a,b∈S,a∗b∈S\forall a, b \in S, a * b \in S

交换律：a∗b=b∗aa * b = b * a

结合律：(a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c)

分配律（两个运算间）：a∗(b∘c)=(a∗b)∘(a∗c)a * (b \circ c) = (a * b) \circ (a * c)（左分配）

吸收律：a∗(a∘b)=aa * (a \circ b) = a

幂等律：a∗a=aa * a = a

1.3 特殊元素

单位元（幺元）：e∗a=a∗e=ae * a = a * e = a（∀a∈S\forall a \in S）

若存在，则唯一。证明：设 e1,e2e_1, e_2 都是单位元，e1=e1∗e2=e2e_1 = e_1 * e_2 = e_2。

零元：θ∗a=a∗θ=θ\theta * a = a * \theta = \theta（∀a∈S\forall a \in S）

逆元：若 a∗b=b∗a=ea * b = b * a = e，则 bb 是 aa 的逆元，记作 a−1a^{-1}。

在有单位元且满足结合律的系统中，逆元若存在则唯一。

例：(Z,+)(\mathbb{Z}, +) 的单位元为 00，aa 的逆元为 −a-a，无零元。

例：(Z,×)(\mathbb{Z}, \times) 的单位元为 11，零元为 00，只有 ±1\pm 1 有逆元。

2. 半群与群

2.1 半群

半群：(S,∗)(S, *) 满足封闭性和结合律。

独异点（含幺半群）：有单位元的半群。

例：

  • (N,+)(\mathbb{N}, +)：半群，不是独异点（无单位元——若 N\mathbb{N} 含0则为独异点）
  • (Z,+)(\mathbb{Z}, +)：独异点（单位元0）
  • 字符串集合在连接运算下：独异点（单位元为空串）

2.2 群

群 (G,∗)(G, *) 满足：

  1. 封闭性
  2. 结合律
  3. 有单位元
  4. 每个元素有逆元

Abel 群（交换群）：满足交换律的群。

群的性质：

  • 消去律：a∗b=a∗c⇒b=ca * b = a * c \Rightarrow b = c
  • 方程有解：a∗x=ba * x = b 有唯一解 x=a−1∗bx = a^{-1} * b
  • (a−1)−1=a(a^{-1})^{-1} = a
  • (a∗b)−1=b−1∗a−1(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}

例：

  • (Z,+)(\mathbb{Z}, +)：Abel 群
  • (Q∗,×)(\mathbb{Q}^*, \times)：Abel 群（Q∗=Q∖{0}\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}）
  • nn 阶可逆矩阵在乘法下：群（非 Abel）
  • (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n)：Abel 群（模 nn 加法）

2.3 群的阶

  • 群的阶 ∣G∣|G|：群中元素个数
  • 元素的阶：使 an=ea^n = e 的最小正整数 nn，记作 o(a)o(a)

例：Z6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\} 在模6加法下：

  • o(0)=1o(0) = 1，o(1)=6o(1) = 6，o(2)=3o(2) = 3，o(3)=2o(3) = 2，o(4)=3o(4) = 3，o(5)=6o(5) = 6

2.4 置换群

nn 元置换：{1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} 到自身的双射。

所有 nn 元置换在复合运算下构成对称群 SnS_n，∣Sn∣=n!|S_n| = n!。

轮换表示：(1 3 5)(1\,3\,5) 表示 1→3→5→11 \to 3 \to 5 \to 1。

对换：长度为2的轮换，如 (1 3)(1\,3)。

定理：每个置换可分解为不相交轮换的复合，也可分解为对换的复合。

2.5 循环群

若群 GG 中存在元素 aa 使得 G={an∣n∈Z}G = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}，则 GG 为循环群，aa 为生成元。

定理：

  • 无限循环群同构于 (Z,+)(\mathbb{Z}, +)
  • nn 阶循环群同构于 (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n)
  • nn 阶循环群的生成元个数为 φ(n)\varphi(n)（Euler 函数）

3. 子群与陪集

3.1 子群

设 (G,∗)(G, *) 是群，H⊆GH \subseteq G。若 (H,∗)(H, *) 也是群，则 HH 是 GG 的子群，记作 H≤GH \leq G。

判定：H≤G  ⟺  ∀a,b∈H,a∗b−1∈HH \leq G \iff \forall a, b \in H, a * b^{-1} \in H

例：

  • {e}\{e\} 和 GG 是 GG 的平凡子群
  • nZ={nk∣k∈Z}n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\} 是 (Z,+)(\mathbb{Z}, +) 的子群

3.2 陪集

设 H≤GH \leq G，a∈Ga \in G：

  • 左陪集：aH={a∗h∣h∈H}aH = \{a * h \mid h \in H\}
  • 右陪集：Ha={h∗a∣h∈H}Ha = \{h * a \mid h \in H\}

性质：

  • aH=bH  ⟺  a−1∗b∈HaH = bH \iff a^{-1} * b \in H
  • 任意两个左陪集要么相等要么不相交
  • ∣aH∣=∣H∣|aH| = |H|（所有陪集大小相同）

3.3 Lagrange 定理

设 H≤GH \leq G，∣G∣|G| 有限，则

∣G∣=[G:H]⋅∣H∣|G| = [G:H] \cdot |H|

其中 [G:H][G:H] 为 HH 在 GG 中的指数（左陪集的个数）。

推论：

  • 子群的阶整除群的阶
  • 元素的阶整除群的阶：o(a)∣∣G∣o(a) \mid |G|
  • 素数阶群必为循环群

例：∣G∣=6|G| = 6 的群的子群阶只能是 1, 2, 3, 6。

4. 正规子群与商群

4.1 正规子群

若 ∀a∈G,aH=Ha\forall a \in G, aH = Ha，则 HH 是 GG 的正规子群，记作 H⊴GH \trianglelefteq G。

等价条件：∀a∈G,aHa−1=H\forall a \in G, aHa^{-1} = H

例：Abel 群的任何子群都是正规子群。

4.2 商群

设 H⊴GH \trianglelefteq G，商群 G/HG/H 的元素为 HH 的陪集，运算为：

(aH)(bH)=(ab)H(aH)(bH) = (ab)H

∣G/H∣=[G:H]=∣G∣/∣H∣|G/H| = [G:H] = |G|/|H|

例：Z/nZ≅Zn\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n

5. 环与域

5.1 环

环 (R,+,⋅)(R, +, \cdot) 满足：

  1. (R,+)(R, +) 是 Abel 群
  2. (R,⋅)(R, \cdot) 是半群
  3. 分配律：a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + ac，(b+c)a=ba+ca(b+c)a = ba + ca

交换环：乘法满足交换律的环。

含幺环：乘法有单位元的环。

例：

  • (Z,+,×)(\mathbb{Z}, +, \times)：含幺交换环
  • (Zn,+n,×n)(\mathbb{Z}_n, +_n, \times_n)：含幺交换环
  • nn 阶矩阵环 Mn(R)M_n(\mathbb{R})：含幺非交换环

5.2 整环与域

零因子：a≠0,b≠0a \neq 0, b \neq 0 但 ab=0ab = 0。

整环：无零因子的含幺交换环。

域：每个非零元素有乘法逆元的整环。

例：

  • Z\mathbb{Z} 是整环但不是域（2无逆元）
  • Q\mathbb{Q}，R\mathbb{R}，C\mathbb{C} 是域
  • Zp\mathbb{Z}_p（pp 为素数）是有限域（Galois 域 GF(p)\text{GF}(p)）
  • Z6\mathbb{Z}_6 不是整环（2×3=02 \times 3 = 0）

5.3 理想

设 (R,+,⋅)(R, +, \cdot) 是环，I⊆RI \subseteq R。若：

  1. (I,+)(I, +) 是 (R,+)(R, +) 的子群
  2. ∀r∈R,a∈I\forall r \in R, a \in I：ra∈Ira \in I 且 ar∈Iar \in I

则 II 是 RR 的理想。

商环 R/IR/I 类似商群。

6. 同态与同构

6.1 群同态

设 (G1,∗)(G_1, *) 和 (G2,∘)(G_2, \circ) 是群。映射 φ:G1→G2\varphi: G_1 \to G_2 若满足

φ(a∗b)=φ(a)∘φ(b)\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ \varphi(b)

则 φ\varphi 为群同态。

核：ker⁡φ={a∈G1∣φ(a)=e2}\ker\varphi = \{a \in G_1 \mid \varphi(a) = e_2\}

像：Im φ={φ(a)∣a∈G1}\text{Im}\,\varphi = \{\varphi(a) \mid a \in G_1\}

性质：

  • ker⁡φ⊴G1\ker\varphi \trianglelefteq G_1
  • Im φ≤G2\text{Im}\,\varphi \leq G_2
  • φ\varphi 是单射   ⟺  \iff ker⁡φ={e1}\ker\varphi = \{e_1\}

6.2 群同构

若同态 φ\varphi 是双射，则 φ\varphi 为同构，记作 G1≅G2G_1 \cong G_2。

Cayley 定理：任何 nn 阶群同构于 SnS_n 的某个子群。

6.3 同态基本定理

G1/ker⁡φ≅Im φG_1/\ker\varphi \cong \text{Im}\,\varphi

例：φ:Z→Zn\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n，φ(k)=k mod n\varphi(k) = k \bmod n。

ker⁡φ=nZ\ker\varphi = n\mathbb{Z}，Im φ=Zn\text{Im}\,\varphi = \mathbb{Z}_n。 Z/nZ≅Zn\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n。

6.4 环同态

设 (R1,+1,⋅1)(R_1, +_1, \cdot_1) 和 (R2,+2,⋅2)(R_2, +_2, \cdot_2) 是环。映射 φ:R1→R2\varphi: R_1 \to R_2 若满足：

φ(a+1b)=φ(a)+2φ(b)\varphi(a +_1 b) = \varphi(a) +_2 \varphi(b)

φ(a⋅1b)=φ(a)⋅2φ(b)\varphi(a \cdot_1 b) = \varphi(a) \cdot_2 \varphi(b)

则 φ\varphi 为环同态。

环同态基本定理：R1/ker⁡φ≅Im φR_1/\ker\varphi \cong \text{Im}\,\varphi

6.5 第一同构定理

设 H⊴GH \trianglelefteq G，K≤GK \leq G，则：

HK/K≅H/(H∩K)HK/K \cong H/(H \cap K)