代数系统

1. 代数运算与性质

1.1 代数运算

设 $S$ 是非空集合。映射 $f:S^n\to S$ 称为 $S$ 上的 $n$ 元运算。

最常用的是二元运算 $\ast :S\times S\to S$，记作 $a\ast b$。

1.2 运算的性质

封闭性：$\forall a,b\in S,a\ast b\in S$

交换律：$a\ast b=b\ast a$

结合律：$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$

分配律（两个运算间）：$a\ast (b\circ c)=(a\ast b)\circ (a\ast c)$（左分配）

吸收律：$a\ast (a\circ b)=a$

幂等律：$a\ast a=a$

1.3 特殊元素

单位元（幺元）：$e\ast a=a\ast e=a$（$\forall a\in S$）

若存在，则唯一。证明：设 $e_1,e_2$ 都是单位元，$e_1=e_1\ast e_2=e_2$。

零元：$\theta \ast a=a\ast \theta =\theta$（$\forall a\in S$）

逆元：若 $a\ast b=b\ast a=e$，则 $b$ 是 $a$ 的逆元，记作 $a^{-1}$。

在有单位元且满足结合律的系统中，逆元若存在则唯一。

例：$(\mathbb{Z},+)$ 的单位元为 $0$，$a$ 的逆元为 $-a$，无零元。

例：$(\mathbb{Z},\times )$ 的单位元为 $1$，零元为 $0$，只有 $\pm 1$ 有逆元。

2. 半群与群

2.1 半群

半群：$(S,\ast )$ 满足封闭性和结合律。

独异点（含幺半群）：有单位元的半群。

例：

• $(\mathbb{N},+)$：半群，不是独异点（无单位元——若 $\mathbb{N}$ 含0则为独异点）
• $(\mathbb{Z},+)$：独异点（单位元0）
• 字符串集合在连接运算下：独异点（单位元为空串）

2.2 群

群 $(G,\ast )$ 满足：

1. 封闭性
2. 结合律
3. 有单位元
4. 每个元素有逆元

Abel 群（交换群）：满足交换律的群。

群的性质：

• 消去律：$a\ast b=a\ast c\Rightarrow b=c$
• 方程有解：$a\ast x=b$ 有唯一解 $x=a^{-1}\ast b$
• $(a^{-1}{)}^{-1}=a$
• $(a\ast b{)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$

例：

• $(\mathbb{Z},+)$：Abel 群
• $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$：Abel 群（${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$）
• $n$ 阶可逆矩阵在乘法下：群（非 Abel）
• $({\mathbb{Z}}_n,{+}_n)$：Abel 群（模 $n$ 加法）

2.3 群的阶

• 群的阶 $|G|$：群中元素个数
• 元素的阶：使 $a^n=e$ 的最小正整数 $n$，记作 $o(a)$

例：${\mathbb{Z}}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ 在模6加法下：

• $o(0)=1$，$o(1)=6$，$o(2)=3$，$o(3)=2$，$o(4)=3$，$o(5)=6$

2.4 置换群

$n$ 元置换：$\{1,2,\dots ,n\}$ 到自身的双射。

所有 $n$ 元置换在复合运算下构成对称群 $S_n$，$|S_n|=n!$。

轮换表示：$(135)$ 表示 $1\to 3\to 5\to 1$。

对换：长度为2的轮换，如 $(13)$。

定理：每个置换可分解为不相交轮换的复合，也可分解为对换的复合。

2.5 循环群

若群 $G$ 中存在元素 $a$ 使得 $G=\{a^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$，则 $G$ 为循环群，$a$ 为生成元。

定理：

• 无限循环群同构于 $(\mathbb{Z},+)$
• $n$ 阶循环群同构于 $({\mathbb{Z}}_n,{+}_n)$
• $n$ 阶循环群的生成元个数为 $\phi (n)$（Euler 函数）

3. 子群与陪集

3.1 子群

设 $(G,\ast )$ 是群，$H\subseteq G$。若 $(H,\ast )$ 也是群，则 $H$ 是 $G$ 的子群，记作 $H\le G$。

判定：$H\le G⟺\forall a,b\in H,a\ast b^{-1}\in H$

例：

• $\{e\}$ 和 $G$ 是 $G$ 的平凡子群
• $n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$ 是 $(\mathbb{Z},+)$ 的子群

3.2 陪集

设 $H\le G$，$a\in G$：

• 左陪集：$aH=\{a\ast h\mid h\in H\}$
• 右陪集：$Ha=\{h\ast a\mid h\in H\}$

性质：

• $aH=bH⟺a^{-1}\ast b\in H$
• 任意两个左陪集要么相等要么不相交
• $|aH|=|H|$（所有陪集大小相同）

3.3 Lagrange 定理

设 $H\le G$，$|G|$ 有限，则

$|G|=[G:H]\cdot |H|$

其中 $[G:H]$ 为 $H$ 在 $G$ 中的指数（左陪集的个数）。

推论：

• 子群的阶整除群的阶
• 元素的阶整除群的阶：$o(a)\mid |G|$
• 素数阶群必为循环群

例：$|G|=6$ 的群的子群阶只能是 1, 2, 3, 6。

4. 正规子群与商群

4.1 正规子群

若 $\forall a\in G,aH=Ha$，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群，记作 $H⊴G$。

等价条件：$\forall a\in G,aH{a}^{-1}=H$

例：Abel 群的任何子群都是正规子群。

4.2 商群

设 $H⊴G$，商群 $G/H$ 的元素为 $H$ 的陪集，运算为：

$(aH)(bH)=(ab)H$

$|G/H|=[G:H]=|G|/|H|$

例：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n$

5. 环与域

5.1 环

环 $(R,+,\cdot )$ 满足：

1. $(R,+)$ 是 Abel 群
2. $(R,\cdot )$ 是半群
3. 分配律：$a(b+c)=ab+ac$，$(b+c)a=ba+ca$

交换环：乘法满足交换律的环。

含幺环：乘法有单位元的环。

例：

• $(\mathbb{Z},+,\times )$：含幺交换环
• $({\mathbb{Z}}_n,{+}_n,{\times }_n)$：含幺交换环
• $n$ 阶矩阵环 $M_n(\mathbb{R})$：含幺非交换环

5.2 整环与域

零因子：$a\ne 0,b\ne 0$ 但 $ab=0$。

整环：无零因子的含幺交换环。

域：每个非零元素有乘法逆元的整环。

例：

• $\mathbb{Z}$ 是整环但不是域（2无逆元）
• $\mathbb{Q}$，$\mathbb{R}$，$\mathbb{C}$ 是域
• ${\mathbb{Z}}_p$（$p$ 为素数）是有限域（Galois 域 $\text{GF}(p)$）
• ${\mathbb{Z}}_6$ 不是整环（$2\times 3=0$）

5.3 理想

设 $(R,+,\cdot )$ 是环，$I\subseteq R$。若：

1. $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的子群
2. $\forall r\in R,a\in I$：$ra\in I$ 且 $ar\in I$

则 $I$ 是 $R$ 的理想。

商环 $R/I$ 类似商群。

6. 同态与同构

6.1 群同态

设 $(G_1,\ast )$ 和 $(G_2,\circ )$ 是群。映射 $\phi :G_1\to G_2$ 若满足

$\phi (a\ast b)=\phi (a)\circ \phi (b)$

则 $\phi$ 为群同态。

核：$\ker \phi =\{a\in G_1\mid \phi (a)=e_2\}$

像：$\text{Im}\phi =\{\phi (a)\mid a\in G_1\}$

性质：

• $\ker \phi ⊴G_1$
• $\text{Im}\phi \le G_2$
• $\phi$ 是单射 $⟺$ $\ker \phi =\{e_1\}$

6.2 群同构

若同态 $\phi$ 是双射，则 $\phi$ 为同构，记作 $G_1\cong G_2$。

Cayley 定理：任何 $n$ 阶群同构于 $S_n$ 的某个子群。

6.3 同态基本定理

$G_1/\ker \phi \cong \text{Im}\phi$

例：$\phi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$，$\phi (k)=k\mathrm{mod}n$。

$\ker \phi =n\mathbb{Z}$，$\text{Im}\phi ={\mathbb{Z}}_n$。 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n$。

6.4 环同态

设 $(R_1,{+}_1,{\cdot }_1)$ 和 $(R_2,{+}_2,{\cdot }_2)$ 是环。映射 $\phi :R_1\to R_2$ 若满足：

$\phi (a{+}_{1}b)=\phi (a){+}_2\phi (b)$

$\phi (a{\cdot }_{1}b)=\phi (a){\cdot }_2\phi (b)$

则 $\phi$ 为环同态。

环同态基本定理：$R_1/\ker \phi \cong \text{Im}\phi$

6.5 第一同构定理

设 $H⊴G$，$K\le G$，则：

$HK/K\cong H/(H\cap K)$