不定积分典型例题

1. 凑微分法

例1：求 $\int \frac{dx}{x(1+\ln x)}$

解：

$\int \frac{dx}{x(1+\ln x)}=\int \frac{d(\ln x)}{1+\ln x}=\int \frac{d(1+\ln x)}{1+\ln x}=\ln |1+\ln x|+C$

例2：求 $\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$

解：

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=2\int \frac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x}{)}^2}=2\arctan \sqrt{x}+C$

例3：求 $\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$

解：

$\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{1}{2}\int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x}dx$

$=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \frac{d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln |\sin x+\cos x|+C$

2. 第二换元法

例4：求 $\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$

解：令 $x=\tan t$，$dx={\sec }^{2}tdt$

$\int \frac{{\sec }^{2}tdt}{{\sec }^{4}t}=\int {\cos }^{2}tdt=\frac{1}{2}\int (1+\cos 2t)dt=\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}+C$

回代：$t=\arctan x$

$=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(1+x^2)}+C$

例5：求 $\int \sqrt{a^2-x^2}dx$（$a>0$）

解：令 $x=a\sin t$，$dx=a\cos tdt$

$\int a\cos t\cdot a\cos tdt=a^2\int {\cos }^{2}tdt=\frac{a^2}{2}\left(t+\frac{\sin 2t}{2}\right)+C$

$=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$

3. 分部积分法

例6：求 $\int x{e}^{x}dx$

解：设 $u=x$，$dv=e^{x}dx$

$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$

例7：求 $\int e^x\sin xdx$

解：设 $u=\sin x$，$dv=e^{x}dx$

$I=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx$

$I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$

$2I=e^x(\sin x-\cos x)$

$I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$

例8：求 $\int \ln xdx$

解：设 $u=\ln x$，$dv=dx$

$\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$

例9：建立递推公式求 $I_n=\int \frac{dx}{(x^2+a^2{)}^n}$

解：

$I_n=\frac{x}{(x^2+a^2{)}^n}+2n\int \frac{x^2}{(x^2+a^2{)}^{n+1}}dx$

$=\frac{x}{(x^2+a^2{)}^n}+2n\int \frac{x^2+a^2-a^2}{(x^2+a^2{)}^{n+1}}dx$

$=\frac{x}{(x^2+a^2{)}^n}+2n{I}_n-2n{a}^2{I}_{n+1}$

$I_{n+1}=\frac{x}{2n{a}^2(x^2+a^2{)}^n}+\frac{2n-1}{2n{a}^2}{I}_n$

4. 有理函数积分

例10：求 $\int \frac{x+3}{x^2-5x+6}dx$

解：部分分式分解：

$\frac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$

$x+3=A(x-3)+B(x-2)$

令 $x=2$：$5=-A$，$A=-5$

令 $x=3$：$6=B$，$B=6$

$\int \frac{x+3}{x^2-5x+6}dx=-5\int \frac{dx}{x-2}+6\int \frac{dx}{x-3}=-5\ln |x-2|+6\ln |x-3|+C$

例11：求 $\int \frac{dx}{x^3+1}$

解：$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

$\frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

$1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)$

令 $x=-1$：$1=3A$，$A=\frac{1}{3}$

比较 $x^2$ 系数：$0=A+B$，$B=-\frac{1}{3}$

比较常数项：$1=A+C$，$C=\frac{2}{3}$

$\int \frac{dx}{x^3+1}=\frac{1}{3}\ln |x+1|-\frac{1}{3}\int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx$

$=\frac{1}{3}\ln |x+1|-\frac{1}{6}\ln (x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C$

5. 三角函数积分

例12：求 $\int {\sin }^{3}xdx$

解：

$\int {\sin }^{3}xdx=\int \sin x(1-{\cos }^{2}x)dx=-\int (1-{\cos }^{2}x)d(\cos x)$

$=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$

例13：求 $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx$

解：

$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\frac{1}{4}\int {\sin }^{2}2xdx=\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos 4x}{2}dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C$

6. 综合题型

例14：求 $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$（$x>1$）

解法一：令 $x=\sec t$，$dx=\sec t\tan tdt$

$\int \frac{\sec t\tan t}{\sec t\cdot \tan t}dt=\int dt=t+C=\text{arcsec}x+C$

解法二：令 $t=\sqrt{x^2-1}$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int \frac{1}{x^2}\cdot \frac{xdx}{\sqrt{x^2-1}}=\int \frac{dt}{1+t^2}=\arctan \sqrt{x^2-1}+C$

例15：求 $\int \max (1,x^2)dx$

解：

$\max (1,x^2)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& |x|\ge 1\\ 1& |x|<1\end{array}$

当 $x<-1$：$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C_1$

当 $-1\le x<1$：$\int 1dx=x+C_2$

当 $x\ge 1$：$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C_3$

由连续性：在 $x=-1$ 处 $\frac{-1}{3}+C_1=-1+C_2$

在 $x=1$ 处 $1+C_2=\frac{1}{3}+C_3$

取 $C_2=0$，则 $C_1=-\frac{2}{3}$，$C_3=\frac{2}{3}$

$\int \max (1,x^2)dx=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}& x<-1\\ x& -1\le x<1\\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}& x\ge 1\end{array}$