函数与极限

1. 函数概念

1.1 函数的定义

设 $D$ 是一个非空数集，若存在一个对应法则 $f$，使得对于 $D$ 中每个 $x$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数，记作 $y=f(x)$。

• 定义域：$D_f=D$
• 值域：$R_f=\{f(x)\mid x\in D\}$
• 对应法则：$f$ 确定了 $x$ 到 $y$ 的映射关系

1.2 函数的几种特性

有界性：若存在 $M>0$，使得对一切 $x\in D$，有 $|f(x)|\le M$，则称 $f(x)$ 在 $D$ 上有界。

单调性：

• 单调递增：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
• 单调递减：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

奇偶性：

• 偶函数：$f(-x)=f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称
• 奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称

周期性：若存在 $T>0$，使得 $f(x+T)=f(x)$ 对一切 $x$ 成立，则 $f$ 为周期函数，$T$ 为周期。

1.3 反函数与复合函数

反函数：若 $y=f(x)$ 是一一对应的，则存在反函数 $x=f^{-1}(y)$，习惯上记为 $y=f^{-1}(x)$。原函数与反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。

复合函数：若 $y=f(u)$，$u=g(x)$，且 $R_g\subseteq D_f$，则 $y=f(g(x))$ 为 $f$ 与 $g$ 的复合函数。

2. 基本初等函数

2.1 幂函数

$y=x^{\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})$

定义域随 $\alpha$ 不同而异。当 $\alpha >0$ 时，函数过 $(1,1)$ 点且在第一象限单调递增。

2.2 指数函数

$y=a^x(a>0,a\ne 1)$

• $a>1$ 时单调递增
• $0<a<1$ 时单调递减
• 恒过 $(0,1)$ 点
• 常用：$y=e^x$，其中 $e={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n\approx 2.71828$

2.3 对数函数

$y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$

对数函数是指数函数的反函数。常用对数：$\lg x={\log }_{10}x$，自然对数：$\ln x={\log }_{e}x$。

对数运算法则：

${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$

${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$

换底公式：${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$

2.4 三角函数

基本恒等式：

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$\sin (x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$

$\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$

$\tan (x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$

2.5 反三角函数

• $\arcsin x$：定义域 $[-1,1]$，值域 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，单调递增
• $\arccos x$：定义域 $[-1,1]$，值域 $[0,\pi ]$，单调递减
• $\arctan x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，单调递增

3. 极限的定义

3.1 数列极限的 $\epsilon$-$N$ 定义

设 $\{a_n\}$ 为数列，$a$ 为常数。若对于任意给定的 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有

$|a_n-a|<\epsilon$

则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$，记作 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$。

例：证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$。

对任意 $\epsilon >0$，取 $N=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil$，当 $n>N$ 时，$|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}<\frac{1}{N}\le \epsilon$。

3.2 函数极限的 $\epsilon$-$\delta$ 定义

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。若对于任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有

$|f(x)-A|<\epsilon$

则称 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限为 $A$，记作 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

例：证明 ${\lim }_{x\to 2}(3x-1)=5$。

对任意 $\epsilon >0$，取 $\delta =\frac{\epsilon }{3}$，当 $0<|x-2|<\delta$ 时，$|3x-1-5|=3|x-2|<3\delta =\epsilon$。

3.3 单侧极限

• 左极限：${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$，记作 $f(x_0^{-})$
• 右极限：${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$，记作 $f(x_0^{+})$

定理：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A⟺f(x_0^{-})=f(x_0^{+})=A$

3.4 极限的基本性质

1. 唯一性：若极限存在，则极限值唯一
2. 局部有界性：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界
3. 局部保号性：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A>0$，则存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $f(x)>0$

4. 极限运算法则

4.1 四则运算法则

设 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，则：

$\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm B$

$\lim [f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$

$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

4.2 夹逼准则

若在 $x_0$ 的某去心邻域内 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $\lim g(x)=\lim h(x)=A$，则 $\lim f(x)=A$。

应用：证明 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。

由单位圆中的面积关系可得：当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时， $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$ 由 ${\lim }_{x\to 0}\cos x=1$ 及夹逼准则得 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。

4.3 单调有界准则

单调有界数列必有极限。

• 单调递增且有上界的数列收敛
• 单调递减且有下界的数列收敛

5. 两个重要极限

5.1 第一个重要极限

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

推广形式：${\lim }_{\phi (x)\to 0}\frac{\sin \phi (x)}{\phi (x)}=1$

例：求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}$。

${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=1\times 1=1$

5.2 第二个重要极限

${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

等价形式：${\lim }_{t\to 0}(1+t{)}^{1/t}=e$

推广形式：${\lim }_{\phi (x)\to \infty }{\left(1+\frac{1}{\phi (x)}\right)}^{\phi (x)}=e$

例：求 ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{2}{x}\right)}^x$。

${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{2}{x}\right)}^x={\lim }_{x\to \infty }{\left[{\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x/2}\right]}^2=e^2$

6. 无穷小与无穷大

6.1 无穷小

若 ${\lim }_{x\to x_0}\alpha (x)=0$，则称 $\alpha (x)$ 为 $x\to x_0$ 时的无穷小。

定理：$\lim f(x)=A⟺f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $\alpha (x)$ 为无穷小。

6.2 无穷小的比较

设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是同一极限过程中的无穷小：

6.3 常用等价无穷小（$x\to 0$）

$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x$

$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},e^x-1\sim x,\ln (1+x)\sim x$

$(1+x{)}^a-1\sim ax,a^x-1\sim x\ln a$

等价无穷小替换定理：在乘除运算中，可用等价无穷小替换。

例：求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}$。

$x\to 0$ 时，$e^x-1\sim x$，$\sin x\sim x$，故 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x}=1$。

6.4 无穷大

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$ 时的无穷大。

关系：在同一极限过程中，$f(x)$ 为无穷大 $⟺$ $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小。

7. 连续与间断

7.1 连续的定义

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，若

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

等价定义：${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$，其中 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

连续的三个条件：

1. $f(x_0)$ 存在
2. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在
3. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

7.2 间断点及其分类

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，则 $x_0$ 为间断点。

7.3 连续函数的性质

定理（最大值最小值定理）：闭区间上的连续函数必有最大值和最小值。

定理（介值定理）：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a)\ne f(b)$，则对 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意值 $C$，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi )=C$。

推论（零点定理）：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi )=0$。

例：证明方程 $x^3-4x^2+1=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个根。

设 $f(x)=x^3-4x^2+1$，$f(0)=1>0$，$f(1)=1-4+1=-2<0$。由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f(\xi )=0$。

7.4 一致连续

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。若对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对 $I$ 中任意 $x_1,x_2$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续。

Cantor 定理：闭区间上的连续函数一定一致连续。