微分中值定理典型例题

1. 罗尔定理应用

例1：证明方程 $x^3-3x+1=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

证明：

存在性：$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，由零点定理，$\exists \xi \in (0,1)$ 使 $f(\xi )=0$。

唯一性：若有两个根 ${\xi }_1<{\xi }_2$，则 $f({\xi }_1)=f({\xi }_2)=0$，由罗尔定理 $\exists c\in ({\xi }_1,{\xi }_2)$ 使 $f^{\prime }(c)=0$。但 $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$，在 $(0,1)$ 内 $f^{\prime }(x)<0$，矛盾。

例2：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续、$(0,1)$ 可导，且 $f(0)=f(1)=0$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=1$。证明：$\exists \xi \in (0,1)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=1$。

证明：令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(0)=0$，$g(1)=-1$，$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。

由 $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}>0$ 和 $g(1)=-1<0$，由零点定理 $\exists c\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 使 $g(c)=0$。

又 $g(0)=0$，由罗尔定理 $\exists \xi \in (0,c)$ 使 $g^{\prime }(\xi )=0$，即 $f^{\prime }(\xi )-1=0$，$f^{\prime }(\xi )=1$。

2. 拉格朗日中值定理

例3：证明：当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$。

证明：设 $f(t)=\ln (1+t)$，在 $[0,x]$ 上用拉格朗日中值定理：

$\frac{\ln (1+x)-\ln 1}{x-0}=\frac{1}{1+\xi },\xi \in (0,x)$

因为 $0<\xi <x$，所以 $\frac{1}{1+x}<\frac{1}{1+\xi }<1$，即：

$\frac{1}{1+x}<\frac{\ln (1+x)}{x}<1$

$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$

例4：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，证明：$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $f(b)-f(a)=\xi f^{\prime }(\xi )\ln \frac{b}{a}$。

证明：令 $g(x)=\ln x$，对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 用柯西中值定理：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{1/\xi }=\xi f^{\prime }(\xi )$

$f(b)-f(a)=\xi f^{\prime }(\xi )\cdot (\ln b-\ln a)=\xi f^{\prime }(\xi )\ln \frac{b}{a}$

3. 柯西中值定理

例5：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导（$a>0$），证明：$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $2\xi [f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f^{\prime }(\xi )$。

证明：令 $g(x)=x^2$，对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 用柯西中值定理：

$\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{2\xi }$

$2\xi [f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f^{\prime }(\xi )$

例6：设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 可导，$f(0)=0$，且 $0\le f^{\prime }(x)\le \frac{1}{2}$，证明：${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x^2}=0$。

证明：由拉格朗日中值定理，$f(x)=f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )\cdot x$，其中 $\xi \in (0,x)$。

$0\le f(x)\le \frac{1}{2}x$

$0\le \frac{f(x)}{x^2}\le \frac{1}{2x}$

由夹逼准则，${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x^2}=0$。

4. 泰勒公式应用

例7：求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$。

解：$e^x$ 的三阶麦克劳林展开：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

${\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{6}$

例8：设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-x}{x^2}=1$，求 $f(0)$，$f^{\prime }(0)$，$f^{\prime \prime }(0)$。

解：泰勒展开 $f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}{x}^2+o(x^2)$

$\frac{f(x)-x}{x^2}=\frac{f(0)+(f^{\prime }(0)-1)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}{x}^2+o(x^2)}{x^2}$

极限为 1，要求：

• $f(0)=0$
• $f^{\prime }(0)-1=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=1$
• $\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}=1\Rightarrow f^{\prime \prime }(0)=2$

5. 证明题综合

例9：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 二阶可导，$f(0)=f(1)=0$，${\min }_{[0,1]}f(x)=-1$。证明：$\exists \xi \in (0,1)$ 使 $f^{\prime \prime }(\xi )\ge 8$。

证明：设 $f(x)$ 在 $x=c\in (0,1)$ 取最小值 $-1$，则 $f^{\prime }(c)=0$。

在 $[0,c]$ 上用泰勒公式（在 $c$ 处展开）：

$f(0)=f(c)+f^{\prime }(c)(0-c)+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_1)}{2}(0-c{)}^2$

$0=-1+0+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_1)}{2}{c}^2\Rightarrow f^{\prime \prime }({\xi }_1)=\frac{2}{c^2}$

在 $[c,1]$ 上同理：

$0=-1+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)}{2}(1-c{)}^2\Rightarrow f^{\prime \prime }({\xi }_2)=\frac{2}{(1-c{)}^2}$

取 $\xi ={\xi }_1$ 或 ${\xi }_2$：

若 $c\le \frac{1}{2}$，则 $f^{\prime \prime }({\xi }_1)=\frac{2}{c^2}\ge \frac{2}{(1/2{)}^2}=8$

若 $c>\frac{1}{2}$，则 $f^{\prime \prime }({\xi }_2)=\frac{2}{(1-c{)}^2}\ge \frac{2}{(1/2{)}^2}=8$

例10：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)=0$，证明：$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )+f^{\prime }(\xi )=0$。

证明：令 $F(x)=e^{x}f(x)$，则 $F(a)=F(b)=0$。

$F(x)$ 在 $[a,b]$ 满足罗尔定理条件，故 $\exists \xi \in (a,b)$ 使 $F^{\prime }(\xi )=0$：

$e^{\xi }f(\xi )+e^{\xi }{f}^{\prime }(\xi )=0\Rightarrow f(\xi )+f^{\prime }(\xi )=0$

例11：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续、$(0,1)$ 可导，$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：$\exists {\xi }_1,{\xi }_2\in (0,1)$ 使 $\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_1)}+\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_2)}=2$。

证明：由介值定理，$\exists c\in (0,1)$ 使 $f(c)=\frac{1}{2}$。

在 $[0,c]$ 上用拉格朗日中值定理：$f^{\prime }({\xi }_1)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=\frac{1}{2c}$

在 $[c,1]$ 上用拉格朗日中值定理：$f^{\prime }({\xi }_2)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac{1}{2(1-c)}$

$\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_1)}+\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_2)}=2c+2(1-c)=2$

6. 函数单调性与极值

例12：求 $f(x)=x^3-3x^2+4$ 的单调区间和极值。

解：$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$x=0$：极大值 $f(0)=4$

$x=2$：极小值 $f(2)=0$

例13：证明：$x>0$ 时 $e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$。

证明：令 $f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$

$f(0)=0$，$f^{\prime }(x)=e^x-1-x$，$f^{\prime }(0)=0$

$f^{\prime \prime }(x)=e^x-1$，当 $x>0$ 时 $f^{\prime \prime }(x)>0$

所以 $f^{\prime }(x)$ 在 $x>0$ 递增，$f^{\prime }(x)>f^{\prime }(0)=0$

所以 $f(x)$ 在 $x>0$ 递增，$f(x)>f(0)=0$，即 $e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$。

7. 凹凸性与拐点

例14：求 $f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$ 的凹凸区间和拐点。

解：$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1{)}^3$

$f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2$

$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 对所有 $x$ 成立，且仅在 $x=1$ 处 $f^{\prime \prime }(x)=0$。

但 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=1$ 两侧不变号，故 $x=1$ 不是拐点。

$f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上都是凹的，无拐点。

例15：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，$f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=0$，证明：$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $|f^{\prime \prime }(\xi )|\ge \frac{4}{(b-a{)}^2}|f(b)-f(a)|$。

证明：设 $c=\frac{a+b}{2}$，在 $[a,c]$ 上对 $f(x)$ 在 $x=a$ 处泰勒展开：

$f(c)=f(a)+f^{\prime }(a)(c-a)+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_1)}{2}(c-a{)}^2=f(a)+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_1)}{2}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2$

同理在 $[c,b]$ 上：

$f(c)=f(b)+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)}{2}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2$

两式相减：

$f(b)-f(a)=\frac{(b-a{)}^2}{8}[f^{\prime \prime }({\xi }_1)-f^{\prime \prime }({\xi }_2)]$

$|f(b)-f(a)|\le \frac{(b-a{)}^2}{8}[|f^{\prime \prime }({\xi }_1)|+|f^{\prime \prime }({\xi }_2)|]\le \frac{(b-a{)}^2}{8}\cdot 2\max \{|f^{\prime \prime }({\xi }_1)|,|f^{\prime \prime }({\xi }_2)|\}$

取 $\xi$ 为 ${\xi }_1$ 或 ${\xi }_2$ 中 $|f^{\prime \prime }|$ 较大者，即得 $|f^{\prime \prime }(\xi )|\ge \frac{4}{(b-a{)}^2}|f(b)-f(a)|$。