多元函数微分典型例题

1. 偏导数计算

例1：设 $z=e^{xy}\sin (x+y)$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解：

$\frac{\partial z}{\partial x}=y{e}^{xy}\sin (x+y)+e^{xy}\cos (x+y)=e^{xy}[y\sin (x+y)+\cos (x+y)]$

$\frac{\partial z}{\partial y}=x{e}^{xy}\sin (x+y)+e^{xy}\cos (x+y)=e^{xy}[x\sin (x+y)+\cos (x+y)]$

例2：设 $z=f(x^2-y^2,e^{xy})$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$。

解：设 $u=x^2-y^2$，$v=e^{xy}$

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x{f}_u+y{e}^{xy}{f}_v$

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=2f_u+2x(2x{f}_{uu}+y{e}^{xy}{f}_{uv})+y{e}^{xy}\cdot y\cdot f_v+y{e}^{xy}(2x{f}_{vu}+y{e}^{xy}{f}_{vv})$

$=2f_u+y^2{e}^{xy}{f}_v+4x^2{f}_{uu}+4xy{e}^{xy}{f}_{uv}+y^2{e}^{2xy}{f}_{vv}$

2. 全微分

例3：求 $z=\arctan \frac{y}{x}$ 的全微分。

解：

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)=\frac{-y}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}$

$dz=\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$

例4：设 $z=f\left(\frac{y}{x}\right)$，验证 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=0$。

解：设 $u=\frac{y}{x}$

$\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(u)\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y}{x^2}{f}^{\prime }$

$\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }(u)\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x}{f}^{\prime }$

$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{x}{f}^{\prime }+\frac{y}{x}{f}^{\prime }=0$

3. 隐函数求导

例5：设 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4z=0$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$。

解：

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x}{2z-4}=\frac{x}{2-z}$

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{(2-z)-x\cdot (-\frac{\partial z}{\partial x})}{(2-z{)}^2}=\frac{(2-z)+\frac{x^2}{2-z}}{(2-z{)}^2}=\frac{(2-z{)}^2+x^2}{(2-z{)}^3}$

例6：设 $z=z(x,y)$ 由方程 $z^3-3xyz=1$ 确定，求 $dz$。

解：令 $F=z^3-3xyz-1=0$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{-3yz}{3z^2-3xy}=\frac{yz}{z^2-xy}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{-3xz}{3z^2-3xy}=\frac{xz}{z^2-xy}$

$dz=\frac{z}{z^2-xy}(ydx+xdy)$

4. 方向导数与梯度

例7：求 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在点 $(1,1)$ 沿方向 $\mathbf{l}=(3,4)$ 的方向导数。

解：$\nabla f=(2x,2y)$，在 $(1,1)$ 处 $\nabla f=(2,2)$

$\mathbf{l}$ 的单位向量：${\mathbf{l}}^0=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$

$\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot {\mathbf{l}}^0=2\cdot \frac{3}{5}+2\cdot \frac{4}{5}=\frac{14}{5}$

例8：求 $f(x,y,z)=xyz$ 在点 $(1,2,3)$ 处的梯度及梯度的模。

解：

$\nabla f=(yz,xz,xy)=(6,3,2)$

$|\nabla f|=\sqrt{36+9+4}=7$

5. 无条件极值

例9：求 $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ 的极值。

解：

$f_x=3x^2-3y=0,f_y=3y^2-3x=0$

由 $x^2=y$ 和 $y^2=x$ 得驻点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。

$A=f_{xx}=6x$，$B=f_{xy}=-3$，$C=f_{yy}=6y$

在 $(0,0)$：$A=0$，$B=-3$，$C=0$，$\Delta =AC-B^2=-9<0$，鞍点。

在 $(1,1)$：$A=6$，$B=-3$，$C=6$，$\Delta =36-9=27>0$，$A>0$，极小值 $f(1,1)=-1$。

6. 条件极值（拉格朗日乘数法）

例10：求 $f(x,y)=xy$ 在条件 $x+y=1$ 下的极值。

解：令 $L=xy+\lambda (1-x-y)$

$L_x=y-\lambda =0,L_y=x-\lambda =0,L_{\lambda }=1-x-y=0$

由前两式 $x=y$，代入第三式 $x=y=\frac{1}{2}$

极大值 $f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$

例11：求内接于椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的长方体的最大体积。

解：设长方体在第一卦限的顶点为 $(x,y,z)$，体积 $V=8xyz$。

令 $L=8xyz+\lambda \left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}\right)$

$L_x=8yz-\frac{2\lambda x}{a^2}=0\Rightarrow \lambda =\frac{4a^{2}yz}{x}$

同理 $\lambda =\frac{4b^{2}xz}{y}=\frac{4c^{2}xy}{z}$

得 $\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$，代入约束条件得 $x=\frac{a}{\sqrt{3}}$，$y=\frac{b}{\sqrt{3}}$，$z=\frac{c}{\sqrt{3}}$

$V_{\max }=8\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{b}{\sqrt{3}}\cdot \frac{c}{\sqrt{3}}=\frac{8abc}{3\sqrt{3}}$

7. 综合题型

例12：证明：$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处连续但偏导数不存在。

证明：连续性：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\sqrt{x^2+y^2}=0=f(0,0)$

偏导数：$f_x(0,0)={\lim }_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$

右极限 $=1$，左极限 $=-1$，极限不存在。同理 $f_y(0,0)$ 也不存在。

例13：设 $u=f(x,y,z)$ 有二阶连续偏导数，令 $x=r\sin \phi \cos \theta$，$y=r\sin \phi \sin \theta$，$z=r\cos \phi$，证明：

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}+\frac{\cos \phi }{r^2\sin \phi }\frac{\partial u}{\partial \phi }+\frac{1}{r^2{\sin }^2\phi }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}$

（此即拉普拉斯算子在球坐标下的表达式，证明略，通过链式法则逐项计算即可。）

例14：求函数 $f(x,y)=2x^2+y^2-2xy$ 在闭区域 $D:x^2+y^2\le 4$ 上的最大值和最小值。

解：

内部：$f_x=4x-2y=0$，$f_y=2y-2x=0$，得驻点 $(0,0)$，$f(0,0)=0$

边界：$x=2\cos t$，$y=2\sin t$

$f=8{\cos }^{2}t+4{\sin }^{2}t-8\sin t\cos t=4+4\cos 2t-4\sin 2t$

$=4+4\sqrt{2}\cos (2t+\frac{\pi }{4})$

最大值 $=4+4\sqrt{2}$，最小值 $=4-4\sqrt{2}$

全局最小值 $=\min (0,4-4\sqrt{2})=4-4\sqrt{2}$

全局最大值 $=4+4\sqrt{2}$

例15：设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，证明：$f$ 在该点沿任意方向的方向导数都存在。

证明：由可微定义：

$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+o(\sqrt{h^2+k^2})$

沿方向 $\mathbf{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$，取 $h=t\cos \alpha$，$k=t\cos \beta$：

$\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta +\frac{o(|t|)}{t}$

${\lim }_{t\to 0}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta$

方向导数存在且等于 $\nabla f\cdot {\mathbf{l}}^0$。