多元函数微分

1. 空间解析几何基础

1.1 空间直角坐标系

在空间中建立右手直角坐标系 $Oxyz$，点 $P$ 的坐标为 $(x,y,z)$。

两点间距离：$|P_1{P}_2|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

1.2 向量运算

数量积（点积）：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|a||b|\cos \theta =a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

向量积（叉积）：$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$

$|\vec{a}\times \vec{b}|=|a||b|\sin \theta$，方向由右手定则确定。

混合积：$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$

1.3 平面与直线

平面方程：

• 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$，法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$
• 点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

直线方程：

• 一般式：两平面的交线
• 对称式：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$，方向向量 $\vec{s}=(m,n,p)$
• 参数式：$x=x_0+mt$，$y=y_0+nt$，$z=z_0+pt$

1.4 常见曲面

• 球面：$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$
• 椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
• 椭圆抛物面：$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
• 双曲抛物面（马鞍面）：$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$
• 单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• 双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$

2. 多元函数的极限与连续

2.1 多元函数的概念

设 $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$，映射 $f:D\to \mathbb{R}$ 称为 $n$ 元函数，记作 $z=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$。

2.2 二重极限

设 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某去心邻域有定义。若对于任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当 $0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$ 时，$|f(x,y)-A|<\epsilon$，则

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$

注意：二重极限存在要求 $(x,y)$ 以任何方式趋于 $(x_0,y_0)$ 时极限相同。

例：证明 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在。

沿 $y=kx$ 趋于 $(0,0)$：${\lim }_{x\to 0}\frac{k{x}^2}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}$，结果依赖于 $k$，故极限不存在。

2.3 连续

若 ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续。

性质：多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续；连续函数的复合函数仍连续。

3. 偏导数

3.1 偏导数的定义

$f_x(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

$f_y(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

注意：偏导数存在不一定连续（与一元函数不同）。

3.2 高阶偏导数

$f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

定理：若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f_{xy}=f_{yx}$（混合偏导数与求导顺序无关）。

例：设 $z=x^3{y}^2-3x{y}^3+2x-1$，求各二阶偏导数。

$z_x=3x^2{y}^2-3y^3+2$，$z_y=2x^{3}y-9x{y}^2$ $z_{xx}=6x{y}^2$，$z_{xy}=6x^{2}y-9y^2$，$z_{yx}=6x^{2}y-9y^2$，$z_{yy}=2x^3-18xy$

4. 全微分

4.1 定义

若 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$，其中 $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，$dz=A\Delta x+B\Delta y$。

定理：若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，则 $A=f_x(x_0,y_0)$，$B=f_y(x_0,y_0)$，即

$dz=f_{x}dx+f_{y}dy$

4.2 可微的充分条件

若 $f_x$ 和 $f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微。

4.3 关系总结

$\text{偏导数连续}\Rightarrow \text{可微}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\text{连续}\\ \text{偏导数存在}\end{array}$

以上逆命题均不成立。

4.4 全微分在近似计算中的应用

$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y$

5. 方向导数与梯度

5.1 方向导数

设 $\vec{l}$ 为从 $P_0$ 出发的射线方向，$\overrightarrow{e_l}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$，则方向导数

$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{P_0}={\lim }_{t\to 0^{+}}\frac{f(P_0+t\overrightarrow{e_l})-f(P_0)}{t}$

定理：若 $f$ 在 $P_0$ 可微，则

$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{P_0}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta$

5.2 梯度

$\text{grad}f=\nabla f=(f_x,f_y)$

重要关系：

$\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot \overrightarrow{e_l}=|\nabla f|\cos \theta$

其中 $\theta$ 为梯度与方向 $\vec{l}$ 的夹角。

结论：

• 梯度方向是函数增长最快的方向，方向导数等于 $|\nabla f|$
• 梯度的反方向是函数下降最快的方向
• 与梯度垂直的方向上方向导数为零

6. 多元复合函数求导

6.1 链式法则

设 $z=f(u,v)$，$u=\phi (x,y)$，$v=\psi (x,y)$，则

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

全微分形式不变性：$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

例：设 $z=e^u\sin v$，$u=xy$，$v=x+y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

$\frac{\partial z}{\partial x}=e^u\sin v\cdot y+e^u\cos v\cdot 1=e^{xy}[y\sin (x+y)+\cos (x+y)]$

7. 隐函数定理

7.1 一个方程的情形

设 $F(x,y)=0$ 确定了 $y=y(x)$，若 $F_y\ne 0$，则

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

设 $F(x,y,z)=0$ 确定了 $z=z(x,y)$，若 $F_z\ne 0$，则

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$

例：设 $x^2+y^2+z^2-4z=0$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

$F=x^2+y^2+z^2-4z$，$F_x=2x$，$F_z=2z-4$。 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z-4}=\frac{x}{2-z}$

7.2 方程组的情形

设 $\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$ 确定了 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，则

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_x& F_v\\ G_x& G_v\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_x\\ G_u& G_x\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|}$

其中分母 $J=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|\ne 0$ 为 Jacobian 行列式。

8. 极值与条件极值

8.1 无条件极值

必要条件：若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 有极值且偏导数存在，则 $f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。

充分条件：设 $f_x=f_y=0$ 在 $(x_0,y_0)$ 成立，记 $A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$，$\Delta =AC-B^2$：

• $\Delta >0$ 且 $A<0$：极大值
• $\Delta >0$ 且 $A>0$：极小值
• $\Delta <0$：不是极值（鞍点）
• $\Delta =0$：无法判定

例：求 $f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$ 的极值。

$f_x=3x^2+6x-9=3(x-1)(x+3)=0$，$f_y=-3y^2+6y=-3y(y-2)=0$ 驻点：$(1,0)$，$(1,2)$，$(-3,0)$，$(-3,2)$ $A=6x+6$，$B=0$，$C=-6y+6$，$\Delta =(6x+6)(-6y+6)$

• $(1,0)$：$A=12>0$，$C=6$，$\Delta =72>0$，极小值 $f=-5$
• $(1,2)$：$A=12$，$C=-6$，$\Delta =-72<0$，非极值
• $(-3,0)$：$A=-12$，$C=6$，$\Delta =-72<0$，非极值
• $(-3,2)$：$A=-12<0$，$C=-6$，$\Delta =72>0$，极大值 $f=31$

8.2 条件极值（Lagrange 乘数法）

求 $f(x,y)$ 在约束 $\phi (x,y)=0$ 下的极值，构造 Lagrange 函数：

$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$

解方程组：

$\{\begin{array}{l}{L}_x=f_x+\lambda {\phi }_x=0\\ L_y=f_y+\lambda {\phi }_y=0\\ L_{\lambda }=\phi (x,y)=0\end{array}$

例：求 $f(x,y)=xy$ 在 $x+y=1$ 下的极值。

$L=xy+\lambda (x+y-1)$ $L_x=y+\lambda =0$，$L_y=x+\lambda =0$，$x+y=1$ 解得 $x=y=\frac{1}{2}$，$\lambda =-\frac{1}{2}$。极大值 $f=\frac{1}{4}$。

8.3 多个约束的 Lagrange 乘数法

求 $f(x,y,z)$ 在约束 ${\phi }_1=0$，${\phi }_2=0$ 下的极值：

$L=f+{\lambda }_1{\phi }_1+{\lambda }_2{\phi }_2$

解 $L_x=0$，$L_y=0$，$L_z=0$，${\phi }_1=0$，${\phi }_2=0$。