高等数学 术语表
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Glossary
微积分 术语表
B
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 变上限积分 | Integral with Variable Upper Limit | 以积分上限为变量的函数 F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt，其导数等于被积函数 f(x) |
| 不定积分 | Indefinite Integral | 被积函数的所有原函数的集合，记作 ∫f(x)dx = F(x) + C |
C
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 参数方程 | Parametric Equation | 用参数 t 表示变量 x、y 之间关系的方程组，便于描述曲线运动轨迹 |
| 乘积法则 | Product Rule | 求两个函数乘积导数的法则：(uv)’ = u’v + uv’ |
D
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 导数 | Derivative | 函数在某点处的变化率，定义为差商的极限 f’(x) = lim[Δx→0] Δf/Δx |
| 等价无穷小 | Equivalent Infinitesimal | 当 x→0 时，若 α/β→1 则称 α 与 β 为等价无穷小，用于极限计算中的替换 |
| 定积分 | Definite Integral | 函数在区间 [a,b] 上的黎曼和极限，记作 ∫ₐᵇ f(x)dx |
F
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 发散 | Divergence | 级数的部分和序列不趋于有限极限，或反常积分的值趋于无穷 |
| 分部积分 | Integration by Parts | 基于乘积导数公式的积分方法：∫u dv = uv - ∫v du |
G
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 高阶导数 | Higher-Order Derivative | 对函数多次求导的结果，二阶导数表示变化率的变化率 |
| 梯度 | Gradient | 多元函数各偏导数构成的向量 ∇f，指向函数值增长最快的方向 |
| 高斯公式 | Gauss’s Theorem | 将闭曲面上的曲面积分转化为所围区域上的三重积分的公式，也称散度定理 |
J
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 极限 | Limit | 函数值随自变量趋近某点时无限接近的确定值，是微积分的理论基础 |
| 级数 | Series | 无穷数列各项之和 Σaₙ，分为常数项级数和函数项级数 |
| 交换积分次序 | Reversing Order of Integration | 在累次积分中交换内外积分的顺序，常用于简化计算 |
K
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 可微 | Differentiable | 函数在某点的增量可用自变量增量的线性函数近似表示，可微必连续 |
L
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 拉格朗日乘数 | Lagrange Multiplier | 求条件极值的方法，通过引入乘数 λ 将约束条件融入目标函数 |
| 连续 | Continuous | 函数在某点的极限值等于函数值，图像在该点无间断 |
M
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 麦克劳林展开 | Maclaurin Expansion | 在 x=0 处的泰勒展开，是泰勒级数的特殊情况 |
P
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 偏导数 | Partial Derivative | 多元函数对某一变量求导而保持其他变量不变的导数 |
| 判别法 | Convergence Test | 判断级数收敛或发散的方法，如比值判别法、根值判别法、比较判别法等 |
Q
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 曲线积分 | Line Integral | 沿曲线对函数或向量场进行的积分，分为对弧长和对坐标两种 |
| 曲面积分 | Surface Integral | 沿曲面对函数或向量场进行的积分，分为对面积和对坐标两种 |
| 全微分 | Total Differential | 多元函数增量的线性主部 df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy |
R
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 反常积分 | Improper Integral | 积分区间无限或被积函数在区间内有瑕点的积分，通过极限定义 |
S
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 散度 | Divergence | 向量场在某点的源强度，表示单位体积的通量，记作 div F = ∇·F |
| 收敛 | Convergence | 级数的部分和序列趋于有限极限，或反常积分存在有限值 |
T
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 泰勒展开 | Taylor Expansion | 用多项式逼近函数的方法：f(x) = Σf⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ |
| 旋度 | Curl | 向量场在某点的旋转强度，表示单位面积的环量，记作 curl F = ∇×F |
W
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 微分 | Differential | 函数增量的线性主部，dy = f’(x)dx，反映函数的局部线性近似 |
| 微积分基本定理 | Fundamental Theorem of Calculus | 联系微分与积分的核心定理：∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) |
X
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 向量场 | Vector Field | 空间中每一点都对应一个向量的映射，如电场、磁场、流速场 |
Y
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 原函数 | Antiderivative | 导数等于已知函数的函数 F(x)，满足 F’(x) = f(x) |
| 隐函数 | Implicit Function | 由方程 F(x,y)=0 确定的函数关系 y=f(x)，而非显式给出 |
Z
| 术语 | 英文 | 释义 |
|---|---|---|
| 中值定理 | Mean Value Theorem | 闭区间上连续可微函数至少存在一点使导数等于平均变化率 |
| 重积分 | Multiple Integral | 多元函数在多维区域上的积分，包括二重积分和三重积分 |