导数与微分典型例题

1. 复合函数求导

例1：求 $y=\ln (\sin \sqrt{x})$ 的导数。

解：由链式法则：

$y^{\prime }=\frac{1}{\sin \sqrt{x}}\cdot \cos \sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

例2：求 $y=e^{\arctan \frac{1}{x}}$ 的导数。

解：

$y^{\prime }=e^{\arctan \frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=e^{\arctan \frac{1}{x}}\cdot \frac{x^2}{1+x^2}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{e^{\arctan \frac{1}{x}}}{1+x^2}$

2. 隐函数求导

例3：设 $x^2+y^2=25$，求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。

解：两边对 $x$ 求导：

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

再求二阶导：

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}=-\frac{y-x\cdot (-\frac{x}{y})}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{25}{y^3}$

例4：设 $y=1+x{e}^y$，求 $y^{\prime }$ 和 $y^{\prime \prime }$。

解：两边对 $x$ 求导：

$y^{\prime }=e^y+x{e}^y{y}^{\prime }\Rightarrow y^{\prime }(1-x{e}^y)=e^y\Rightarrow y^{\prime }=\frac{e^y}{1-x{e}^y}=\frac{e^y}{2-y}$

（因为 $x{e}^y=y-1$）

$y^{\prime \prime }=\frac{e^y{y}^{\prime }(2-y)-e^y(-y^{\prime })}{(2-y{)}^2}=\frac{e^y{y}^{\prime }(2-y+1)}{(2-y{)}^2}=\frac{e^y{y}^{\prime }(3-y)}{(2-y{)}^2}$

代入 $y^{\prime }=\frac{e^y}{2-y}$：

$y^{\prime \prime }=\frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y{)}^3}$

3. 参数方程求导

例5：设 $\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}$，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。

解：

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)\cdot \frac{1}{dx/dt}=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\cdot \sin t}{(1-\cos t{)}^2}\cdot \frac{1}{1-\cos t}$

$=\frac{\cos t-{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t}{(1-\cos t{)}^3}=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t{)}^3}=\frac{-1}{(1-\cos t{)}^2}$

4. 对数求导法

例6：求 $y=x^{\sin x}$ 的导数。

解：取对数 $\ln y=\sin x\cdot \ln x$

$\frac{y^{\prime }}{y}=\cos x\cdot \ln x+\sin x\cdot \frac{1}{x}$

$y^{\prime }=x^{\sin x}\left(\cos x\cdot \ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$

例7：求 $y=\sqrt[3]{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数。

解：取对数：

$\ln |y|=\frac{1}{3}[\ln |x-1|+\ln |x-2|-\ln |x-3|-\ln |x-4|]$

$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right]$

$y^{\prime }=\frac{y}{3}\left[\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right]$

5. 高阶导数

例8：求 $y=\frac{1}{x^2-3x+2}$ 的 $n$ 阶导数。

解：部分分式分解：

$y=\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$

$y^{(n)}={\left(\frac{1}{x-2}\right)}^{(n)}-{\left(\frac{1}{x-1}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-2{)}^{n+1}}-\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-1{)}^{n+1}}$

$=(-1{)}^{n}n!\left[\frac{1}{(x-2{)}^{n+1}}-\frac{1}{(x-1{)}^{n+1}}\right]$

例9：求 $y=x^2{e}^{2x}$ 的 $n$ 阶导数。

解：利用莱布尼茨公式，设 $u=x^2$，$v=e^{2x}$：

$u^{\prime }=2x,u^{\prime \prime }=2,u^{(k)}=0(k\ge 3)$

$v^{(k)}=2^k{e}^{2x}$

$y^{(n)}={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)u^{(n-k)}{v}^{(k)}=x^2\cdot 2^n{e}^{2x}+n\cdot 2x\cdot 2^{n-1}{e}^{2x}+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2\cdot 2^{n-2}{e}^{2x}$

$=2^{n-2}{e}^{2x}\left[4x^2+4nx+n(n-1)\right]$

6. 微分的计算与应用

例10：求 $y=\arctan \frac{1+x}{1-x}$ 的微分 $dy$。

解：

$y^{\prime }=\frac{1}{1+{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^2}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x{)}^2}=\frac{(1-x{)}^2}{(1-x{)}^2+(1+x{)}^2}\cdot \frac{2}{(1-x{)}^2}$

$=\frac{2}{(1-x{)}^2+(1+x{)}^2}=\frac{2}{2+2x^2}=\frac{1}{1+x^2}$

$dy=\frac{dx}{1+x^2}$

例11：利用微分近似计算 $\sqrt[3]{8.02}$。

解：设 $f(x)=\sqrt[3]{x}$，$x_0=8$，$\Delta x=0.02$

$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{-2/3},f^{\prime }(8)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

$\sqrt[3]{8.02}\approx 2+\frac{1}{12}\times 0.02=2+\frac{0.02}{12}\approx 2.00167$

7. 综合题型

例12：设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& x\le 1\\ ax+b& x>1\end{array}$，确定 $a,b$ 使 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导。

解：可导必连续，先求连续条件：

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1,{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=a+b$

连续：$a+b=1$

再求可导条件：

$f_{-}^{\prime }(1)={\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{x^2-1}{x-1}=2$

$f_{+}^{\prime }(1)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{ax+b-1}{x-1}=a$

可导：$a=2$，代入 $b=1-a=-1$。

例13：设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，求 ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+ph)-f(a-qh)}{h}$（$p,q>0$）。

解：

$\frac{f(a+ph)-f(a-qh)}{h}=p\cdot \frac{f(a+ph)-f(a)}{ph}+q\cdot \frac{f(a)-f(a-qh)}{qh}$

$=p\cdot f^{\prime }(a)+q\cdot f^{\prime }(a)=(p+q)f^{\prime }(a)$

例14：设 $y=f(\ln x)$，其中 $f$ 二阶可导，求 $y^{\prime \prime }$。

解：

$y^{\prime }=f^{\prime }(\ln x)\cdot \frac{1}{x}$

$y^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }(\ln x)\cdot \frac{1}{x^2}+f^{\prime }(\ln x)\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{f^{\prime \prime }(\ln x)-f^{\prime }(\ln x)}{x^2}$

例15：证明：双曲线 $xy=c^2$ 上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数。

证明：设切点为 $(x_0,y_0)$，其中 $x_0{y}_0=c^2$。

由 $y=\frac{c^2}{x}$，$y^{\prime }=-\frac{c^2}{x^2}$，切线斜率 $k=-\frac{c^2}{x_0^2}$。

切线方程：$y-y_0=-\frac{c^2}{x_0^2}(x-x_0)$

令 $y=0$：$x$ 截距 $=x_0+\frac{y_0{x}_0^2}{c^2}=x_0+\frac{c^2\cdot x_0}{c^2}=2x_0$

令 $x=0$：$y$ 截距 $=y_0+\frac{c^2}{x_0}=y_0+y_0=2y_0$

面积 $=\frac{1}{2}\cdot 2x_0\cdot 2y_0=2x_0{y}_0=2c^2$（常数）。