定积分与应用典型例题

1. 定积分基本计算

例1：求 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$

解：利用公式 ${\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx={\int }_0^{\pi /2}f(\cos x)dx$

设 $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$，$J={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$

由对称性 $I=J$，又 $I+J={\int }_0^{\pi /2}dx=\frac{\pi }{2}$

故 $I=\frac{\pi }{4}$

例2：求 ${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$

解：令 $x=\tan t$，$dx={\sec }^{2}tdt$

${\int }_0^{\pi /4}\frac{\ln (1+\tan t)}{1+{\tan }^{2}t}\cdot {\sec }^{2}tdt={\int }_0^{\pi /4}\ln (1+\tan t)dt$

利用 $1+\tan t=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}=\frac{\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{4}-t)}{\cos t}$

${\int }_0^{\pi /4}\ln \frac{\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{4}-t)}{\cos t}dt=\frac{\pi }{4}\ln \sqrt{2}+{\int }_0^{\pi /4}\ln \cos \left(\frac{\pi }{4}-t\right)dt-{\int }_0^{\pi /4}\ln \cos tdt$

后两项相等（变量替换 $u=\frac{\pi }{4}-t$），故：

${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{8}\ln 2$

2. 变限积分求导

例3：求 $\frac{d}{dx}{\int }_0^x(x-t)f(t)dt$

解：

${\int }_0^x(x-t)f(t)dt=x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt$

$\frac{d}{dx}={\int }_0^{x}f(t)dt+xf(x)-xf(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$

例4：求 $\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^{e^x}\sin t^{2}dt$

解：设 $F(u)={\int }_0^u\sin t^{2}dt$

$\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^{e^x}\sin t^{2}dt=F^{\prime }(e^x)\cdot e^x-F^{\prime }(x^2)\cdot 2x=e^x\sin (e^{2x})-2x\sin (x^4)$

3. 定积分的对称性

例5：求 ${\int }_{-1}^1\frac{x^3\cos x}{1+x^4}dx$

解：被积函数 $f(x)=\frac{x^3\cos x}{1+x^4}$ 是奇函数（$f(-x)=-f(x)$），积分区间关于原点对称。

${\int }_{-1}^1\frac{x^3\cos x}{1+x^4}dx=0$

例6：求 ${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}(x^3+{\sin }^{2}x){\cos }^{2}xdx$

解：$x^3{\cos }^{2}x$ 是奇函数，积分为 0。

${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=2{\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2}2x}{4}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}\frac{1-\cos 4x}{2}dx=\frac{\pi }{8}$

4. 华里士公式

例7：求 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx$

解：

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}x(1-{\sin }^{2}x)dx=I_4-I_6$

由华里士公式：$I_4=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}$，$I_6=\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{32}$

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx=\frac{3\pi }{16}-\frac{5\pi }{32}=\frac{\pi }{32}$

5. 反常积分

例8：判断 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{(1+x^2{)}^2}dx$ 的收敛性并求值。

解：

${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{(1+x^2{)}^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }\frac{d(1+x^2)}{(1+x^2{)}^2}=\frac{1}{2}{\left[-\frac{1}{1+x^2}\right]}_0^{+\infty }=\frac{1}{2}(0-(-1))=\frac{1}{2}$

例9：求 ${\int }_0^1\ln xdx$

解：

${\int }_0^1\ln xdx={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{\epsilon }^1\ln xdx={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}[x\ln x-x{]}_{\epsilon }^1$

$={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}(-1-\epsilon \ln \epsilon +\epsilon )=-1$

（因为 ${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}\epsilon \ln \epsilon =0$）

6. 定积分证明题

例10：证明：${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$

证明：令 $t=a-x$：

${\int }_0^{a}f(a-x)dx=-{\int }_a^{0}f(t)dt={\int }_0^{a}f(t)dt={\int }_0^{a}f(x)dx$

例11：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，证明：${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}f(1-x)dx$，并利用此证明 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\frac{\pi }{4}$。

证明：令 $t=1-x$ 即得。

$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$

$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}{\sin (\frac{\pi }{2}-x)+\cos (\frac{\pi }{2}-x)}dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx$

$2I={\int }_0^{\pi /2}dx=\frac{\pi }{2}\Rightarrow I=\frac{\pi }{4}$

7. 几何应用

例12：求由 $y=x^2$ 和 $y=2x$ 所围图形的面积。

解：联立 $x^2=2x$ 得交点 $x=0$ 和 $x=2$。

$A={\int }_0^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$

例13：求 $y=\sqrt{x}$ 绕 $x$ 轴旋转（$0\le x\le 4$）所得旋转体体积。

解：

$V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=8\pi$

8. 物理应用

例14：一弹簧的力 $F(x)=kx$（$k>0$），将弹簧从自然长度拉伸 $a$ 到 $2a$，求所做的功。

解：

$W={\int }_a^{2a}kxdx=\frac{k}{2}[x^2{]}_a^{2a}=\frac{k}{2}(4a^2-a^2)=\frac{3k{a}^2}{2}$

例15：求半圆 $x^2+y^2\le R^2$（$y\ge 0$）绕 $x$ 轴旋转所得球的表面积。

解：$y=\sqrt{R^2-x^2}$，$y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}$

$S=2\pi {\int }_{-R}^{R}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx=2\pi {\int }_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=2\pi {\int }_{-R}^{R}Rdx=4\pi R^2$