不定积分

1. 原函数与不定积分

1.1 原函数

若 $F^{\prime }(x)=f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。

原函数存在定理：连续函数必有原函数。

原函数的个数：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x)+C$（$C$ 为任意常数）给出了 $f(x)$ 的全部原函数。

1.2 不定积分的定义

$\int f(x)dx=F(x)+C$

其中 $F^{\prime }(x)=f(x)$，$C$ 为积分常数。

1.3 不定积分的性质

${\left[\int f(x)dx\right]}^{\prime }=f(x)$

$\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$

$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k\ne 0)$

2. 基本积分公式

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)$

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$

$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$

3. 换元积分法

3.1 第一类换元法（凑微分法）

设 $\int f(u)du=F(u)+C$，$u=\phi (x)$ 可微，则

$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=F[\phi (x)]+C$

常用凑微分：

$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$

$\int xf(x^2)dx=\frac{1}{2}\int f(x^2)d(x^2)$

$\int \frac{f(\ln x)}{x}dx=\int f(\ln x)d(\ln x)$

$\int f(e^x)e^{x}dx=\int f(e^x)d(e^x)$

$\int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$

例：求 $\int \frac{dx}{x(1+\ln x)}$。

$\int \frac{dx}{x(1+\ln x)}=\int \frac{d(\ln x)}{1+\ln x}=\int \frac{d(1+\ln x)}{1+\ln x}=\ln |1+\ln x|+C$

例：求 $\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$。

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=2\int \frac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x}{)}^2}=2\arctan \sqrt{x}+C$

3.2 第二类换元法

设 $x=\phi (t)$ 单调可导且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，则

$\int f(x)dx=\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$

常用代换：

例：求 $\int \sqrt{a^2-x^2}dx$（$a>0$）。

设 $x=a\sin t$，$dx=a\cos tdt$： $\int a\cos t\cdot a\cos tdt=a^2\int {\cos }^{2}tdt=a^2\int \frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{a^2}{2}\left(t+\frac{\sin 2t}{2}\right)+C$ 回代 $t=\arcsin \frac{x}{a}$，$\sin 2t=2\sin t\cos t=\frac{2x\sqrt{a^2-x^2}}{a^2}$： $=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C$

4. 分部积分法

4.1 公式

$\int udv=uv-\int vdu$

4.2 选 $u$ 的优先顺序（LIATE 法则）

1. L — 对数函数：$\ln x$，${\log }_{a}x$
2. I — 反三角函数：$\arcsin x$，$\arctan x$
3. A — 代数函数：$x^n$，多项式
4. T — 三角函数：$\sin x$，$\cos x$
5. E — 指数函数：$e^x$，$a^x$

排在前面的选作 $u$，排在后面的与 $dx$ 凑成 $dv$。

例：求 $\int x{e}^{x}dx$。

设 $u=x$，$dv=e^{x}dx$，则 $du=dx$，$v=e^x$。 $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$

例：求 $\int x^2\sin xdx$。

设 $u=x^2$，$dv=\sin xdx$，则 $du=2xdx$，$v=-\cos x$。 $\int x^2\sin xdx=-x^2\cos x+2\int x\cos xdx$ 再分部：$u=x$，$dv=\cos xdx$，$du=dx$，$v=\sin x$。 $=-x^2\cos x+2(x\sin x-\int \sin xdx)=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

例（递推型）：求 $I_n=\int e^x\sin xdx$。

设 $u=\sin x$，$dv=e^{x}dx$，则 $du=\cos xdx$，$v=e^x$。 $I=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx$ 再分部：$u=\cos x$，$dv=e^{x}dx$，$du=-\sin xdx$，$v=e^x$。 $I=e^x\sin x-(e^x\cos x+\int e^x\sin xdx)=e^x\sin x-e^x\cos x-I$ $2I=e^x(\sin x-\cos x)$，$I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$

5. 有理函数积分

5.1 部分分式分解

设 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 为有理函数（$P$, $Q$ 为多项式），先做多项式除法化为真分式，再对分母因式分解后拆分。

分解规则：

例：求 $\int \frac{dx}{x^2-5x+6}$。

$\frac{1}{x^2-5x+6}=\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$ $1=A(x-3)+B(x-2)$，令 $x=2$：$A=-1$；令 $x=3$：$B=1$。 $\int \frac{dx}{x^2-5x+6}=-\int \frac{dx}{x-2}+\int \frac{dx}{x-3}=-\ln |x-2|+\ln |x-3|+C=\ln \left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C$

6. 三角函数积分

6.1 $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$

• $m$ 为奇数：设 $u=\cos x$，提出 $\sin xdx=-du$
• $n$ 为奇数：设 $u=\sin x$，提出 $\cos xdx=du$
• $m$, $n$ 均为偶数：用半角公式降幂

例：求 $\int {\sin }^{3}xdx$。

$\int {\sin }^{3}xdx=\int {\sin }^{2}x\cdot \sin xdx=-\int (1-{\cos }^{2}x)d(\cos x)=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$

6.2 万能代换

对 $\int R(\sin x,\cos x)dx$，设 $t=\tan \frac{x}{2}$，则

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$

例：求 $\int \frac{dx}{1+\sin x}$。

设 $t=\tan \frac{x}{2}$： $\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}=\int \frac{2dt}{(1+t{)}^2}=-\frac{2}{1+t}+C=-\frac{2}{1+\tan \frac{x}{2}}+C$