公式速查表

1. 极限公式

1.1 基本极限

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^a-1}{x}=a$

1.2 等价无穷小（$x\to 0$）

1.3 极限运算法则

若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，则：

$\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm B$

$\lim [f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$

$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

1.4 洛必达法则

对于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式：

$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

（若右端极限存在或为无穷大）

2. 导数与微分公式

2.1 基本求导公式

2.2 求导法则

四则运算：

$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

链式法则：

$[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

反函数求导：

$[f^{-1}{]}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

参数方程求导：

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$

隐函数求导：

$F(x,y)=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

对数求导法：

$y=u(x{)}^{v(x)}\Rightarrow \ln y=v(x)\ln u(x)\Rightarrow \frac{y^{\prime }}{y}=v^{\prime }\ln u+v\cdot \frac{u^{\prime }}{u}$

2.3 高阶导数

莱布尼茨公式：

$(uv{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(n-k)}{v}^{(k)}$

常用高阶导数：

$(x^n{)}^{(n)}=n!$

$(e^x{)}^{(n)}=e^x$

$(\sin x{)}^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$

$(\cos x{)}^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$

$(\ln x{)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n}$

2.4 微分

$dy=f^{\prime }(x)dx$

微分形式不变性：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，$dy=f^{\prime }(u)du$ 均成立。

3. 微分中值定理

3.1 三大中值定理

罗尔定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导、$f(a)=f(b)$，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

拉格朗日中值定理：

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)$

柯西中值定理：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )},\xi \in (a,b)$

3.2 泰勒公式

带拉格朗日余项：

$f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$

常用麦克劳林展开（$x_0=0$）：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots (|x|<1)$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots (|x|<1)$

$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots (|x|<1)$

4. 不定积分公式

4.1 基本积分表

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

4.2 积分方法

分部积分：

$\int udv=uv-\int vdu$

第一换元（凑微分）：

$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int f(u)du(u=\phi (x))$

第二换元：

$\int f(x)dx=\int f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)dt(x=\psi (t))$

有理函数积分：部分分式分解后逐项积分。

5. 定积分公式

5.1 牛顿-莱布尼茨公式

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

5.2 定积分性质

${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

估值定理：

$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

5.3 华里士公式

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{ 为偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1& n\text{ 为奇数}\end{array}$

5.4 反常积分

${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\lim }_{b\to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)dx$

p 积分：

${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}\text{收敛当且仅当 }p>1$

${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}\text{收敛当且仅当 }p<1$

5.5 定积分应用

旋转体体积：

$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$

弧长：

$s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

曲率：

$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$

6. 多元函数微分

6.1 偏导数与全微分

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

6.2 链式法则

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

6.3 方向导数与梯度

$\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot {\mathbf{l}}^0=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta$

$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

6.4 极值判定

必要条件：$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$

充分条件：令 $A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$，$\Delta =AC-B^2$

• $\Delta >0$，$A<0$：极大值
• $\Delta >0$，$A>0$：极小值
• $\Delta <0$：鞍点
• $\Delta =0$：无法判定

6.5 拉格朗日乘数法

$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$

$\frac{\partial L}{\partial x}=0,\frac{\partial L}{\partial y}=0,\frac{\partial L}{\partial \lambda }=0$

7. 重积分

7.1 二重积分

直角坐标：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$

极坐标：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot rdr$

7.2 三重积分

柱坐标：

${\iiint }_{\Omega }fdV={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}rdr{\int }_{z_1(r,\theta )}^{z_2(r,\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)dz$

球坐标：

${\iiint }_{\Omega }fdV={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }d\phi {\int }_0^{R}f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )\cdot r^2\sin \phi dr$

8. 曲线积分与曲面积分

8.1 第一类曲线积分

${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t)]\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$

8.2 第二类曲线积分

${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }[P{x}^{\prime }(t)+Q{y}^{\prime }(t)]dt$

格林公式：

${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

8.3 第一类曲面积分

${\iint }_{\Sigma }fdS={\iint }_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$

8.4 第二类曲面积分

高斯公式：

$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$

斯托克斯公式：

${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$

9. 无穷级数

9.1 常数项级数审敛法

比值审敛法：

${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho \Rightarrow \{\begin{array}{ll}\rho <1& \text{收敛}\\ \rho >1& \text{发散}\\ \rho =1& \text{不确定}\end{array}$

根值审敛法：

${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}=\rho \Rightarrow \text{同上}$

9.2 幂级数

收敛半径：

$R={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

9.3 傅里叶级数

$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$

$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$

10. 常微分方程

10.1 一阶微分方程

可分离变量：

$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$

齐次方程：

$\frac{dy}{dx}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)\stackrel{u=y/x}{\to }x\frac{du}{dx}=\phi (u)-u$

一阶线性：

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)\Rightarrow y=e^{-\int Pdx}\left[\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right]$

10.2 二阶常系数线性方程

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$

特征方程 $r^2+pr+q=0$：