定积分与应用

1. 定积分的定义与性质

1.1 定积分的定义

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，将 $[a,b]$ 任意分成 $n$ 个小区间，$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$\lambda =\max \{\Delta x_i\}$，${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，若极限

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$

存在且与分法及 ${\xi }_i$ 取法无关，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Riemann 可积。

可积的充分条件：

• 闭区间上的连续函数可积
• 闭区间上只有有限个第一类间断点的有界函数可积
• 闭区间上的单调函数可积

1.2 定积分的性质

基本性质：

${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx,{\int }_a^{a}f(x)dx=0$

${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$

${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$

区间可加性：

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

保号性：若 $f(x)\ge 0$ 且 $f(x)$ 不恒为零，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx>0$。

估值定理：设 $m\le f(x)\le M$，则

$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

积分中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

2. Newton-Leibniz 公式

2.1 积分上限函数

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，定义

$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

则 ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$，即 $\Phi (x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

2.2 微积分基本定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$

例：计算 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$。

${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}$

例：计算 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx$。

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{2}{\left[x-\frac{\sin 2x}{2}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{4}$

3. 定积分的换元与分部

3.1 定积分换元法

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x=\phi (t)$ 满足：

• $\phi (\alpha )=a$，$\phi (\beta )=b$
• $\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上单调可导

则

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$

注意：换元必须换限！

例：计算 ${\int }_0^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$。

设 $\sqrt{x}=t$，$x=t^2$，$dx=2tdt$。$x=0$ 时 $t=0$，$x=4$ 时 $t=2$。 ${\int }_0^2\frac{2tdt}{1+t}=2{\int }_0^2\frac{t+1-1}{1+t}dt=2{\int }_0^2\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt=2[t-\ln (1+t){]}_0^2=2(2-\ln 3)$

3.2 定积分分部法

${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

3.3 常用结论

Wallis 公式：

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{ 为偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}& n\text{ 为奇数}\end{array}$

对称区间上的积分：

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}0& f\text{ 为奇函数}\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx& f\text{ 为偶函数}\end{array}$

周期函数的积分：若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则

${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$

4. 反常积分

4.1 无穷区间上的反常积分

${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\lim }_{b\to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)dx$

若极限存在，则反常积分收敛；否则发散。

p-积分：

${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}\text{收敛}& p>1\\ \text{发散}& p\le 1\end{array}$

例：判断 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}$ 的收敛性。

${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}={\lim }_{b\to +\infty }{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^b={\lim }_{b\to +\infty }\left(1-\frac{1}{b}\right)=1$，收敛。

4.2 无界函数的反常积分（瑕积分）

设 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$，则

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$

瑕积分的 p-判别：

${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}\text{收敛}& p<1\\ \text{发散}& p\ge 1\end{array}$

4.3 比较判别法

设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上非负连续：

• 若 $f(x)\le g(x)$ 且 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛
• 若 $f(x)\ge g(x)$ 且 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散

极限比较法：若 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=c$：

• $0<c<+\infty$：两者同敛散
• $c=0$：$g$ 收敛 $\Rightarrow$ $f$ 收敛
• $c=+\infty$：$g$ 发散 $\Rightarrow$ $f$ 发散

4.4 Gamma 函数

$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx(s>0)$

性质：

• $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$
• $\Gamma (n+1)=n!$（$n$ 为正整数）
• $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

5. 定积分的应用

5.1 平面图形的面积

直角坐标系：由 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$（$f(x)\ge g(x)$）及 $x=a$，$x=b$ 围成的面积

$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$

极坐标系：由 $r=r(\theta )$ 及 $\theta =\alpha$，$\theta =\beta$ 围成的面积

$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$

例：求 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的面积。

交点：$x^2=x$，$x=0$ 或 $x=1$。 $S={\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{6}$

5.2 旋转体的体积

绕 $x$ 轴旋转：

$V_x=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$

绕 $y$ 轴旋转（柱壳法）：

$V_y=2\pi {\int }_a^{b}x|f(x)|dx$

例：求 $y=\sqrt{x}$（$0\le x\le 1$）绕 $x$ 轴旋转的体积。

$V=\pi {\int }_0^{1}xdx=\pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}$

5.3 平行截面面积已知的立体体积

设立体在 $x$ 处的截面面积为 $S(x)$，则

$V={\int }_a^{b}S(x)dx$

5.4 弧长

直角坐标：

$L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$（$\alpha \le t\le \beta$）：

$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$

极坐标 $r=r(\theta )$（$\alpha \le \theta \le \beta$）：

$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$

5.5 旋转体的侧面积

曲线 $y=f(x)$（$a\le x\le b$，$f(x)\ge 0$）绕 $x$ 轴旋转的侧面积：

$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

5.6 变力做功

设物体在变力 $F(x)$ 作用下沿 $x$ 轴从 $a$ 移动到 $b$，则

$W={\int }_a^{b}F(x)dx$

例：弹簧的弹性力 $F=kx$，从 $x=0$ 拉伸到 $x=l$ 所做的功：

$W={\int }_0^{l}kxdx=\frac{1}{2}k{l}^2$

5.7 液体静压力

设液面深度为 $h$ 处的薄片宽度为 $w(h)$，液体密度为 $\rho$，则

$F={\int }_0^H\rho g\cdot h\cdot w(h)dh$

5.8 引力

由微元法，两个物体之间的引力可通过积分计算：

$F=G\int \frac{d{m}_1\cdot d{m}_2}{r^2}$