导数与微分

1. 导数的定义

1.1 导数概念

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，此极限值为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数。

常用记法：$f^{\prime }(x_0)$、$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$、$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$

1.2 单侧导数

• 左导数：$f_{-}^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
• 右导数：$f_{+}^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

定理：$f(x)$ 在 $x_0$ 可导 $⟺$ $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

1.3 可导与连续的关系

定理：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续。

证明：设 $f^{\prime }(x_0)$ 存在，则 ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)-f(x_0)]={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot 0=0$

注意：连续不一定可导。反例：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 连续但不可导。

2. 导数的几何意义

$f^{\prime }(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。

切线方程：$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

法线方程：$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$（$f^{\prime }(x_0)\ne 0$）

例：求 $y=x^2$ 在 $(1,1)$ 处的切线与法线。

$y^{\prime }=2x$，$y^{\prime }(1)=2$。切线：$y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。法线：$y-1=-\frac{1}{2}(x-1)$，即 $y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$。

3. 求导法则

3.1 基本求导公式

3.2 四则运算法则

$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

$(cu{)}^{\prime }=c{u}^{\prime }(c\text{ 为常数})$

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$

3.3 链式法则（复合函数求导）

设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，则

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$

例：求 $y=\sin (2x+1)$ 的导数。

设 $u=2x+1$，则 $y=\sin u$。 $\frac{dy}{du}=\cos u$，$\frac{du}{dx}=2$ $\frac{dy}{dx}=\cos (2x+1)\cdot 2=2\cos (2x+1)$

3.4 隐函数求导

设 $F(x,y)=0$ 确定了 $y$ 为 $x$ 的函数，对方程两边关于 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数），然后解出 $y^{\prime }$。

例：求 $x^2+y^2=R^2$ 确定的隐函数的导数。

两边对 $x$ 求导：$2x+2y\cdot y^{\prime }=0$，解得 $y^{\prime }=-\frac{x}{y}$。

3.5 对数求导法

适用于幂指函数 $y=u(x{)}^{v(x)}$ 或多个因子乘除的函数。

步骤：

1. 两边取对数：$\ln y=v(x)\ln u(x)$
2. 对 $x$ 求导：$\frac{y^{\prime }}{y}=v^{\prime }\ln u+v\cdot \frac{u^{\prime }}{u}$
3. 解出 $y^{\prime }$：$y^{\prime }=y\left(v^{\prime }\ln u+v\cdot \frac{u^{\prime }}{u}\right)$

例：求 $y=x^x$ 的导数。

$\ln y=x\ln x$，$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+1$，$y^{\prime }=x^x(\ln x+1)$

3.6 参数方程求导

设 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$，则

$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$

二阶导数：

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}\right)}{x_t^{\prime }}=\frac{y_t^{\prime \prime }{x}_t^{\prime }-y_t^{\prime }{x}_t^{\prime \prime }}{(x_t^{\prime }{)}^3}$

例：求 $\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=a\sin t\end{array}$ 的 $\frac{dy}{dx}$。

$\frac{dy}{dx}=\frac{a\cos t}{-a\sin t}=-\cot t$

4. 高阶导数

4.1 定义

$f^{\prime \prime }(x)=(f^{\prime }(x){)}^{\prime },f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x){)}^{\prime }$

4.2 常用高阶导数公式

$(x^n{)}^{(n)}=n!,(x^n{)}^{(n+1)}=0$

$(e^x{)}^{(n)}=e^x$

$(\sin x{)}^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$

$(\cos x{)}^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$

${\left(\frac{1}{x+a}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+a{)}^{n+1}}$

4.3 Leibniz 公式

$(uv{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$

例：求 $y=x^2{e}^{2x}$ 的 $n$ 阶导数。

设 $u=x^2$，$v=e^{2x}$。$u^{\prime }=2x$，$u^{\prime \prime }=2$，$u^{(k)}=0$（$k\ge 3$）。$v^{(k)}=2^k{e}^{2x}$。 $y^{(n)}={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)u^{(k)}{v}^{(n-k)}=x^2\cdot 2^n{e}^{2x}+n\cdot 2x\cdot 2^{n-1}{e}^{2x}+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2\cdot 2^{n-2}{e}^{2x}$ $=2^{n-2}{e}^{2x}(4x^2+4nx+n^2-n)$

5. 微分及其应用

5.1 微分的定义

设 $y=f(x)$，若

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$

其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 可微，$A\Delta x$ 为微分，记作 $dy=A\Delta x$。

定理：$f(x)$ 在 $x_0$ 可微 $⟺$ $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，且 $A=f^{\prime }(x_0)$。

因此 $dy=f^{\prime }(x_0)dx$，即 $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$。

5.2 微分的基本公式与法则

$d(u\pm v)=du\pm dv$

$d(uv)=vdu+udv$

$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$

5.3 微分在近似计算中的应用

当 $|\Delta x|$ 很小时：

$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$

例：计算 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值。

设 $f(x)=\sqrt[3]{x}$，$x_0=1$，$\Delta x=0.02$。 $f(1.02)\approx f(1)+f^{\prime }(1)\cdot 0.02=1+\frac{1}{3}\cdot 0.02=1.0067$

6. 相关变化率

若 $x$ 和 $y$ 都依赖于变量 $t$，且 $x$ 与 $y$ 之间满足某种关系，则 $\frac{dx}{dt}$ 与 $\frac{dy}{dt}$ 之间也存在关系，称为相关变化率。

解题步骤：

1. 建立变量之间的关系式
2. 对 $t$ 求导
3. 代入已知变化率求未知变化率

例：一气球以 $2\text{m/s}$ 的速率充气，求半径为 $5\text{m}$ 时半径的变化率。

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$，$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$ $2=4\pi \cdot 25\cdot \frac{dr}{dt}$，$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{50\pi }\text{m/s}$