微分中值定理

1. Rolle 定理

1.1 定理内容

设 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a,b]$ 上连续
2. 在 $(a,b)$ 内可导
3. $f(a)=f(b)$

则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

1.2 证明思路

由闭区间上连续函数的最大值最小值定理，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。

• 若 $M=m$，则 $f(x)$ 为常数，$f^{\prime }(\xi )=0$ 对任意 $\xi \in (a,b)$ 成立。
• 若 $M\ne m$，由于 $f(a)=f(b)$，最大值或最小值必在 $(a,b)$ 内某点 $\xi$ 取得，由 Fermat 引理得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

1.3 应用

例：证明方程 $4x^3-3x^2+2x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个根。

设 $F(x)=x^4-x^3+x^2-x$，则 $F(0)=0$，$F(1)=0$。由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $F^{\prime }(\xi )=0$，即 $4{\xi }^3-3{\xi }^2+2\xi -1=0$。

2. Lagrange 中值定理

2.1 定理内容

设 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a,b]$ 上连续
2. 在 $(a,b)$ 内可导

则存在 $\xi \in (a,b)$，使得

$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

或等价地：$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$

2.2 证明

构造辅助函数：

$\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

验证 $\phi (a)=\phi (b)=0$，由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 ${\phi }^{\prime }(\xi )=0$，即得结论。

2.3 重要推论

推论1：若 $f^{\prime }(x)=0$ 对一切 $x\in (a,b)$ 成立，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上为常数。

推论2：若 $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ 对一切 $x\in (a,b)$ 成立，则 $f(x)=g(x)+C$。

2.4 应用

例：证明 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$（$x>0$）。

设 $f(t)=\ln (1+t)$，在 $[0,x]$ 上用 Lagrange 中值定理： $\ln (1+x)-\ln 1=\frac{1}{1+\xi }\cdot x$，其中 $\xi \in (0,x)$。 由于 $\frac{1}{1+x}<\frac{1}{1+\xi }<1$，所以 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$。

3. Cauchy 中值定理

3.1 定理内容

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1. 在 $[a,b]$ 上连续
2. 在 $(a,b)$ 内可导
3. $g^{\prime }(x)\ne 0$ 对一切 $x\in (a,b)$

则存在 $\xi \in (a,b)$，使得

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

3.2 证明

构造辅助函数：

$\phi (x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)$

由 Rolle 定理即可得证。

注：Lagrange 中值定理是 Cauchy 中值定理取 $g(x)=x$ 的特例。

4. Taylor 公式

4.1 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式

设 $f(x)$ 在含 $x_0$ 的开区间内具有 $n+1$ 阶导数，则

$f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+R_n(x)$

其中 Lagrange 余项：

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$

$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间。

4.2 带 Peano 余项的 Taylor 公式

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则

$f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n)$

4.3 Maclaurin 公式（$x_0=0$）

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +\frac{(-1{)}^m}{(2m+1)!}{x}^{2m+1}+o(x^{2m+1})$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +\frac{(-1{)}^m}{(2m)!}{x}^{2m}+o(x^{2m})$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n+o(x^n)$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n)$

$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

4.4 Taylor 公式的应用

例：求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$。

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ $\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}\to \frac{1}{2}$

5. L’Hôpital 法则

5.1 $\frac{0}{0}$ 型

设 $\lim f(x)=\lim g(x)=0$，且 $\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在或为 $\infty$，则

$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

5.2 $\frac{\infty }{\infty }$ 型

设 $\lim f(x)=\lim g(x)=\infty$，且 $\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在或为 $\infty$，则

$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

5.3 其他不定式

对于 $0\cdot \infty$、$\infty -\infty$、$1^{\infty }$、$0^0$、${\infty }^0$ 型，先化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 型再使用 L’Hôpital 法则。

例：求 ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x$。

$0\cdot \infty$ 型，化为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型： ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}={\lim }_{x\to 0^{+}}(-x)=0$

例：求 ${\lim }_{x\to 0}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}$。

$1^{\infty }$ 型，取对数：${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (\sin x/x)}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{x}{\sin x}\cdot \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}{2x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{2x^2\sin x}$ 用 Taylor 展开：$x\cos x-\sin x=x(1-\frac{x^2}{2})-(x-\frac{x^3}{6})+o(x^3)=-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ 原极限 $={\lim }_{x\to 0}\frac{-x^3/3}{2x^3}=-\frac{1}{6}$，故原式 $=e^{-1/6}$。

6. 函数单调性与极值

6.1 单调性判定

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导：

• 若 $f^{\prime }(x)>0$ 对一切 $x\in (a,b)$ 成立，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增
• 若 $f^{\prime }(x)<0$ 对一切 $x\in (a,b)$ 成立，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减

6.2 极值的必要条件

Fermat 引理：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$。

使 $f^{\prime }(x)=0$ 的点称为驻点。极值点一定是驻点或不可导点。

6.3 极值的第一充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域内可导：

• 若 $x$ 经过 $x_0$ 时 $f^{\prime }(x)$ 由正变负，则 $f(x_0)$ 为极大值
• 若 $x$ 经过 $x_0$ 时 $f^{\prime }(x)$ 由负变正，则 $f(x_0)$ 为极小值
• 若 $f^{\prime }(x)$ 不变号，则 $x_0$ 不是极值点

6.4 极值的第二充分条件

设 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)$ 存在：

• 若 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则 $f(x_0)$ 为极大值
• 若 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则 $f(x_0)$ 为极小值

例：求 $f(x)=x^3-3x+1$ 的极值。

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)=0$，驻点 $x=\pm 1$。 $f^{\prime \prime }(x)=6x$，$f^{\prime \prime }(-1)=-6<0$，故 $x=-1$ 为极大值点，$f(-1)=3$。 $f^{\prime \prime }(1)=6>0$，故 $x=1$ 为极小值点，$f(1)=-1$。

7. 曲线凹凸与拐点

7.1 凹凸性定义

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续：

• 凹函数（下凸）：对任意 $x_1,x_2\in I$ 和 $\lambda \in (0,1)$，$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$
• 凸函数（上凸）：不等号反向

7.2 凹凸性判定

设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内二阶可导：

• $f^{\prime \prime }(x)>0$：曲线是凹的
• $f^{\prime \prime }(x)<0$：曲线是凸的

7.3 拐点

连续曲线上凹凸性改变的点称为拐点。

拐点的必要条件：若 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点且 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 存在，则 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$。

拐点的充分条件：若 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号，则 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

例：讨论 $f(x)=x^4-2x^3+1$ 的凹凸性与拐点。

$f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2$，$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x=12x(x-1)$。 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=1$。 $x<0$：$f^{\prime \prime }>0$（凹）；$0<x<1$：$f^{\prime \prime }<0$（凸）；$x>1$：$f^{\prime \prime }>0$（凹）。 拐点：$(0,1)$ 和 $(1,0)$。

7.4 渐近线

• 水平渐近线：若 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=c$，则 $y=c$ 为水平渐近线
• 垂直渐近线：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则 $x=x_0$ 为垂直渐近线
• 斜渐近线：若 $a={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$，$b={\lim }_{x\to \infty }[f(x)-ax]$，则 $y=ax+b$ 为斜渐近线