曲线积分与曲面积分典型例题

1. 第一类曲线积分

例1：求 ${\int }_L(x^2+y^2)ds$，其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=R^2$。

解：参数方程 $x=R\cos t$，$y=R\sin t$，$ds=Rdt$

${\int }_L(x^2+y^2)ds={\int }_0^{2\pi }{R}^2\cdot Rdt=2\pi R^3$

例2：求 ${\int }_L\sqrt{x^2+y^2}ds$，其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=2x$。

解：极坐标 $r=2\cos \theta$，$\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$

$ds=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta =\sqrt{4{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta }d\theta =2d\theta$

${\int }_{L}r\cdot ds={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}2\cos \theta \cdot 2d\theta =4[\sin \theta {]}_{-\pi /2}^{\pi /2}=8$

2. 第二类曲线积分

例3：求 ${\int }_L(x+y)dx+(x-y)dy$，其中 $L$ 为从 $(1,0)$ 到 $(0,1)$ 的直线段。

解：参数方程 $x=1-t$，$y=t$，$t\in [0,1]$

$dx=-dt$，$dy=dt$

${\int }_0^1[(1-t+t)(-dt)+(1-t-t)dt]={\int }_0^1[-1+1-2t]dt={\int }_0^1(-2t)dt=-1$

例4：求 ${\oint }_L(x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy$，其中 $L$ 为以 $(0,0)$、$(1,1)$、$(0,2)$ 为顶点的三角形正向边界。

解：利用格林公式，$P=x^2+y^2$，$Q=x^2-y^2$

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-2y$

${\oint }_L={\iint }_D(2x-2y)dxdy$

三角形区域：$0\le x\le 1$，$x\le y\le 2-x$

${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{2-x}(2x-2y)dy={\int }_0^1[2x(2-2x)-(2-x{)}^2+x^2]dx={\int }_0^1(-4x+4x^2)dx=-\frac{2}{3}$

3. 格林公式

例5：求 ${\oint }_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$，其中 $L$ 为不含原点的简单闭曲线正向。

解：$P=\frac{-y}{x^2+y^2}$，$Q=\frac{x}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}-\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}=0$

当 $L$ 不包围原点时，由格林公式：${\oint }_L=0$

当 $L$ 包围原点时，在 $L$ 内作小圆 $l:x^2+y^2={\epsilon }^2$，在环形区域用格林公式：

${\oint }_L-{\oint }_l=0\Rightarrow {\oint }_L={\oint }_l={\int }_0^{2\pi }\frac{{\epsilon }^2}{{\epsilon }^2}dt=2\pi$

例6：计算星形线 $x=a{\cos }^{3}t$，$y=a{\sin }^{3}t$ 所围区域的面积。

解：

$A=\frac{1}{2}{\oint }_{L}xdy-ydx=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }[a{\cos }^{3}t\cdot 3a{\sin }^{2}t\cos t-a{\sin }^{3}t\cdot (-3a{\cos }^{2}t\sin t)]dt$

$=\frac{3a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt=\frac{3a^2}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\pi a^2}{8}$

4. 路径无关与原函数

例7：验证 ${\int }_L(2xy-y^4+3)dx+(x^2-4x{y}^3)dy$ 与路径无关，并求 $A(1,0)$ 到 $B(2,1)$ 的积分值。

解：$P=2xy-y^4+3$，$Q=x^2-4x{y}^3$

$\frac{\partial P}{\partial y}=2x-4y^3=\frac{\partial Q}{\partial x}$，全平面上成立，故与路径无关。

求原函数 $u$：$u_x=2xy-y^4+3$，$u=x^{2}y-x{y}^4+3x+\phi (y)$

$u_y=x^2-4x{y}^3+{\phi }^{\prime }(y)=x^2-4x{y}^3$，${\phi }^{\prime }(y)=0$，$\phi (y)=C$

$u=x^{2}y-x{y}^4+3x$

${\int }_{(1,0)}^{(2,1)}=u(2,1)-u(1,0)=(4-2+6)-3=5$

5. 第一类曲面积分

例8：求 ${\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2)dS$，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$（$0\le z\le 1$）。

解：$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{2}$

${\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2)\sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^2\cdot rdr=\sqrt{2}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}\pi }{2}$

6. 第二类曲面积分与高斯公式

例9：求 $\iint xdydz+ydzdx+zdxdy$，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 外侧。

解：由高斯公式：

$\iint ={\iiint }_{\Omega }(1+1+1)dV=3\cdot \frac{4\pi R^3}{3}=4\pi R^3$

例10：求 ${\iint }_{\Sigma }(x^2\cos \alpha +y^2\cos \beta +z^2\cos \gamma )dS$，其中 $\Sigma$ 为锥面 $x^2+y^2=z^2$（$0\le z\le h$）的下侧，$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为外法线方向余弦。

解：补上顶面 ${\Sigma }_1:z=h,x^2+y^2\le h^2$（上侧），用高斯公式：

${\iint }_{\Sigma +{\Sigma }_1}={\iiint }_{\Omega }2(x+y+z)dV$

由对称性 $\iiint xdV=\iiint ydV=0$

$\iiint 2zdV=2{\int }_0^{h}z\cdot \pi z^{2}dz=2\pi \cdot \frac{h^4}{4}=\frac{\pi h^4}{2}$

${\iint }_{{\Sigma }_1}={\iint }_{x^2+y^2\le h^2}{h}^{2}dxdy=\pi h^4$

${\iint }_{\Sigma }=\frac{\pi h^4}{2}-\pi h^4=-\frac{\pi h^4}{2}$

7. 斯托克斯公式

例11：求 ${\oint }_{\Gamma }ydx+zdy+xdz$，其中 $\Gamma$ 为圆周 $x^2+y^2+z^2=a^2$，$x+y+z=0$，从 $x$ 轴正向看逆时针。

解：取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=0$ 上被 $\Gamma$ 所围部分，法向量 $\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$

由斯托克斯公式：

${\oint }_{\Gamma }={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ y& z& x\end{array}\right|dS$

$={\iint }_{\Sigma }\frac{1}{\sqrt{3}}(-1-1-1)dS=-\sqrt{3}\cdot \pi a^2=-\sqrt{3}\pi a^2$

8. 综合题型

例12：求 ${\oint }_L\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}$，其中 $L$ 为以 $(1,0)$ 为圆心、$R>1$ 为半径的圆周逆时针方向。

解：$P=\frac{-y}{4x^2+y^2}$，$Q=\frac{x}{4x^2+y^2}$

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-4x^2}{(4x^2+y^2{)}^2}-\frac{y^2-4x^2}{(4x^2+y^2{)}^2}=0$

原点在 $L$ 内，作椭圆 $l:4x^2+y^2={\epsilon }^2$，即 $x=\frac{\epsilon }{2}\cos t$，$y=\epsilon \sin t$

${\oint }_L={\oint }_l={\int }_0^{2\pi }\frac{\frac{\epsilon }{2}\cos t\cdot \epsilon \cos t+\epsilon \sin t\cdot \frac{\epsilon }{2}\sin t}{{\epsilon }^2}dt={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}dt=\pi$

例13：证明：${\oint }_L\cos (\mathbf{n},\mathbf{x})ds=0$，其中 $L$ 为光滑闭曲线，$\mathbf{n}$ 为外法线。

证明：$\cos (\mathbf{n},\mathbf{x})=\frac{dy}{ds}$（外法线方向）

${\oint }_L\cos (\mathbf{n},\mathbf{x})ds={\oint }_{L}dy=0$

例14：求 ${\iint }_{\Sigma }\frac{dS}{z}$，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 被锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 截出的顶部。

解：$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{R}{z}$

${\iint }_{\Sigma }\frac{R}{z^2}dxdy=R{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{R/\sqrt{2}}\frac{r}{R^2-r^2}dr=2\pi R{\left[-\frac{1}{2}\ln (R^2-r^2)\right]}_0^{R/\sqrt{2}}=\pi R\ln 2$

例15：设 $\Sigma$ 为简单闭曲面，$\mathbf{n}$ 为外法线单位向量，$\mathbf{r}=(x,y,z)$，证明：$\iint \frac{\cos (\mathbf{r},\mathbf{n})}{r^2}dS=\{\begin{array}{ll}4\pi & \text{原点在 }\Sigma \text{内}\\ 0& \text{原点不在}\Sigma \text{内}\end{array}$

证明：$\cos (\mathbf{r},\mathbf{n})=\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{n}}{r}$

$\iint \frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{n}}{r^3}dS=\iint \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{r^3}$

当原点不在 $\Sigma$ 内时，$\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{r^3}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{r^3}+\frac{\partial }{\partial z}\frac{z}{r^3}=0$（$r\ne 0$），由高斯公式积分 $=0$。

当原点在 $\Sigma$ 内时，作小球面 $S_{\epsilon }$，在 $\Sigma$ 和 $S_{\epsilon }$ 之间用高斯公式：

$\iint -\iint =0\Rightarrow \iint =\iint ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{{\epsilon }^2\sin \phi }{{\epsilon }^2}d\phi d\theta =4\pi$