曲线积分与曲面积分

1. 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

1.1 定义

设 $L$ 为 $xOy$ 面上的光滑曲线弧，$f(x,y)$ 在 $L$ 上有界，则

${\int }_{L}f(x,y)ds={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$

1.2 计算

参数方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$（$\alpha \le t\le \beta$）：

${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t)]\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

直角坐标 $y=y(x)$（$a\le x\le b$）：

${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f[x,y(x)]\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$

极坐标 $r=r(\theta )$（$\alpha \le \theta \le \beta$）：

${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta ]\sqrt{r^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$

注意：第一类曲线积分的积分下限必须小于上限。

例：计算 ${\int }_L(x^2+y^2)ds$，$L$ 为 $x^2+y^2=R^2$。

参数方程：$x=R\cos t$，$y=R\sin t$（$0\le t\le 2\pi$），$ds=Rdt$。 ${\int }_0^{2\pi }{R}^2\cdot Rdt=2\pi R^3$

1.3 空间曲线

${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt$

2. 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

2.1 定义

${\int }_{L}Pdx+Qdy={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i]$

2.2 计算

参数方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$，$L$ 从 $t=\alpha$ 到 $t=\beta$：

${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }\{P[x(t),y(t)]x^{\prime }(t)+Q[x(t),y(t)]y^{\prime }(t)\}dt$

注意：第二类曲线积分的下限对应起点，上限对应终点。

例：计算 ${\int }_{L}ydx-xdy$，$L$ 为 $x=R\cos t$，$y=R\sin t$ 从 $t=0$ 到 $t=\pi /2$。

${\int }_0^{\pi /2}[R\sin t\cdot (-R\sin t)-R\cos t\cdot R\cos t]dt=-R^2{\int }_0^{\pi /2}dt=-\frac{\pi R^2}{2}$

2.3 两类曲线积分的关系

${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )ds$

其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 为 $L$ 在点 $(x,y)$ 处的单位切向量。

2.4 空间第二类曲线积分

${\int }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\alpha }^{\beta }[P{x}^{\prime }(t)+Q{y}^{\prime }(t)+R{z}^{\prime }(t)]dt$

3. Green 公式

3.1 定理

设 $D$ 为由分段光滑闭曲线 $L$ 围成的有界闭区域，$P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则

${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

其中 $L$ 取正向（逆时针方向）。

3.2 应用

求面积：

$A=\frac{1}{2}{\oint }_{L}xdy-ydx$

例：计算 ${\oint }_L(x+y^2)dx+(y+x^2)dy$，$L$ 为 $x^2+y^2=2x$ 逆时针。

$\frac{\partial Q}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial P}{\partial y}=2y$。 ${\oint }_L={\iint }_D(2x-2y)dxdy$ 由对称性，${\iint }_{D}2ydxdy=0$。 ${\iint }_{D}2xdxdy=2{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2\cos \theta }r\cos \theta \cdot rdr=2\pi$。

3.3 平面曲线积分与路径无关的条件

设 $P$, $Q$ 在单连通区域 $D$ 上具有一阶连续偏导数，以下条件等价：

1. ${\int }_{L}Pdx+Qdy$ 在 $D$ 内与路径无关
2. ${\oint }_{C}Pdx+Qdy=0$，$C$ 为 $D$ 内任意闭曲线
3. $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $D$ 内处处成立
4. $Pdx+Qdy$ 为某函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $du=Pdx+Qdy$

求原函数：

$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy$

例：验证 $(2xy+y^3)dx+(x^2+3x{y}^2)dy$ 是某函数的全微分并求之。

$\frac{\partial P}{\partial y}=2x+3y^2$，$\frac{\partial Q}{\partial x}=2x+3y^2$，相等。 $u={\int }_0^{x}0dx+{\int }_0^y(x^2+3x{y}^2)dy=x^{2}y+x{y}^3$

4. 第一类曲面积分

4.1 定义

${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$

4.2 计算

设 $\Sigma :z=z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，则

${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$

类似地，可投影到 $yOz$ 或 $xOz$ 面。

例：计算 ${\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2)dS$，$\Sigma :z=\sqrt{x^2+y^2}$（$0\le z\le 1$）。

$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{2}$。 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2)\sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^2\cdot rdr=\sqrt{2}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}\pi }{2}$

5. 第二类曲面积分

5.1 定义

${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+R\text{dxdy}$

表示向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$ 穿过曲面 $\Sigma$ 指定侧的通量。

5.2 计算

设 $\Sigma :z=z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，取上侧：

${\iint }_{\Sigma }R\text{dxdy}=\pm {\iint }_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]dxdy$

上侧取 $+$，下侧取 $-$。

合一投影法：设 $\Sigma :z=z(x,y)$，取上侧，则

${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+R\text{dxdy}={\iint }_{D_{xy}}\left[-P{z}_x-Q{z}_y+R\right]dxdy$

例：计算 ${\iint }_{\Sigma }xdydz+ydzdx+z\text{dxdy}$，$\Sigma :x^2+y^2+z^2=R^2$ 上半球面取上侧。

$\Sigma :z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，$z_x=\frac{-x}{z}$，$z_y=\frac{-y}{z}$。 ${\iint }_{D_{xy}}\left[\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{z}+z\right]dxdy={\iint }_{D_{xy}}\frac{R^2}{z}dxdy=R^2{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R\frac{rdr}{\sqrt{R^2-r^2}}=2\pi R^3$

6. Gauss 公式

6.1 定理

设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑闭曲面 $\Sigma$ 围成，$P$, $Q$, $R$ 在 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数，则

$\iint Pdydz+Qdzdx+R\text{dxdy}={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$

其中 $\Sigma$ 取外侧。

6.2 散度

$\text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

Gauss 公式可写为：$\iint \vec{F}\cdot d\vec{S}={\iiint }_{\Omega }\text{div}\vec{F}dV$

例：计算 $\iint xdydz+ydzdx+z\text{dxdy}$，$\Sigma :x^2+y^2+z^2=R^2$ 取外侧。

$\text{div}\vec{F}=1+1+1=3$。 $\iint =3{\iiint }_{\Omega }dV=3\cdot \frac{4\pi R^3}{3}=4\pi R^3$

7. Stokes 公式

7.1 定理

设 $\Sigma$ 为光滑曲面，其边界曲线 $\Gamma$ 为分段光滑闭曲线，则

${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

方向关系：$\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手定则。

7.2 旋度

$\text{rot}\vec{F}=\nabla \times \vec{F}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$

Stokes 公式：${\oint }_{\Gamma }\vec{F}\cdot d\vec{r}={\iint }_{\Sigma }\text{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}$

例：计算 ${\oint }_{\Gamma }ydx+zdy+xdz$，$\Gamma$ 为 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 与 $x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看逆时针。

$\text{rot}\vec{F}=(-1,-1,-1)$，取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=0$ 被 $\Gamma$ 所围部分，法向量 $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$。 ${\oint }_{\Gamma }={\iint }_{\Sigma }(-1,-1,-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)dS=-\sqrt{3}{\iint }_{\Sigma }dS=-\sqrt{3}\cdot \pi R^2$

8. 场论初步

8.1 数量场与向量场

• 数量场：空间区域中每点对应一个数量，如温度场 $T(x,y,z)$
• 向量场：空间区域中每点对应一个向量，如速度场 $\vec{v}(x,y,z)$

8.2 梯度、散度、旋度

8.3 保守场

若 $\vec{F}=\nabla f$（即 $\vec{F}$ 是某数量场的梯度），则 $\vec{F}$ 为保守场。

等价条件（单连通区域内）：

1. $\text{rot}\vec{F}=\vec{0}$（无旋场）
2. ${\oint }_{\Gamma }\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$（任意闭曲线）
3. ${\int }_L\vec{F}\cdot d\vec{r}$ 与路径无关
4. $\vec{F}$ 为保守场

8.4 算子运算

$\nabla \cdot (\nabla f)=\Delta f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

$\Delta$ 为 Laplace 算子，$\Delta f=0$ 的解称为调和函数。

$\nabla \times (\nabla f)=\vec{0}$

$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F})=0$