重积分典型例题

1. 二重积分交换积分顺序

例1：交换积分顺序 ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x,y)dy$

解：原积分区域 $D:0\le x\le 1,x\le y\le 1$

交换后：$0\le y\le 1,0\le x\le y$

${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x,y)dy={\int }_0^{1}dy{\int }_0^{y}f(x,y)dx$

例2：交换积分顺序 ${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x^2}f(x,y)dy+{\int }_1^{\sqrt{2}}dx{\int }_0^{2-x^2}f(x,y)dy$

解：区域 $D=D_1\cup D_2$，其中：

$D_1:0\le x\le 1,0\le y\le x^2$

$D_2:1\le x\le \sqrt{2},0\le y\le 2-x^2$

合并后 $D:0\le y\le 1,\sqrt{y}\le x\le \sqrt{2-y}$

${\int }_0^{1}dy{\int }_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y}}f(x,y)dx$

2. 极坐标计算二重积分

例3：求 ${\iint }_D{e}^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中 $D:x^2+y^2\le R^2$

解：极坐标变换：

${\iint }_D{e}^{-r^2}\cdot rdrd\theta ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{R}r{e}^{-r^2}dr=2\pi \cdot {\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^R=\pi (1-e^{-R^2})$

令 $R\to +\infty$：${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$（概率积分）

例4：求 ${\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}d\sigma$，其中 $D:x^2+y^2\le 2x$

解：$x^2+y^2\le 2x$ 即 $(x-1{)}^2+y^2\le 1$，极坐标 $r=2\cos \theta$，$\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$

${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2\cos \theta }r\cdot rdr={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{8{\cos }^3\theta }{3}d\theta =\frac{16}{3}{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta =\frac{16}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{32}{9}$

3. 二重积分对称性

例5：求 ${\iint }_D(x^2+y^2)d\sigma$，其中 $D:|x|+|y|\le 1$

解：利用对称性，只需计算第一象限部分再乘 4：

$D_1:x+y\le 1,x\ge 0,y\ge 0$

$4{\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}(x^2+y^2)dy=4{\int }_0^1\left[x^2(1-x)+\frac{(1-x{)}^3}{3}\right]dx$

$=4{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{(1-x{)}^4}{12}\right]}_0^1=4\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right]=\frac{2}{3}$

4. 二重积分综合

例6：求 ${\iint }_D|xy|d\sigma$，其中 $D:x^2+y^2\le a^2$

解：由对称性：

${\iint }_D|xy|d\sigma =4{\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^a{r}^2\cos \theta \sin \theta \cdot rdr=4{\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin 2\theta }{2}d\theta {\int }_0^a{r}^{3}dr$

$=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a^4}{4}=\frac{a^4}{2}$

例7：设 $f(x)$ 连续，证明：${\iint }_{D}f(x+y)dxdy={\int }_{-1}^{1}f(u)du$，其中 $D:|x|+|y|\le 1$。

证明：令 $u=x+y$，$v=x-y$，Jacobian $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\frac{1}{2}$

$D$ 变为 $|u|\le 1,|v|\le 1$

${\iint }_{D}f(x+y)dxdy={\int }_{-1}^{1}f(u)du{\int }_{-1}^1\frac{1}{2}dv={\int }_{-1}^{1}f(u)du$

5. 三重积分

例8：求 ${\iiint }_{\Omega }zdV$，其中 $\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=1$ 围成。

解：柱坐标，$z$ 从 $r^2$ 到 $1$，$r$ 从 $0$ 到 $1$：

${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}rdr{\int }_{r^2}^{1}zdz=2\pi {\int }_0^{1}r\cdot \frac{1-r^4}{2}dr=\pi {\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^6}{6}\right]}_0^1=\frac{\pi }{3}$

例9：求 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dV$，其中 $\Omega :x^2+y^2+z^2\le R^2$

解：球坐标：

${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }d\phi {\int }_0^R{r}^2\cdot r^2\sin \phi dr=2\pi \cdot 2\cdot \frac{R^5}{5}=\frac{4\pi R^5}{5}$

例10：求 ${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dV$，其中 $\Omega :x^2+y^2+z^2\le R^2$

解：由对称性，$\iiint x^{2}dV=\iiint y^{2}dV=\iiint z^{2}dV$

$\iiint (x^2+y^2+z^2)dV=\frac{4\pi R^5}{5}$

$\iiint z^{2}dV=\frac{1}{3}\cdot \frac{4\pi R^5}{5}=\frac{4\pi R^5}{15}$

6. 重积分应用

例11：求球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 内接正圆柱体的最大体积。

解：设圆柱底面半径 $r$，高 $2h$，则 $r^2+h^2=R^2$

$V=\pi r^2\cdot 2h=2\pi (R^2-h^2)h$

令 $\frac{dV}{dh}=2\pi (R^2-3h^2)=0$，$h=\frac{R}{\sqrt{3}}$

$V_{\max }=2\pi \cdot \frac{2R^2}{3}\cdot \frac{R}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}\pi R^3}{9}$

例12：求由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=2-x^2-y^2$ 围成立体的体积。

解：联立 $x^2+y^2=1$

$V={\iint }_{x^2+y^2\le 1}[(2-x^2-y^2)-(x^2+y^2)]d\sigma =\iint (2-2r^2)rdrd\theta$

$=2\pi {\int }_0^1(2r-2r^3)dr=2\pi {\left[r^2-\frac{r^4}{2}\right]}_0^1=\pi$

7. 变量替换

例13：求 ${\iint }_D\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}d\sigma$，其中 $D:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$

解：广义极坐标 $x=ar\cos \theta$，$y=br\sin \theta$，Jacobian $=abr$

${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1\sqrt{1-r^2}\cdot abrdr=2\pi ab{\int }_0^{1}r\sqrt{1-r^2}dr=2\pi ab\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\pi ab}{3}$

例14：求 ${\iiint }_{\Omega }\sqrt{x^2+y^2}dV$，其中 $\Omega$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $z=1$ 围成。

解：柱坐标：

${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}r\cdot rdr{\int }_r^{1}dz=2\pi {\int }_0^1{r}^2(1-r)dr=2\pi {\left[\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4}\right]}_0^1=\frac{\pi }{6}$

例15：设 $f(x)$ 连续且 $f(x)>0$，$F(t)=\frac{{\iiint }_{{\Omega }_t}f(x^2+y^2+z^2)dV}{{\iint }_{D_t}f(x^2+y^2)d\sigma }$，其中 ${\Omega }_t:x^2+y^2+z^2\le t^2$，$D_t:x^2+y^2\le t^2$。求 $F(t)$。

解：

分子（球坐标）：

${\iiint }_{{\Omega }_t}f(r^2)r^2\sin \phi drd\phi d\theta =4\pi {\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr$

分母（极坐标）：

${\iint }_{D_t}f(r^2)rdrd\theta =2\pi {\int }_0^{t}rf(r^2)dr$

$F(t)=\frac{4\pi {\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr}{2\pi {\int }_0^{t}rf(r^2)dr}=\frac{2{\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr}{{\int }_0^{t}rf(r^2)dr}$