重积分

1. 二重积分的概念与性质

1.1 定义

设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界，将 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_i$，$\lambda$ 为各小区域直径的最大值，${\xi }_i\in \Delta {\sigma }_i$，若

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta {\sigma }_i$

存在，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积。

1.2 性质

${\iint }_D[f(x,y)\pm g(x,y)]d\sigma ={\iint }_{D}fd\sigma \pm {\iint }_{D}gd\sigma$

${\iint }_{D}kfd\sigma =k{\iint }_{D}fd\sigma$

${\iint }_{D}fd\sigma ={\iint }_{D_1}fd\sigma +{\iint }_{D_2}fd\sigma (D=D_1\cup D_2)$

比较性质：若 $f\le g$，则 ${\iint }_{D}fd\sigma \le {\iint }_{D}gd\sigma$。

估值定理：设 $m\le f\le M$，则 $m{\sigma }_D\le {\iint }_{D}fd\sigma \le M{\sigma }_D$。

中值定理：$f$ 在 $D$ 上连续，则存在 $(\xi ,\eta )\in D$ 使得 ${\iint }_{D}fd\sigma =f(\xi ,\eta ){\sigma }_D$。

2. 二重积分的计算

2.1 直角坐标系

X-型区域（$a\le x\le b$，${\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$）：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^b\left[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right]dx$

Y-型区域（$c\le y\le d$，${\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)$）：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^d\left[{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx\right]dy$

例：计算 ${\iint }_{D}xyd\sigma$，其中 $D$ 由 $y=x^2$ 和 $y=x$ 围成。

交点：$(0,0)$ 和 $(1,1)$。 ${\iint }_{D}xyd\sigma ={\int }_0^{1}dx{\int }_{x^2}^{x}xydy={\int }_0^{1}x{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_{x^2}^{x}dx={\int }_0^1\frac{x}{2}(x^2-x^4)dx=\frac{1}{2}{\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}\right]}_0^1=\frac{1}{24}$

2.2 极坐标系

设 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$d\sigma =rdrd\theta$。

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$

适用场景：

• 积分区域为圆、扇形、环形
• 被积函数含 $x^2+y^2$

例：计算 ${\iint }_D{e}^{-x^2-y^2}d\sigma$，$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le a^2\}$。

${\iint }_D{e}^{-r^2}rdrd\theta ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{e}^{-r^2}rdr=2\pi {\left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]}_0^a=\pi (1-e^{-a^2})$

注：由此令 $a\to +\infty$ 可得 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$（Gauss 积分）。

2.3 交换积分次序

步骤：

1. 由原积分限画出积分区域 $D$
2. 重新确定积分限

例：交换 ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x,y)dy$ 的积分次序。

$D$：$0\le x\le 1$，$x\le y\le 1$，即 $0\le y\le 1$，$0\le x\le y$。 ${\int }_0^{1}dy{\int }_0^{y}f(x,y)dx$

2.4 利用对称性

• 若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$f(x,-y)=-f(x,y)$（关于 $y$ 为奇函数），则 ${\iint }_{D}fd\sigma =0$
• 若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$f(x,-y)=f(x,y)$（关于 $y$ 为偶函数），则 ${\iint }_{D}fd\sigma =2{\iint }_{D_1}fd\sigma$

3. 三重积分

3.1 定义

${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$

3.2 直角坐标系

先一后二（投影法）：

${\iiint }_{\Omega }fdV={\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right]d\sigma$

先二后一（截面法）：

${\iiint }_{\Omega }fdV={\int }_{c_1}^{c_2}\left[{\iint }_{D_z}f(x,y,z)d\sigma \right]dz$

例：计算 ${\iiint }_{\Omega }zdV$，$\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=1$ 围成。

用截面法：$D_z=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le z\}$，$0\le z\le 1$。 ${\int }_0^{1}z\cdot \pi zdz=\pi {\int }_0^1{z}^{2}dz=\frac{\pi }{3}$

3.3 柱面坐标

$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$z=z$，$dV=rdrd\theta dz$。

${\iiint }_{\Omega }fdV={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}rdr{\int }_{z_1(r,\theta )}^{z_2(r,\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)dz$

适用场景：投影区域为圆，被积函数含 $x^2+y^2$。

例：计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)dV$，$\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=4$ 围成。

${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{2}rdr{\int }_{r^2}^4{r}^{2}dz=2\pi {\int }_0^2{r}^3(4-r^2)dr=2\pi {\left[r^4-\frac{r^6}{6}\right]}_0^2=2\pi \left(16-\frac{32}{3}\right)=\frac{32\pi }{3}$

3.4 球面坐标

$x=r\sin \phi \cos \theta$，$y=r\sin \phi \sin \theta$，$z=r\cos \phi$，$dV=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$。

其中 $r\ge 0$，$0\le \phi \le \pi$，$0\le \theta \le 2\pi$。

适用场景：积分区域为球体、锥体，被积函数含 $x^2+y^2+z^2$。

例：计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dV$，$\Omega :x^2+y^2+z^2\le R^2$。

${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi {\int }_0^R{r}^2\cdot r^{2}dr=2\pi \cdot 2\cdot \frac{R^5}{5}=\frac{4\pi R^5}{5}$

4. 重积分换元

4.1 二重积分换元

设变换 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$ 将 $D^{\prime }$ 一一映射到 $D$，则

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f[x(u,v),y(u,v)]|J|dudv$

其中 Jacobian 行列式：

$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|$

4.2 三重积分换元

${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]|J|dudvdw$

$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left|\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& x_w\\ y_u& y_v& y_w\\ z_u& z_v& z_w\end{array}\right|$

4.3 常用换元

5. 重积分的应用

5.1 立体体积

$V={\iiint }_{\Omega }dV={\iint }_{D_{xy}}[z_2(x,y)-z_1(x,y)]d\sigma$

5.2 曲面面积

设曲面 $z=f(x,y)$，$(x,y)\in D$，则

$S={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}d\sigma$

5.3 质量

设密度为 $\rho (x,y)$（薄片）或 $\rho (x,y,z)$（立体）：

$m={\iint }_D\rho (x,y)d\sigma \text{或}m={\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dV$

5.4 重心

$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho d\sigma }{{\iint }_D\rho d\sigma },\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}y\rho d\sigma }{{\iint }_D\rho d\sigma }$

5.5 转动惯量

平面薄片关于 $x$ 轴的转动惯量：

$I_x={\iint }_D{y}^2\rho d\sigma$

关于 $y$ 轴：$I_y={\iint }_D{x}^2\rho d\sigma$

关于原点：$I_O=I_x+I_y={\iint }_D(x^2+y^2)\rho d\sigma$

例：求均匀半圆（半径 $R$，面密度 $\rho$）关于直径的转动惯量。

设半圆在 $y\ge 0$，关于 $x$ 轴的转动惯量： $I_x=\rho {\iint }_D{y}^{2}d\sigma =\rho {\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^R{r}^2{\sin }^2\theta \cdot rdr=\rho \cdot \frac{\pi }{2}\cdot \frac{R^4}{4}=\frac{\pi \rho R^4}{8}$ 质量 $m=\frac{\pi R^2\rho }{2}$，故 $I_x=\frac{m{R}^2}{4}$。

5.6 引力

设立体 $\Omega$（密度 $\rho$）对体外质点 $(0,0,a)$（质量 $m$）的引力 $z$ 分量：

$F_z=Gm{\iiint }_{\Omega }\frac{\rho (z-a)}{[x^2+y^2+(z-a{)}^2{]}^{3/2}}dV$