不定积分

1. 原函数与不定积分

1.1 原函数

若 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。

原函数存在定理：连续函数必有原函数。

原函数的个数：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）给出了 $f(x)$ 的全部原函数。

1.2 不定积分的定义

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

其中 $F'(x) = f(x)$，$C$ 为积分常数。

1.3 不定积分的性质

$\left[\int f(x)\,dx\right]' = f(x)$

$\int F'(x)\,dx = F(x) + C$

$\int[f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \quad (k \neq 0)$

2. 基本积分公式

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$

$\int \sec x \tan x\,dx = \sec x + C$

$\int \csc x \cot x\,dx = -\csc x + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$

$\int \frac{1}{x^2-a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}\,dx = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C$

3. 换元积分法

3.1 第一类换元法（凑微分法）

设 $\int f(u)\,du = F(u) + C$，$u = \varphi(x)$ 可微，则

$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx = F[\varphi(x)] + C$

常用凑微分：

$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\int f(ax+b)\,d(ax+b)$

$\int xf(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int f(x^2)\,d(x^2)$

$\int \frac{f(\ln x)}{x}\,dx = \int f(\ln x)\,d(\ln x)$

$\int f(e^x)e^x\,dx = \int f(e^x)\,d(e^x)$

$\int f(\sin x)\cos x\,dx = \int f(\sin x)\,d(\sin x)$

例：求 $\int \frac{dx}{x(1+\ln x)}$。

$\int \frac{dx}{x(1+\ln x)} = \int \frac{d(\ln x)}{1+\ln x} = \int \frac{d(1+\ln x)}{1+\ln x} = \ln|1+\ln x| + C$

例：求 $\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$。

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = 2\int \frac{d(\sqrt{x})}{1+(\sqrt{x})^2} = 2\arctan\sqrt{x} + C$

3.2 第二类换元法

设 $x = \varphi(t)$ 单调可导且 $\varphi'(t) \neq 0$，则

$\int f(x)\,dx = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt$

常用代换：

例：求 $\int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx$（$a > 0$）。

设 $x = a\sin t$，$dx = a\cos t\,dt$： $\int a\cos t \cdot a\cos t\,dt = a^2\int \cos^2 t\,dt = a^2\int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \frac{a^2}{2}\left(t + \frac{\sin 2t}{2}\right) + C$ 回代 $t = \arcsin\frac{x}{a}$，$\sin 2t = 2\sin t\cos t = \frac{2x\sqrt{a^2-x^2}}{a^2}$： $= \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2} + C$

4. 分部积分法

4.1 公式

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

4.2 选 $u$ 的优先顺序（LIATE 法则）

1. L — 对数函数：$\ln x$，$\log_a x$
2. I — 反三角函数：$\arcsin x$，$\arctan x$
3. A — 代数函数：$x^n$，多项式
4. T — 三角函数：$\sin x$，$\cos x$
5. E — 指数函数：$e^x$，$a^x$

排在前面的选作 $u$，排在后面的与 $dx$ 凑成 $dv$。

例：求 $\int x e^x\,dx$。

设 $u = x$，$dv = e^x\,dx$，则 $du = dx$，$v = e^x$。 $\int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$

例：求 $\int x^2 \sin x\,dx$。

设 $u = x^2$，$dv = \sin x\,dx$，则 $du = 2x\,dx$，$v = -\cos x$。 $\int x^2 \sin x\,dx = -x^2\cos x + 2\int x\cos x\,dx$ 再分部：$u = x$，$dv = \cos x\,dx$，$du = dx$，$v = \sin x$。 $= -x^2\cos x + 2(x\sin x - \int \sin x\,dx) = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$

例（递推型）：求 $I_n = \int e^x \sin x\,dx$。

设 $u = \sin x$，$dv = e^x\,dx$，则 $du = \cos x\,dx$，$v = e^x$。 $I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$ 再分部：$u = \cos x$，$dv = e^x\,dx$，$du = -\sin x\,dx$，$v = e^x$。 $I = e^x\sin x - (e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx) = e^x\sin x - e^x\cos x - I$ $2I = e^x(\sin x - \cos x)$，$I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$

5. 有理函数积分

5.1 部分分式分解

设 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 为有理函数（$P$, $Q$ 为多项式），先做多项式除法化为真分式，再对分母因式分解后拆分。

分解规则：

例：求 $\int \frac{dx}{x^2 - 5x + 6}$。

$\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$ $1 = A(x-3) + B(x-2)$，令 $x=2$：$A=-1$；令 $x=3$：$B=1$。 $\int \frac{dx}{x^2-5x+6} = -\int\frac{dx}{x-2} + \int\frac{dx}{x-3} = -\ln|x-2| + \ln|x-3| + C = \ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + C$

6. 三角函数积分

6.1 $\int \sin^m x \cos^n x\,dx$

• $m$ 为奇数：设 $u = \cos x$，提出 $\sin x\,dx = -du$
• $n$ 为奇数：设 $u = \sin x$，提出 $\cos x\,dx = du$
• $m$, $n$ 均为偶数：用半角公式降幂

例：求 $\int \sin^3 x\,dx$。

$\int \sin^3 x\,dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\,dx = -\int(1-\cos^2 x)\,d(\cos x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

6.2 万能代换

对 $\int R(\sin x, \cos x)\,dx$，设 $t = \tan\frac{x}{2}$，则

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt$

例：求 $\int \frac{dx}{1+\sin x}$。

设 $t = \tan\frac{x}{2}$： $\int \frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}} = \int \frac{2\,dt}{(1+t)^2} = -\frac{2}{1+t} + C = -\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}} + C$