微分中值定理典型例题

1. 罗尔定理应用

例1：证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

证明：

存在性：$f(0) = 1 > 0$，$f(1) = -1 < 0$，由零点定理，$\exists \xi \in (0,1)$ 使 $f(\xi) = 0$。

唯一性：若有两个根 $\xi_1 < \xi_2$，则 $f(\xi_1) = f(\xi_2) = 0$，由罗尔定理 $\exists c \in (\xi_1, \xi_2)$ 使 $f'(c) = 0$。但 $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$，在 $(0,1)$ 内 $f'(x) < 0$，矛盾。

例2：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续、$(0,1)$ 可导，且 $f(0) = f(1) = 0$，$f\left(\frac{1}{2}\right) = 1$。证明：$\exists \xi \in (0,1)$ 使 $f'(\xi) = 1$。

证明：令 $g(x) = f(x) - x$，则 $g(0) = 0$，$g(1) = -1$，$g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$。

由 $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} > 0$ 和 $g(1) = -1 < 0$，由零点定理 $\exists c \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使 $g(c) = 0$。

又 $g(0) = 0$，由罗尔定理 $\exists \xi \in (0, c)$ 使 $g'(\xi) = 0$，即 $f'(\xi) - 1 = 0$，$f'(\xi) = 1$。

2. 拉格朗日中值定理

例3：证明：当 $x > 0$ 时，$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$。

证明：设 $f(t) = \ln(1+t)$，在 $[0, x]$ 上用拉格朗日中值定理：

$\frac{\ln(1+x) - \ln 1}{x - 0} = \frac{1}{1+\xi}, \quad \xi \in (0, x)$

因为 $0 < \xi < x$，所以 $\frac{1}{1+x} < \frac{1}{1+\xi} < 1$，即：

$\frac{1}{1+x} < \frac{\ln(1+x)}{x} < 1$

$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$

例4：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，证明：$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $f(b) - f(a) = \xi f'(\xi) \ln\frac{b}{a}$。

证明：令 $g(x) = \ln x$，对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 用柯西中值定理：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f'(\xi)}{1/\xi} = \xi f'(\xi)$

$f(b) - f(a) = \xi f'(\xi) \cdot (\ln b - \ln a) = \xi f'(\xi) \ln\frac{b}{a}$

3. 柯西中值定理

例5：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导（$a > 0$），证明：$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $2\xi[f(b)-f(a)] = (b^2-a^2)f'(\xi)$。

证明：令 $g(x) = x^2$，对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 用柯西中值定理：

$\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\xi)}{2\xi}$

$2\xi[f(b)-f(a)] = (b^2-a^2)f'(\xi)$

例6：设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，$f(0) = 0$，且 $0 \leq f'(x) \leq \frac{1}{2}$，证明：$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 0$。

证明：由拉格朗日中值定理，$f(x) = f(x) - f(0) = f'(\xi) \cdot x$，其中 $\xi \in (0, x)$。

$0 \leq f(x) \leq \frac{1}{2}x$

$0 \leq \frac{f(x)}{x^2} \leq \frac{1}{2x}$

由夹逼准则，$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 0$。

4. 泰勒公式应用

例7：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}$。

解：$e^x$ 的三阶麦克劳林展开：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{6}$

例8：设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x}{x^2} = 1$，求 $f(0)$，$f'(0)$，$f''(0)$。

解：泰勒展开 $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$

$\frac{f(x)-x}{x^2} = \frac{f(0) + (f'(0)-1)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2}$

极限为 1，要求：

• $f(0) = 0$
• $f'(0) - 1 = 0 \Rightarrow f'(0) = 1$
• $\frac{f''(0)}{2} = 1 \Rightarrow f''(0) = 2$

5. 证明题综合

例9：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 二阶可导，$f(0) = f(1) = 0$，$\min_{[0,1]} f(x) = -1$。证明：$\exists \xi \in (0,1)$ 使 $f''(\xi) \geq 8$。

证明：设 $f(x)$ 在 $x = c \in (0,1)$ 取最小值 $-1$，则 $f'(c) = 0$。

在 $[0, c]$ 上用泰勒公式（在 $c$ 处展开）：

$f(0) = f(c) + f'(c)(0-c) + \frac{f''(\xi_1)}{2}(0-c)^2$

$0 = -1 + 0 + \frac{f''(\xi_1)}{2}c^2 \Rightarrow f''(\xi_1) = \frac{2}{c^2}$

在 $[c, 1]$ 上同理：

$0 = -1 + \frac{f''(\xi_2)}{2}(1-c)^2 \Rightarrow f''(\xi_2) = \frac{2}{(1-c)^2}$

取 $\xi = \xi_1$ 或 $\xi_2$：

若 $c \leq \frac{1}{2}$，则 $f''(\xi_1) = \frac{2}{c^2} \geq \frac{2}{(1/2)^2} = 8$

若 $c > \frac{1}{2}$，则 $f''(\xi_2) = \frac{2}{(1-c)^2} \geq \frac{2}{(1/2)^2} = 8$

例10：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，$f(a) = f(b) = 0$，证明：$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi) + f'(\xi) = 0$。

证明：令 $F(x) = e^x f(x)$，则 $F(a) = F(b) = 0$。

$F(x)$ 在 $[a,b]$ 满足罗尔定理条件，故 $\exists \xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi) = 0$：

$e^\xi f(\xi) + e^\xi f'(\xi) = 0 \Rightarrow f(\xi) + f'(\xi) = 0$

例11：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续、$(0,1)$ 可导，$f(0) = 0$，$f(1) = 1$。证明：$\exists \xi_1, \xi_2 \in (0,1)$ 使 $\frac{1}{f'(\xi_1)} + \frac{1}{f'(\xi_2)} = 2$。

证明：由介值定理，$\exists c \in (0,1)$ 使 $f(c) = \frac{1}{2}$。

在 $[0, c]$ 上用拉格朗日中值定理：$f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(0)}{c-0} = \frac{1}{2c}$

在 $[c, 1]$ 上用拉格朗日中值定理：$f'(\xi_2) = \frac{f(1)-f(c)}{1-c} = \frac{1}{2(1-c)}$

$\frac{1}{f'(\xi_1)} + \frac{1}{f'(\xi_2)} = 2c + 2(1-c) = 2$

6. 函数单调性与极值

例12：求 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ 的单调区间和极值。

解：$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$x = 0$：极大值 $f(0) = 4$

$x = 2$：极小值 $f(2) = 0$

例13：证明：$x > 0$ 时 $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$。

证明：令 $f(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}$

$f(0) = 0$，$f'(x) = e^x - 1 - x$，$f'(0) = 0$

$f''(x) = e^x - 1$，当 $x > 0$ 时 $f''(x) > 0$

所以 $f'(x)$ 在 $x > 0$ 递增，$f'(x) > f'(0) = 0$

所以 $f(x)$ 在 $x > 0$ 递增，$f(x) > f(0) = 0$，即 $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$。

7. 凹凸性与拐点

例14：求 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ 的凹凸区间和拐点。

解：$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 4(x-1)^3$

$f''(x) = 12(x-1)^2$

$f''(x) \geq 0$ 对所有 $x$ 成立，且仅在 $x=1$ 处 $f''(x) = 0$。

但 $f''(x)$ 在 $x=1$ 两侧不变号，故 $x=1$ 不是拐点。

$f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上都是凹的，无拐点。

例15：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，$f'(a) = f'(b) = 0$，证明：$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $|f''(\xi)| \geq \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|$。

证明：设 $c = \frac{a+b}{2}$，在 $[a, c]$ 上对 $f(x)$ 在 $x=a$ 处泰勒展开：

$f(c) = f(a) + f'(a)(c-a) + \frac{f''(\xi_1)}{2}(c-a)^2 = f(a) + \frac{f''(\xi_1)}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2$

同理在 $[c, b]$ 上：

$f(c) = f(b) + \frac{f''(\xi_2)}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2$

两式相减：

$f(b) - f(a) = \frac{(b-a)^2}{8}[f''(\xi_1) - f''(\xi_2)]$

$|f(b)-f(a)| \leq \frac{(b-a)^2}{8}[|f''(\xi_1)| + |f''(\xi_2)|] \leq \frac{(b-a)^2}{8} \cdot 2\max\{|f''(\xi_1)|, |f''(\xi_2)|\}$

取 $\xi$ 为 $\xi_1$ 或 $\xi_2$ 中 $|f''|$ 较大者，即得 $|f''(\xi)| \geq \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|$。