高等数学 知识地图
模块知识结构与学习路径 | 19 篇文档 | 20 个节点 | 54 条关系
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文档索引
函数与极限函数概念、基本初等函数、极限定义（ε-δ/ε-N）、极限运算法则、两个重要极限、无穷小与无穷大、连续与间断。本篇以 Spivak/Apostol/Rudin 风格的严格分析视角,系统阐述从穷竭法到 ε-δ 语言的微积分基础理论,配套 40+ Python/SymPy 代码示例与 10 道 Spivak 风格习题。
导数与微分导数与微分的严格理论体系：ε-δ 定义、Carathéodory 定义、链式法则证明、中值定理（Rolle/Lagrange/Cauchy）、Taylor 定理及余项、高阶导数与 Leibniz 公式。配套 40+ Python/SymPy/PyTorch 代码示例（数值求导、符号求导、自动求导、神经网络反向传播），4 个 Mermaid 图与 50+ KaTeX 公式，10 道 Spivak 风格习题与 12 条 ACM 格式参考文献。本篇以 Spivak Calculus 4th、Apostol Vol 1、Rudin PMA 与 Tao Analysis I 为标杆，采用严格分析风格。
微分中值定理微分中值定理的严格理论体系：Rolle 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理、Taylor 定理（Peano/Lagrange/Cauchy/Schlomilch 四种余项）、Darboux 定理（导数介值定理）、积分中值定理（两种形式）、Flett 定理与 Pompeiu 定理。配套 40+ Python/SymPy/PyTorch 代码示例（数值验证、符号推导、Taylor 逼近、Newton 迭代、RK4 误差分析、autograd 梯度检查），6 个 Mermaid 图与 80+ KaTeX 块级公式，10 道 Spivak 风格习题与 14 条 ACM 格式参考文献。本篇以 Spivak Calculus 4th、Apostol Vol 1、Rudin PMA、Tao Analysis I 为标杆，采用严格分析风格。
不定积分原函数与不定积分、基本积分公式、换元积分法（第一/二类）、分部积分法、有理函数积分、三角函数积分。
定积分与应用定积分的 Riemann/Darboux 形式化定义、Newton-Leibniz 公式与微积分基本定理、换元与分部、反常积分、面积/体积/弧长/功。本篇以 Spivak/Apostol/Rudin 风格的严格分析视角,系统阐述从穷竭法到 Riemann 严格化再到 Lebesgue 测度与 Henstock-Kurzweill 积分的演化,配套 40+ Python/SymPy/scipy 代码示例、6 个 Mermaid 图与 10 道 Spivak 风格习题。
多元函数微分空间解析几何、多元函数极限与连续、偏导数、全微分、方向导数与梯度、多元复合函数求导、隐函数定理、极值与条件极值。
重积分重积分的 Riemann 与 Lebesgue 形式化定义、Fubini-Tonelli 定理、变量替换与 Jacobian 行列式、极/柱/球坐标系、Gauss-Green-Stokes 向量分析定理、Monte Carlo 高维积分与工程应用。本篇以 Spivak Calculus on Manifolds、Apostol Mathematical Analysis、Rudin PMA/RA、Folland Real Analysis 风格严格阐述,配套 40+ Python/SymPy/scipy 数值与符号计算示例、6 个 Mermaid 图、12 道 Spivak 风格习题。
曲线积分与曲面积分第一/二类曲线积分、Green公式、第一/二类曲面积分、Gauss公式、Stokes公式、场论初步。
公式速查表高等数学全部核心公式速查：极限、导数、积分、级数、微分方程等公式汇总。
无穷级数与常微分方程常数项级数收敛判别法、幂级数收敛半径与展开、傅里叶级数；常微分方程：一阶/可降阶/二阶常系数线性/欧拉方程。
函数与极限典型例题函数与极限15道典型例题：极限计算、等价无穷小、连续性判断等核心题型详解。
导数与微分典型例题导数与微分15道典型例题：求导法则、隐函数求导、参数方程求导、高阶导数等核心题型。
微分中值定理典型例题微分中值定理15道典型例题：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式等核心题型。
不定积分典型例题不定积分15道典型例题：凑微分、换元积分、分部积分、有理函数积分等核心题型。
定积分与应用典型例题定积分与应用15道典型例题：定积分计算、变限积分、反常积分、几何与物理应用等核心题型。
多元函数微分典型例题多元函数微分15道典型例题：偏导数、全微分、链式法则、方向导数、极值与条件极值等核心题型。
重积分典型例题重积分15道典型例题：二重积分计算、极坐标变换、三重积分、柱坐标与球坐标等核心题型。
曲线积分与曲面积分典型例题曲线积分与曲面积分15道典型例题：第一/二类曲线积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等核心题型。
无穷级数与常微分方程典型例题无穷级数与常微分方程15道典型例题：级数审敛、幂级数展开、傅里叶级数、微分方程求解等核心题型。