导数与微分

第 1 章 学习目标与导论

本篇是 FANDEX 微积分模块的第二篇,系统阐述导数与微分这两个紧密关联的核心概念。本篇以 Spivak《Calculus》4th Edition、Apostol《Calculus》Vol 1、Rudin《Principles of Mathematical Analysis》3rd Edition、Tao《Analysis I》3rd Edition 与 Hardy《A Course of Pure Mathematics》10th Edition 为标杆,采用严格分析风格,所有核心概念均配 ε-δ 或 Carathéodory 形式化定义,所有定理均附证明或证明思路。

1.1 学习目标

完成本篇学习后,学习者将能够:

1. 记忆 ε-δ 形式化导数定义与 Carathéodory 等价定义,能够准确陈述单侧导数、可微性与微分的严格定义(对应 Bloom:remember)
2. 理解 Newton 流数法、Leibniz 微分符号、Cauchy 严格化、Weierstrass ε-δ 语言、Carathéodory 定义的历史演进脉络与认知差异(对应 Bloom:understand)
3. 应用 四则运算法则、链式法则、反函数求导、隐函数求导、参数方程求导与对数求导法计算复杂函数的导数(对应 Bloom:apply)
4. 分析 可微与连续的蕴含关系、链式法则的严格证明思路、Rolle/Lagrange/Cauchy 中值定理的证明与适用条件(对应 Bloom:analyze)
5. 评估 数值求导、符号求导、自动求导(前向/反向模式)三类方法的精度、复杂度与适用场景,识别常见数值不稳定陷阱(对应 Bloom:evaluate)
6. 创造性地运用 Taylor 定理与余项估计构造函数逼近、设计机器学习梯度下降算法并实现神经网络反向传播(对应 Bloom:create)

1.2 本篇的定位

导数是微积分的核心概念之一,刻画了函数在某一点的瞬时变化率。从几何上看,导数是切线的斜率;从物理上看,导数是瞬时速度;从经济学上看,导数是边际量。然而,这些直观描述远不足以揭示导数的深刻本质 —— 导数是一个线性逼近的代数结构:函数 $f$ 在 $x_0$ 可导,意味着在 $x_0$ 附近可以用一个线性函数 $L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ 逼近 $f$,误差为 $o(x - x_0)$。这一视角是连接一元微积分与多元微积分、流形上的微分、泛函分析中的 Fréchet 导数的统一桥梁。

本篇严格遵循现代分析的观点,放弃”无穷小是无限小的量”这种朴素直觉,转而用 ε-δ 语言与 Carathéodory 等价定义建立导数的严格框架。在证明链式法则、中值定理、Taylor 定理等核心定理时,我们将特别强调证明的”构造性”与”可程序化”,为后续在工程实践中实现自动微分、反向传播奠定理论基础。

1.3 与函数与极限的衔接

本篇是 calculus/函数与极限 的直接续篇。读者应已掌握:

• ε-δ 形式化极限定义与极限运算法则
• 函数连续性定义与连续函数性质(介值定理、最值定理)
• 一致连续与 Heine 定理

本篇将在上述基础上引入导数概念,并最终通过中值定理与 Taylor 定理建立导数与函数全局行为的深刻联系。

第 2 章 历史动机

2.1 切线问题:古希腊的探索

导数概念的几何起源是切线问题:给定一条曲线与其上一点,求该点处的切线。古希腊数学家 Euclid(约公元前 300 年)在《几何原本》中将圆的切线定义为”与圆仅有一个公共点的直线”,但这一定义无法推广到一般曲线。Archimedes(约公元前 287-212 年)在《论螺线》中给出了螺线 $r = a\theta$ 切线的作法,但其方法仍是几何的、特殊的。

17 世纪以前,切线问题主要依靠 Descartes 的代数法(1637 年《La Géométrie》)与 Fermat 的极值法(1638 年手稿)处理,二者本质上已蕴含了”差商极限”的思想,但尚未形成统一理论。

2.2 Newton 的流数术(1665-1671)

Isaac Newton(1643-1727)在 1665-1666 年的”奇迹年”(annus mirabilis)手稿中发展了流数术(Method of Fluxions),并于 1671 年完成手稿(死后才正式出版)。Newton 将变量视为”随时间流动的量”(fluents),记作 $x, y, z$;其瞬时变化率称为”流数”(fluxion),记作 $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$。即:

$\dot{x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$

Newton 的核心贡献是:

1. 统一了切线问题与运动学问题:切线斜率 = 瞬时速度 = 流数;
2. 建立了微积分基本定理:流数与”流量的面积”互为逆运算;
3. 应用于物理:在 1687 年《自然哲学的数学原理》中,Newton 用流数术推导了 Kepler 行星运动定律、万有引力定律等。

但 Newton 的方法存在两个缺陷:

• 概念模糊:Newton 用”消失量的比”(ultimate ratio of evanescent increments)描述极限,但未给出严格定义;
• 逻辑循环:用极限定义流数,又用流数解释极限。

2.3 Leibniz 的微分符号(1675-1684)

Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)在 1675 年手稿中首次引入了现代微积分符号,1684 年在《Acta Eruditorum》发表《Nova methodus pro maximis et minimis》(求极大极小与切线的新方法),正式公开其微积分理论。

Leibniz 的核心创新:

1. 微分记号 $dx$ 与 $dy$:将无穷小增量显式写出,使运算清晰可程序化;
2. 导数记号 $\frac{dy}{dx}$:差商 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 在 $\Delta x \to 0$ 时的”最终比”;
3. 求和记号 $\int$:拉丁文 “summa”(和)的拉长 S,表示微分的累积;
4. 运算法则:首次明确给出乘法法则 $d(uv) = u\,dv + v\,du$ 与商法则 $d(u/v) = (v\,du - u\,dv)/v^2$。

Leibniz 的符号体系优于 Newton 的点记号,直接催生了欧洲大陆分析学的繁荣(Bernoulli 兄弟、Euler、Lagrange 均使用 Leibniz 符号)。英国数学界因坚持 Newton 的符号,在 18-19 世纪落后于大陆约一个世纪。

2.4 Berkeley 主教的批评(1734)

爱尔兰主教 George Berkeley(1685-1753)在 1734 年出版《The Analyst》(分析学家),对 Newton 与 Leibniz 的无穷小概念进行了尖锐批评,著名段落:

“And what are these same evanescent increments? They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the ghosts of departed quantities?”

(这些消失的增量究竟是什么?它们既不是有限量,也不是无穷小量,更不是无。我们能否称它们为逝去量的幽灵?)

Berkeley 的批评击中了早期微积分的逻辑软肋,迫使后续数学家寻求严格基础。

2.5 Cauchy 的严格化(1821)

Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)在 1821 年《Cours d’Analyse》(分析教程)中首次用极限的严格定义重塑微积分。Cauchy 将导数定义为:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

其中极限的 $\varepsilon$-$\delta$ 雏形已出现,但 Cauchy 仍混用”无限趋近”等模糊语言。Cauchy 的贡献:

1. 用极限定义导数,取代了”消失量”的神秘概念;
2. 证明了中值定理(Mean Value Theorem)的严格形式;
3. 建立了 Taylor 级数收敛性理论。

2.6 Weierstrass 的 ε-δ 语言(1860s)

Karl Weierstrass(1815-1897)在 1860s 柏林讲座中将 ε-δ 语言系统化,使之成为现代分析的标配:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$

Weierstrass 的贡献:

1. 分离量词:严格区分 $\forall \varepsilon\, \exists \delta$ 与 $\exists \delta\, \forall \varepsilon$;
2. 去除运动直觉:用静态的逻辑命题取代”趋近”的运动描述;
3. 构造反例:1872 年构造了处处连续但处处不可导的函数 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$,彻底颠覆了”连续函数几乎处处可导”的直觉。

2.7 Carathéodory 的等价定义(1950)

Constantin Carathéodory(1873-1950)在 1950 年《Vorlesungen über reelle Funktionen》(实函数论讲义)中提出了导数的等价定义:

函数 $f$ 在 $x_0$ 可导,当且仅当存在一个在 $x_0$ 连续的函数 $\varphi$,使得 $f(x) - f(x_0) = \varphi(x) \cdot (x - x_0)$ 此时 $\varphi(x_0) = f'(x_0)$。

Carathéodory 定义的优雅之处在于:

1. 代数化:将”差商的极限”转化为”连续函数的代数分解”;
2. 链式法则简化:复合函数的差商可直接分解为两个连续函数的乘积,无需处理 $g(x) = g(x_0)$ 的退化情形;
3. 可微性统一:一元与多元情形用同一框架表达,自然推广到 Fréchet 导数。

2.8 自动微分的兴起(1964-)

导数理论在 20 世纪迎来了新的应用场景 —— 自动微分(Automatic Differentiation, AD)。IBM 的 Robert E. Wengert 于 1964 年在《A Simple Automatic Derivative Evaluation Program》中首次系统化提出 AD 的前向模式。Seppo Linnainmaa 于 1970 年在芬兰赫尔辛基理工大学的硕士论文中首次实现反向模式(即后来的 backpropagation)。1986 年 Rumelhart、Hinton、Williams 在《Nature》发表《Learning representations by back-propagating errors》,使反向传播成为深度学习的核心训练算法。

自动微分既非数值求导(不引入截断误差),也非符号求导(不展开表达式),而是利用链式法则在计算图上精确传播导数。这一思想将导数从”纸笔推导”的工具,转变为”机器自动计算”的基础设施,深刻影响了现代机器学习、科学计算、最优化等领域。

timeline
    title 导数概念的关键演进
    1665 : Newton 流数术手稿
    1675 : Leibniz 引入 dx/dy 符号
    1684 : Leibniz 发表新方法论文
    1687 : Newton 自然哲学的数学原理
    1734 : Berkeley 分析学家批评
    1797 : Lagrange 首次使用 derivative 一词
    1821 : Cauchy 分析教程严格化
    1860s : Weierstrass ε-δ 语言系统化
    1872 : Weierstrass 处处连续处处不可导函数
    1950 : Carathéodory 等价定义
    1964 : Wengert 自动微分前向模式
    1970 : Linnainmaa 反向模式实现
    1986 : Rumelhart-Hinton-Williams 反向传播论文
    2018 : Baydin 自动微分综述

第 3 章 形式化定义

3.1 ε-δ 导数定义

定义 3.1(导数) 设函数 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0, \delta_0)$ 内有定义。若存在实数 $L$,使得

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall h,\ 0 < |h| < \delta \Rightarrow \left| \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - L \right| < \varepsilon$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导(differentiable),称 $L$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数(derivative),记作 $f'(x_0)$ 或 $\frac{df}{dx}\big|_{x=x_0}$。

说明:

1. 定义中的 $h$ 是增量,可正可负,但 $h \neq 0$(否则差商为 $0/0$ 无定义);
2. $\delta$ 仅依赖于 $\varepsilon$ 与 $x_0$,不依赖于 $h$;
3. $f$ 在 $x_0$ 可导蕴含 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义(即 $f$ 在 $x_0$ 处双侧可导要求双侧均有定义)。

等价写法:

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

3.2 Carathéodory 等价定义

定理 3.2(Carathéodory) 设函数 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义。则 $f$ 在 $x_0$ 可导,当且仅当存在一个在 $x_0$ 连续的函数 $\varphi: U(x_0, \delta_0) \to \mathbb{R}$,使得

$f(x) - f(x_0) = \varphi(x) \cdot (x - x_0), \quad \forall x \in U(x_0, \delta_0)$

此时 $\varphi(x_0) = f'(x_0)$。

证明:

($\Rightarrow$) 设 $f$ 在 $x_0$ 可导。定义

$\varphi(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, & x \neq x_0 \\ f'(x_0), & x = x_0 \end{cases}$

则对任意 $x \neq x_0$,$f(x) - f(x_0) = \varphi(x) \cdot (x - x_0)$ 自动成立。由 $f$ 在 $x_0$ 可导,$\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = f'(x_0) = \varphi(x_0)$,故 $\varphi$ 在 $x_0$ 连续。

($\Leftarrow$) 设存在 $x_0$ 处连续的 $\varphi$ 使得 $f(x) - f(x_0) = \varphi(x)(x - x_0)$。对 $x \neq x_0$,有 $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \varphi(x)$。由 $\varphi$ 在 $x_0$ 连续,$\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = \varphi(x_0)$,故 $f$ 在 $x_0$ 可导且 $f'(x_0) = \varphi(x_0)$。

3.3 单侧导数

定义 3.3(单侧导数) 设 $f$ 在 $x_0$ 的某右邻域 $[x_0, x_0 + \delta_0)$ 内有定义。若极限

$f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

存在,则称 $f$ 在 $x_0$ 右可导,该极限值为右导数。左导数 $f'_-(x_0)$ 类似定义。

定理 3.4 $f$ 在 $x_0$ 可导 $\iff$ $f'_-(x_0)$ 与 $f'_+(x_0)$ 均存在且相等,此时 $f'(x_0) = f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$。

3.4 可微性与微分

定义 3.5(可微与微分) 设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义。若存在常数 $A$,使得

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$

即 $\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y - A \Delta x}{\Delta x} = 0$,则称 $f$ 在 $x_0$ 可微(differentiable),称 $A \cdot \Delta x$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分(differential),记作 $dy = A\,dx$。

定理 3.6(可微与可导等价) $f$ 在 $x_0$ 可微 $\iff$ $f$ 在 $x_0$ 可导,且 $A = f'(x_0)$。

证明:

($\Rightarrow$) 设 $f$ 在 $x_0$ 可微,$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$。则

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to A + 0 = A \quad (\Delta x \to 0)$

故 $f$ 在 $x_0$ 可导且 $f'(x_0) = A$。

($\Leftarrow$) 设 $f$ 在 $x_0$ 可导,$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$。由极限与无穷小的关系,

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) + \alpha(\Delta x), \quad \alpha(\Delta x) \to 0 \text{ 当 } \Delta x \to 0$

故 $\Delta y = f'(x_0) \Delta x + \alpha(\Delta x) \cdot \Delta x = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x)$,即 $f$ 在 $x_0$ 可微。

3.5 高阶导数

定义 3.7(高阶导数) 设 $f$ 在包含 $x_0$ 的某开区间内可导。若 $f'$ 在 $x_0$ 处也可导,则称 $f$ 在 $x_0$ 处二阶可导,其导数称为二阶导数,记作 $f''(x_0)$ 或 $\frac{d^2 f}{dx^2}\big|_{x=x_0}$。归纳地,$n$ 阶导数 $f^{(n)}(x_0) = (f^{(n-1)})'(x_0)$。

记号约定:

• $f^{(0)}(x) := f(x)$
• $f^{(1)}(x) = f'(x)$
• $f^{(2)}(x) = f''(x)$
• $\dfrac{d^n f}{dx^n} = f^{(n)}$

3.6 形式化定义小结

flowchart LR
    A["ε-δ 导数定义<br/>差商极限"] --> B["Carathéodory 定义<br/>代数分解"]
    A --> C["单侧导数<br/>左/右极限"]
    A --> D["可微性<br/>线性逼近"]
    D --> E["微分 dy=f'x dx"]
    B --> F["链式法则简化"]
    A --> G["高阶导数<br/>归纳定义"]
    D --> G

第 4 章 可微性与连续性的关系

4.1 可导必连续

定理 4.1(可导蕴含连续) 若 $f$ 在 $x_0$ 可导,则 $f$ 在 $x_0$ 连续。

证明(Carathéodory 方法) 由 $f$ 在 $x_0$ 可导,存在 $x_0$ 处连续的 $\varphi$,使 $f(x) - f(x_0) = \varphi(x)(x - x_0)$。由 $\varphi$ 与 $x \mapsto x - x_0$ 均在 $x_0$ 连续,其乘积也在 $x_0$ 连续,故

$\lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = \lim_{x \to x_0} \varphi(x) \cdot \lim_{x \to x_0} (x - x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0$

即 $f$ 在 $x_0$ 连续。

证明(ε-δ 方法) 任给 $\varepsilon > 0$,需证存在 $\delta > 0$,使 $|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。

由 $f$ 在 $x_0$ 可导,存在 $\delta_1 > 0$,使 $0 < |h| < \delta_1 \Rightarrow \left| \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0) \right| < 1$,即 $|f(x_0+h) - f(x_0)| < (|f'(x_0)| + 1)|h|$。

取 $\delta = \min(\delta_1, \varepsilon / (|f'(x_0)| + 1))$,则当 $|x - x_0| < \delta$ 时(注意 $x = x_0$ 时 $|f(x) - f(x_0)| = 0 < \varepsilon$ 自动成立):

$|f(x) - f(x_0)| < (|f'(x_0)| + 1) \cdot |x - x_0| < (|f'(x_0)| + 1) \cdot \frac{\varepsilon}{|f'(x_0)| + 1} = \varepsilon$

4.2 连续不一定可导

反例 4.2 函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导。

证明 $|x|$ 在 $0$ 连续显然。考察单侧导数:

$f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$

左右导数不相等,故 $f$ 在 $0$ 不可导。

几何意义 $|x|$ 的图像在 $x=0$ 处形成”尖点”(cusp),无唯一切线。

4.3 处处连续但处处不可导:Weierstrass 反例

1872 年,Weierstrass 构造了震惊数学界的反例:

$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$

其中 $0 < a < 1$,$b$ 为正奇数且 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$。

定理 4.3(Weierstrass) 上述 $W(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续,但处处不可导。

证明思路:

1. 连续性:由 $|a^n \cos(b^n \pi x)| \leq a^n$ 与 $\sum a^n$ 收敛(几何级数),由 Weierstrass 判别法知级数一致收敛。每项 $a^n \cos(b^n \pi x)$ 连续,故和函数 $W$ 连续。

2. 不可导性:对任意 $x_0 \in \mathbb{R}$,构造特殊序列 $h_m \to 0$,使得差商 $\frac{W(x_0 + h_m) - W(x_0)}{h_m}$ 的绝对值趋于 $+\infty$。具体地,选取 $h_m = \frac{1 - \alpha_m}{b^m}$,其中 $\alpha_m \in \{-1, 0, 1\}$ 由 $b^m x_0$ 的奇偶性决定,使得 $b^n \pi (x_0 + h_m)$ 在 $n \geq m$ 时为 $\pi$ 的整数倍(从而使 $\cos$ 项消失),在 $n < m$ 时差分有正下界。条件 $ab > 1 + 3\pi/2$ 保证低频项的差分累加后仍主导高频项的振荡。

Weierstrass 反例的意义:

1. 颠覆直觉:此前数学家普遍相信”连续函数必在大部分点可导”,Weierstrass 证明了这一直觉的错误;
2. 推动严格化:激励 19 世纪后期数学家(Baire、Lebesgue 等)深入研究函数类与可导性的细致分类;
3. 分形先声:Weierstrass 函数的图像具有自相似性,是分形几何的早期范例。

4.4 可导但导数不连续

反例 4.4 函数

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

在 $x = 0$ 可导,但 $f'$ 在 $x = 0$ 不连续。

证明:

1. 可导性:差商

$\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \frac{h^2 \sin(1/h)}{h} = h \sin(1/h)$

由 $|h \sin(1/h)| \leq |h| \to 0$,故 $f'(0) = 0$。

2. 导数不连续:对 $x \neq 0$,$f'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$(由乘法法则与链式法则)。当 $x \to 0$ 时,$2x \sin(1/x) \to 0$,但 $\cos(1/x)$ 在 $[-1, 1]$ 上振荡无极限,故 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 不存在,从而 $f'$ 在 $0$ 不连续。

意义:可导仅要求差商在某点存在极限,不保证导函数在该点连续。这区别了”$C^0$ 可导”(导数存在)与”$C^1$ 连续可导”(导数连续),后者是更严格的正则性。

第 5 章 求导法则

5.1 基本求导公式表

下表列出了常见函数的导数,这些公式均可通过 ε-δ 定义直接验证。

5.2 四则运算法则

定理 5.1(四则求导法则) 设 $u, v$ 在 $x$ 可导,$c$ 为常数。则:

1. 和差法则:$(u \pm v)' = u' \pm v'$
2. 常数倍法则:$(cu)' = c u'$
3. 乘法法则(Product Rule):$(uv)' = u'v + uv'$
4. 商法则(Quotient Rule):$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$($v \neq 0$)

证明(乘法法则,Carathéodory 方法) 由 $u, v$ 在 $x$ 可导,存在 $x$ 处连续的 $\varphi, \psi$,使 $u(t) - u(x) = \varphi(t)(t - x)$,$v(t) - v(x) = \psi(t)(t - x)$,且 $\varphi(x) = u'(x)$,$\psi(x) = v'(x)$。则

$(uv)(t) - (uv)(x) = u(t)v(t) - u(x)v(x)$ $= [u(x) + \varphi(t)(t-x)] [v(x) + \psi(t)(t-x)] - u(x)v(x)$ $= [\varphi(t)v(x) + u(x)\psi(t)](t-x) + \varphi(t)\psi(t)(t-x)^2$ $= [\varphi(t)v(x) + u(x)\psi(t) + \varphi(t)\psi(t)(t-x)] \cdot (t - x)$

令 $\eta(t) = \varphi(t)v(x) + u(x)\psi(t) + \varphi(t)\psi(t)(t-x)$,则 $\eta$ 在 $x$ 连续,且

$\eta(x) = \varphi(x)v(x) + u(x)\psi(x) + 0 = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

由 Carathéodory 定理,$(uv)'(x) = \eta(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$。

5.3 链式法则

定理 5.2(链式法则) 若 $g$ 在 $x_0$ 可导、$f$ 在 $g(x_0)$ 可导,则复合函数 $F = f \circ g$ 在 $x_0$ 可导,且

$F'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$

证明(Carathéodory 方法,见习题 ex-calc-diff-oe-02)。

几何直观 链式法则的几何意义是”局部线性逼近的复合”:若 $g$ 在 $x_0$ 附近可近似为 $g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$,$f$ 在 $g(x_0)$ 附近可近似为 $f(g(x_0)) + f'(g(x_0))(y - g(x_0))$,则复合后为

$f(g(x)) \approx f(g(x_0)) + f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) \cdot (x - x_0)$

这正是 $F'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$ 的来源。

5.4 反函数求导

定理 5.3(反函数求导法则) 设 $f$ 在 $x_0$ 处可导且 $f'(x_0) \neq 0$,$f$ 在 $x_0$ 的某邻域内严格单调且连续。则反函数 $f^{-1}$ 在 $y_0 = f(x_0)$ 处可导,且

$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$

证明:令 $x = f^{-1}(y)$,则 $y = f(x)$。由 $f$ 严格单调连续,$f^{-1}$ 连续,故 $y \to y_0 \Rightarrow x \to x_0$。当 $y \neq y_0$ 时 $x \neq x_0$,故

$\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}$

由 $f$ 在 $x_0$ 可导且 $f'(x_0) \neq 0$,极限存在且为 $\frac{1}{f'(x_0)}$。

5.5 隐函数求导

对于由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的隐函数 $y = y(x)$,在方程两边对 $x$ 求导(将 $y$ 视为 $x$ 的函数,使用链式法则),然后解出 $y'$。

例 5.4 求由 $x^2 + y^2 = R^2$ 确定的隐函数 $y = y(x)$ 的导数。

解:两边对 $x$ 求导:

$2x + 2y \cdot y' = 0 \implies y' = -\frac{x}{y} \quad (y \neq 0)$

5.6 对数求导法

对幂指函数 $y = u(x)^{v(x)}$ 或多个因子乘除的函数,先取对数再求导往往更简便。

步骤:

1. 两边取自然对数:$\ln y = v(x) \ln u(x)$
2. 对 $x$ 求导:$\dfrac{y'}{y} = v'(x) \ln u(x) + v(x) \cdot \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
3. 解出 $y'$:$y' = y \left[ v'(x) \ln u(x) + v(x) \cdot \dfrac{u'(x)}{u(x)} \right]$

例 5.5 求 $y = x^x$($x > 0$)的导数。

解:$\ln y = x \ln x$,$\dfrac{y'}{y} = \ln x + 1$,$y' = x^x (\ln x + 1)$。

5.7 参数方程求导

设 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$,$\varphi, \psi$ 可导且 $\varphi'(t) \neq 0$。则

$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$

二阶导数:

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right)}{\varphi'(t)} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}$

例 5.6 摆线 $\begin{cases} x = a(t - \sin t) \\ y = a(1 - \cos t) \end{cases}$,求 $\dfrac{dy}{dx}$。

解:$\varphi'(t) = a(1 - \cos t)$,$\psi'(t) = a \sin t$,故

$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot \frac{t}{2}$

第 6 章 链式法则的严格证明

6.1 ε-δ 证明的困难

初学者常给出如下”伪证明”:

$\frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} = \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$

令 $x \to x_0$,得 $F'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$。

问题:当 $g(x) = g(x_0)$ 时,$\frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)}$ 分母为零,等式不成立。例如 $g$ 为常数函数时,差商 $\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = 0$,但 $F = f \circ g$ 也为常数,$F'(x_0) = 0 = f'(g(x_0)) \cdot 0$,结论仍成立,但上述推导无效。

6.2 修正的 ε-δ 证明

定理 5.2 的严格证明(ε-δ 版本):

由 $f$ 在 $g(x_0)$ 可导,定义

$\epsilon(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(g(x_0))}{y - g(x_0)}, & y \neq g(x_0) \\ f'(g(x_0)), & y = g(x_0) \end{cases}$

则 $\epsilon$ 在 $g(x_0)$ 处连续,$\lim_{y \to g(x_0)} \epsilon(y) = f'(g(x_0))$,且对所有 $y$ 有

$f(y) - f(g(x_0)) = \epsilon(y) \cdot (y - g(x_0))$

代入 $y = g(x)$:

$f(g(x)) - f(g(x_0)) = \epsilon(g(x)) \cdot (g(x) - g(x_0))$

两边除以 $x - x_0$($x \neq x_0$):

$\frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} = \epsilon(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$

由 $g$ 在 $x_0$ 可导 $\Rightarrow$ $g$ 在 $x_0$ 连续 $\Rightarrow$ $\epsilon \circ g$ 在 $x_0$ 连续(连续函数复合连续)。故

$\lim_{x \to x_0} \epsilon(g(x)) = \epsilon(g(x_0)) = f'(g(x_0))$

且 $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0)$。由极限乘法法则:

$F'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$

6.3 Carathéodory 证明的优雅

Carathéodory 定义将上述 $\epsilon$ 函数自然吸收到框架中:

由 $g$ 在 $x_0$ 可导,存在 $x_0$ 处连续的 $\varphi$,使 $g(x) - g(x_0) = \varphi(x)(x - x_0)$,$\varphi(x_0) = g'(x_0)$。

由 $f$ 在 $g(x_0)$ 可导,存在 $g(x_0)$ 处连续的 $\psi$,使 $f(y) - f(g(x_0)) = \psi(y)(y - g(x_0))$,$\psi(g(x_0)) = f'(g(x_0))$。

代入 $y = g(x)$:

$F(x) - F(x_0) = \psi(g(x)) \cdot (g(x) - g(x_0)) = \psi(g(x)) \cdot \varphi(x) \cdot (x - x_0)$

令 $\eta(x) = \psi(g(x)) \cdot \varphi(x)$,则 $\eta$ 在 $x_0$ 连续,且

$\eta(x_0) = \psi(g(x_0)) \cdot \varphi(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$

由 Carathéodory 定理,$F'(x_0) = \eta(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$。

Carathéodory 证明避免了 ε-δ 方法中 $g(x) = g(x_0)$ 的退化情形,逻辑更为流畅。

第 7 章 高阶导数与 Leibniz 公式

7.1 高阶导数的归纳定义

设 $f$ 在区间 $I$ 上可导,其导函数 $f': I \to \mathbb{R}$。若 $f'$ 在 $I$ 上仍可导,则 $f$ 在 $I$ 上二阶可导,二阶导数 $f'' = (f')'$。归纳地,$n$ 阶导数

$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)})'(x), \quad n \geq 1, \quad f^{(0)}(x) = f(x)$