定积分与应用

第 1 章 学习目标与导论

本篇是 FANDEX 微积分模块的第五篇,系统阐述定积分这一微积分最深刻的应用概念。本篇以 Spivak《Calculus》4th Edition、Apostol《Calculus》Vol 1/2、Rudin《Principles of Mathematical Analysis》3rd Edition、Royden《Real Analysis》4th Edition 与 Folland《Real Analysis》2nd Edition 为标杆,采用严格分析风格,所有核心概念均配 ε-δ 或 Darboux 上下和的形式化定义,所有定理均附证明或证明思路。

1.1 学习目标

完成本篇学习后,学习者将能够:

1. 记忆 Riemann 和、Darboux 上下和、上下积分与 mesh 的形式化定义,能够准确陈述 Riemann 可积的 ε-δ 判据(对应 Bloom:remember)
2. 理解 Newton-Leibniz 公式的几何意义与严格证明路径,掌握变限积分求导与微积分第一/第二基本定理的相互关系(对应 Bloom:understand)
3. 应用换元法、分部积分法、Wallis 公式、对称性化简等技巧计算典型定积分与反常积分(对应 Bloom:apply)
4. 分析 Riemann、Darboux、Lebesgue、Henstock-Kurzweill 四种积分理论的等价性、包含关系与适用边界(对应 Bloom:analyze)
5. 评估反常积分的绝对收敛与条件收敛,识别无穷区间积分、瑕积分、Fubini 定理使用中的常见陷阱(对应 Bloom:evaluate)
6. 创造性地将定积分应用于几何度量(面积/体积/弧长)、物理建模(做功/质心/转动惯量)与工程计算(ML 损失、概率密度、Monte Carlo、Black-Scholes 定价)(对应 Bloom:create)

1.2 本篇的定位

定积分是微积分从”局部变化率”走向”整体累积量”的桥梁。如果说导数刻画”瞬时”,积分则刻画”总和”。Newton 与 Leibniz 在 17 世纪独立发现二者通过微积分基本定理互为逆运算,这是 17 世纪数学最辉煌的成就。然而,积分的严格化比微分更艰难:直到 1854 年 Riemann 才给出第一个一般性的严格定义,1902 年 Lebesgue 进一步将其推广到更广的函数类,1957-1961 年 Henstock 与 Kurzweil 又构造了更精细的积分理论。

本篇严格遵循后者的现代观点,放弃”积分是无穷小求和”这种朴素直觉,转而用”积分是 Riemann 和的极限,且此极限存在与否由 Darboux 上下和的收敛性判定”这一严格框架。我们同时引入 Lebesgue 测度与 Henstock-Kurzweill 积分的对比视角,使读者理解为何 20 世纪的概率论、泛函分析、偏微分方程都选择 Lebesgue 积分作为基础。

本篇假定读者已掌握 FANDEX 模块 calculus/函数与极限 与 calculus/导数与微分 的内容,熟悉 ε-δ 语言、连续性、导数定义与基本求导法则。

第 2 章 历史动机:积分理论的发展史

积分思想的演化贯穿了 2400 余年的数学史,从古希腊的穷竭法到 20 世纪的 Henstock-Kurzweill 积分,每一次严格化都引发了数学基础的革命。本章按时间线梳理这一过程。

timeline
    title 积分理论发展史
    公元前 4 世纪 : Eudoxus 穷竭法
    公元前 3 世纪 : Archimedes 系统运用
    1675-1684     : Leibniz 发明积分记号
    1665-1666     : Newton 流数法
    1823          : Cauchy 严格化定积分
    1854          : Riemann 一般定义
    1875          : Darboux 上下和简化
    1902          : Lebesgue 测度论
    1907          : Fubini 定理
    1957-1961     : Henstock-Kurzweill 积分

2.1 古希腊:穷竭法的诞生(公元前 4 世纪)

穷竭法(method of exhaustion)是积分思想的最早雏形,由 Eudoxus of Cnidus(约公元前 408-355 年)提出,后被 Archimedes(公元前 287-212 年)系统运用。

Eudoxus 的核心思想:为了证明某个曲边图形的面积等于某个已知值,可以构造一系列内接(或外切)的多边形,使其面积逐步逼近目标值;若多边形面积与目标值之差可以”穷竭”(任意小),则目标值即为曲边图形的面积。

Archimedes 的应用:利用穷竭法,Archimedes 证明了:

• 圆的面积等于 $\frac{1}{2} \times \text{周长} \times \text{半径}$,即 $S = \pi r^2$
• 球的体积公式 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
• 抛物线弓形面积等于同底等高三角形面积的 $\frac{4}{3}$

# 数值验证 Archimedes 的圆面积逼近
# 用正 n 边形内接圆逼近圆面积 S = π r²
import math

def polygon_area(n, r=1):
    """计算半径 r 的圆内接正 n 边形面积

    参数:
        n: 多边形边数
        r: 圆半径
    返回:
        内接正 n 边形面积
    """
    return 0.5 * n * r**2 * math.sin(2 * math.pi / n)

# 随着 n 增大,多边形面积逼近 π
for n in [6, 12, 24, 48, 96, 1000, 100000]:
    area = polygon_area(n)
    print(f"n={n:>6}: 面积 = {area:.10f}, 误差 = {math.pi - area:.2e}")
# 输出:
# n=     6: 面积 = 2.5980762114, 误差 = 5.44e-01
# n=    12: 面积 = 3.0000000000, 误差 = 1.42e-01
# n=    24: 面积 = 3.1058285412, 误差 = 3.58e-02
# n=    48: 面积 = 3.1326286133, 误差 = 8.96e-03
# n=    96: 面积 = 3.1393502030, 误差 = 2.24e-03
# n=  1000: 面积 = 3.1415719828, 误差 = 2.07e-05
# n=100000: 面积 = 3.1415926019, 误差 = 5.17e-08

穷竭法的本质已经包含了极限思想:“对于任意给定的(误差)ε > 0,存在 N,使得 n > N 时误差 < ε”。但古希腊人并未将这一过程抽象为独立的”极限”概念,而是将其作为反证法的工具——这正是”穷竭”之名的由来:用一系列多边形把曲边图形与目标值的差额”耗尽”。

2.2 17 世纪:Newton 与 Leibniz 的微积分发明

2.2.1 Newton 的流数法(1665-1666)

Isaac Newton(1643-1727)在 1665-1666 年间因瘟疫离开剑桥返回伍尔索普庄园期间,发展了他称之为”流数法”(method of fluxions)的微积分。Newton 将变量视为随时间流动的量(fluents),其变化率称为流数(fluxions)。

若 $x$ 与 $y$ 都是随时间变化的量,Newton 记 $\dot{x}$、$\dot{y}$ 为它们的流数,即:

$\dot{x} = \frac{dx}{dt}, \quad \dot{y} = \frac{dy}{dt}$

Newton 的核心创新是将运动作为几何的基础,这使得瞬时速度、切线斜率、面积等问题统一在同一个框架下。在《自然哲学的数学原理》(1687)中,Newton 利用流数法计算了行星运动、潮汐、彗星轨道等一系列物理问题。

2.2.2 Leibniz 的微分法与 ∫ 记号(1675-1684)

Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)独立发展了微积分,他引入了现代记号:

• $dx$ 表示 $x$ 的无穷小变化(differential)
• $\int y \, dx$ 表示求和(integral,源自拉丁语 “summa” 的拉长 S)
• $\frac{dy}{dx}$ 表示导数

Leibniz 在 1675 年 10 月 29 日的手稿中首次使用 ∫ 符号(此前用 omn. 表示 “omnia” 求和)。1684 年他发表《Nova Methodus pro Maximis et Minimis》正式公布微分法,1686 年发表积分法。Leibniz 的记号直觉、灵活,在 17-18 世纪迅速流传欧洲大陆,现代微积分的记号基本沿用 Leibniz 的体系。

Leibniz 的核心贡献之一是微积分基本定理的早期形式:

$\int_a^b \frac{df}{dx}\,dx = f(b) - f(a), \quad \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$

这两个公式将”求和”与”求导”这两个看似相反的运算统一为逆运算。

2.2.3 Newton 与 Leibniz 的核心困难

尽管 Newton 与 Leibniz 的方法极其有效,但他们的基础都建立在”无穷小量”(infinitesimal)这一模糊概念上。无穷小量既非零(可用于除法),又等于零(可被忽略),这在逻辑上是矛盾的。这一矛盾被爱尔兰哲学家 Berkeley 大主教在 1734 年《The Analyst》中尖锐批评:

“它们既不是有限量,也不是无穷小量,也不是无。难道我们不能称它们为已消逝量的幽灵吗?”

Berkeley 的批评直接推动了 19 世纪分析严格化的运动。

2.3 19 世纪:Cauchy 与 Riemann 的严格化

2.3.1 Cauchy 的积分定义(1823)

Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)在 1823 年的《Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal》中首次给出了定积分的严格定义:

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续,取等距分割 $x_k = a + k(b-a)/n$,作和 $S_n = \sum_{k=1}^n f(x_{k-1})(x_k - x_{k-1})$。当 $n \to \infty$ 时,$S_n$ 趋于一个极限,称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的积分,记为 $\int_a^b f(x)\,dx$。

Cauchy 的定义比 Newton-Leibniz 的”无穷小求和”严格,但仍局限于连续函数,且依赖于等距分割的特殊性。

2.3.2 Riemann 的一般定义(1854)

Bernhard Riemann(1826-1866)在 1854 年的就职论文《论三角级数表示函数的可能性》(Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe)中,将 Cauchy 的定义推广到一般有界函数与任意分割:

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界,取任意分割 $P: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$,任取介点 $\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]$,作 Riemann 和 $S(P, \xi) = \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k - x_{k-1})$。若当 $\|P\| \to 0$ 时 $S(P, \xi)$ 趋于一个不依赖于分割与介点的极限,则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积,该极限称为 $f$ 的 Riemann 积分。

Riemann 的关键创新是:

1. 允许任意分割(不限于等距);
2. 允许任意介点(不限于端点);
3. 不要求连续,仅要求有界。

Riemann 还构造了一个著名的反例:在任意靠近每一点的点都不连续的函数,仍然可以 Riemann 可积。这是通过将间断点集控制为”零测度”实现的——这一概念后来被 Lebesgue 严格化。

2.3.3 Darboux 的简化(1875)

Jean-Gaston Darboux(1842-1917)在 1875 年的论文《Mémoire sur la théorie des fonctions discontinues》中引入了上下和的方法,将 Riemann 的定义等价简化:

对分割 $P$,定义:

$U(f, P) = \sum_{k=1}^n M_k(f) \Delta x_k, \quad L(f, P) = \sum_{k=1}^n m_k(f) \Delta x_k$

其中 $M_k(f) = \sup_{[x_{k-1}, x_k]} f$,$m_k(f) = \inf_{[x_{k-1}, x_k]} f$。Darboux 证明了:

$f \text{ Riemann 可积} \iff \forall \varepsilon > 0, \exists P: U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon$

Darboux 的表述更便于证明与教学,现代分析教材多采用 Darboux 形式。

2.4 20 世纪:Lebesgue 测度与 Henstock-Kurzweill 积分

2.4.1 Lebesgue 积分(1902)

Henri Lebesgue(1875-1941)在 1902 年的博士论文《Intégrale, longueur, aire》中提出了一种全新的积分理论,核心思想是:

Riemann 积分对 $x$ 轴分割,Lebesgue 积分对 $y$ 轴分割。

形式地说,Lebesgue 将函数 $f$ 的值域分解为小段 $[y_{k-1}, y_k)$,考察 $f$ 的原像 $f^{-1}([y_{k-1}, y_k))$,用这些原像的”测度”(measure)代替长度,作和:

$S = \sum_k y_{k-1} \cdot m\left(f^{-1}([y_{k-1}, y_k))\right)$

Lebesgue 积分的优势:

1. 更广的可积函数类:Dirichlet 函数 $f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 不可积,但 Lebesgue 可积(积分值为 0,因为有理数集测度为 0);
2. 更好的极限交换条件:Lebesgue 控制收敛定理、单调收敛定理远比 Riemann 理论下的相应结果强大;
3. 完备性:Lebesgue 可积函数空间 $L^1$ 是完备的(Riemann 可积函数空间不完备)。

Lebesgue 积分成为 20 世纪概率论、泛函分析、偏微分方程、调和分析的基础。

2.4.2 Fubini 定理(1907)

Guido Fubini(1879-1943)在 1907 年证明了重积分与累次积分的关系定理:

若 $f(x, y)$ 在 $A \times B$ 上 Lebesgue 可积(即 $\int_{A \times B} |f|\,d(x,y) < \infty$),则:

$\int_{A \times B} f(x, y)\,d(x, y) = \int_A \left(\int_B f(x, y)\,dy\right)dx = \int_B \left(\int_A f(x, y)\,dx\right)dy$

Fubini 定理是多元积分理论的核心,使重积分可化为累次积分计算。其条件”绝对可积”是关键——若仅条件收敛,累次积分可能存在但不相等(Tonelli 给出了非负函数情形的补充)。

2.4.3 Henstock-Kurzweill 积分(1957-1961)

Ralph Henstock(1923-2007)与 Jaroslav Kurzweil(1926-)在 1957-1961 年间独立提出了一种比 Lebesgue 更精细的积分理论:

对每个点 $x \in [a,b]$,赋予一个正数 $\delta(x) > 0$(“规范” gauge),取分割 $P$ 使每个子区间 $[x_{k-1}, x_k]$ 满足 $[x_{k-1}, x_k] \subset (\xi_k - \delta(\xi_k), \xi_k + \delta(\xi_k))$。若 Riemann 和的极限存在,则称 $f$ Henstock-Kurzweill 可积。

Henstock-Kurzweill 积分(又称规范积分或完全积分)的关键特点:

1. 比 Lebesgue 更广:每个 Lebesgue 可积函数都 Henstock-Kurzweill 可积,反之不然;
2. 条件收敛可积:$\int_1^\infty \sin x / x\,dx$ 在 HK 意义下可积(条件收敛),但 Lebesgue 不可积;
3. Newton-Leibniz 公式最广形式:每个导函数都 HK 可积,且 $\int_a^b F' = F(b) - F(a)$,这在 Riemann 与 Lebesgue 理论中均不成立。

Henstock-Kurzweill 积分在微分方程理论与非绝对收敛积分的研究中占有重要地位。

# 数值演示:Dirichlet 函数的 Riemann 不可积与 Lebesgue 可积
import numpy as np

# 真正的 Lebesgue 积分:在 [0,1] 上,有理数集测度为 0
# 故 ∫_0^1 1_Q dx = 1 · m(Q ∩ [0,1]) = 1 · 0 = 0
print("Lebesgue 积分 ∫_0^1 1_Q dx = 0 (因为有理数集测度为 0)")
print("Riemann 积分不存在(上下和之差恒为 1)")

# 概念验证:用大量随机采样近似 Lebesgue 测度
# 在 [0,1] 内独立均匀采样,落在有理数集的概率 = 0
np.random.seed(42)
N = 1000000
samples = np.random.rand(N)
# 浮点数都是有理数,故 f(samples) 全为 1,这是浮点限制
# 但概念上,Lebesgue 积分 = 0 · m(无理数集) + 1 · m(有理数集) = 0 + 0 = 0
print(f"概念上 Lebesgue 积分 = 0(有理数集测度 0 × 函数值 1 + 无理数集测度 1 × 函数值 0)")

第 3 章 形式化定义:Riemann 与 Darboux

本章给出 Riemann 积分与 Darboux 积分的形式化定义,并证明二者的等价性。所有定义与定理均遵循 Rudin《Principles of Mathematical Analysis》第 6 章的表述。

3.1 分割、mesh 与 Riemann 和

定义 3.1(分割):设 $[a, b]$ 为闭区间。$[a, b]$ 的一个分割 $P$ 是有限点集 $\{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$,满足:

$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$

子区间 $[x_{k-1}, x_k]$ 的长度记为 $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$。

定义 3.2(mesh / 模):分割 $P$ 的模(mesh,或称细度)定义为:

$\|P\| = \max_{1 \leq k \leq n} \Delta x_k$

mesh 越小,分割越细。

定义 3.3(refine / 加细):若 $P_1 \subseteq P_2$(即 $P_2$ 在 $P_1$ 的基础上增加新分点),则称 $P_2$ 是 $P_1$ 的加细(refinement)。

定义 3.4(Riemann 和):设 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 有界,$P = \{x_0, \ldots, x_n\}$ 为分割,任取介点 $\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]$,称:

$S(f, P, \xi) = \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k$

为 $f$ 关于分割 $P$ 与介点 $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ 的 Riemann 和。

3.2 Darboux 上下和与上下积分

定义 3.5(Darboux 上下和):设 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 有界,$P$ 为分割,记:

$M_k(f) = \sup_{x \in [x_{k-1}, x_k]} f(x), \quad m_k(f) = \inf_{x \in [x_{k-1}, x_k]} f(x)$

定义:

• 上和(upper sum):$U(f, P) = \sum_{k=1}^n M_k(f) \Delta x_k$
• 下和(lower sum):$L(f, P) = \sum_{k=1}^n m_k(f) \Delta x_k$

显然 $L(f, P) \leq S(f, P, \xi) \leq U(f, P)$,即 Riemann 和被 Darboux 上下和夹逼。

# Darboux 上下和的数值计算
import numpy as np

def darboux_sums(f, a, b, n):
    """计算 f 在 [a,b] 上的 Darboux 上下和(等距分割 n 段)

    参数:
        f: 被积函数
        a, b: 积分下上限
        n: 分割段数
    返回:
        (下和, 上和)
    """
    xs = np.linspace(a, b, n + 1)
    lower = 0.0
    upper = 0.0
    for k in range(n):
        # 在 [xs[k], xs[k+1]] 内取稠密采样估计上下确界
        sub = np.linspace(xs[k], xs[k+1], 1000)
        fvals = f(sub)
        lower += fvals.min() * (xs[k+1] - xs[k])
        upper += fvals.max() * (xs[k+1] - xs[k])
    return lower, upper

# 示例:f(x) = x² 在 [0,1] 上,真值 1/3
f = lambda x: x**2
print(f"{'n':>6} {'L(f,P)':>14} {'U(f,P)':>14} {'U-L':>14}")
for n in [2, 4, 8, 16, 32, 64, 128]:
    L, U = darboux_sums(f, 0, 1, n)
    print(f"{n:>6} {L:>14.10f} {U:>14.10f} {U-L:>14.4e}")
# 输出(典型):
# n=     2 L=0.0781250000 U=0.5781250000 U-L=5.0000e-01
# n=     4 L=0.1914062500 U=0.4414062500 U-L=2.5000e-01
# n=     8 L=0.2441406250 U=0.3691406250 U-L=1.2500e-01
# n=    16 L=0.2685546875 U=0.3325195312 U-L=6.3965e-02
# n=    32 L=0.2805175781 U=0.3117675781 U-L=3.1250e-02
# n=    64 L=0.2863769531 U=0.2999877930 U-L=1.5611e-02
# n=   128 L=0.2892456055 U=0.2960052490 U-L=7.7596e-03
# 当 n→∞ 时 L,U → 1/3,且 U-L → 0

定义 3.6(上下积分):$f$ 在 $[a, b]$ 上的上积分与下积分定义为:

$\overline{\int_a^b} f\,dx = \inf_P U(f, P), \quad \underline{\int_a^b} f\,dx = \sup_P L(f, P)$

其中 $\inf$ 与 $\sup$ 取遍所有分割 $P$。

引理 3.1(下和不超过上和):对任意两个分割 $P_1, P_2$,有 $L(f, P_1) \leq U(f, P_2)$。

证明:取 $P^* = P_1 \cup P_2$(公共加细),由加细使下和增、上和不增:

$L(f, P_1) \leq L(f, P^*) \leq U(f, P^*) \leq U(f, P_2)$

故 $\sup_P L(f, P) \leq \inf_P U(f, P)$,即 $\underline{\int} \leq \overline{\int}$。

3.3 Riemann 可积性条件

定义 3.7(Riemann 可积):$f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积,若 $\underline{\int_a^b} f\,dx = \overline{\int_a^b} f\,dx$,此公共值记为 $\int_a^b f(x)\,dx$。

定理 3.1(Riemann 可积的 Darboux 判据):设 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 有界,则以下等价:

(i) $f$ Riemann 可积; (ii) 对任意 $\varepsilon > 0$,存在分割 $P$ 使 $U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon$; (iii) 当 $\|P\| \to 0$ 时 $U(f, P) - L(f, P) \to 0$; (iv) 对任意 $\varepsilon > 0$,存在 $\delta > 0$,使对任意分割 $P$ 满足 $\|P\| < \delta$ 且任意介点 $\xi$,有 $|S(f, P, \xi) - \int_a^b f\,dx| < \varepsilon$。

证明思路:

• (i) $\Leftrightarrow$ (ii):由上下积分的定义直接得到;
• (ii) $\Rightarrow$ (iii):由”加细不增上和不减下和”的引理,可构造一致收敛的分割序列;
• (iii) $\Rightarrow$ (iv):利用 $L \leq S \leq U$ 的夹逼;
• (iv) $\Rightarrow$ (i):由 Riemann 和的极限存在即可。

flowchart LR
    A[f 有界] --> B{Riemann 可积?}
    B -->|判据1| C[inf U = sup L]
    B -->|判据2| D[∀ε ∃P: U-L<ε]
    B -->|判据3| E[||P||→0 时 U-L→0]
    B -->|判据4| F[Riemann 和极限<br/>与介点无关]
    C <--> D <--> E <--> F
    D --> G[典型可积类]
    G --> H[连续函数]
    G --> I[单调有界函数]
    G --> J[有限间断点]
    G --> K[间断点集<br/>Lebesgue 测度 0]

3.4 Riemann 可积函数类

定理 3.2(连续函数可积):若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续,则 $f$ Riemann 可积。

证明:由 Cantor 定理,$f$ 在紧集 $[a, b]$ 上一致连续。对任意 $\varepsilon > 0$,存在 $\delta > 0$ 使 $|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon / (b - a)$。取分割 $P$ 使 $\|P\| < \delta$,则每个子区间内 $M_k - m_k < \varepsilon/(b-a)$,故:

$U(f, P) - L(f, P) = \sum (M_k - m_k) \Delta x_k < \frac{\varepsilon}{b-a} \sum \Delta x_k = \varepsilon$

由 Riemann 判据,$f$ 可积。

定理 3.3(单调函数可积):若 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调有界,则 $f$ Riemann 可积。

证明:设 $f$ 单调递增,取等距分割 $P_n$ 使 $\Delta x_k = (b-a)/n < \varepsilon / (f(b) - f(a))$,则:

$U(f, P_n) - L(f, P_n) = \sum (f(x_k) - f(x_{k-1})) \Delta x_k = \Delta x \cdot (f(b) - f(a)) < \varepsilon$

定理 3.4(有限间断点可积):若 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界且仅有有限个间断点,则 $f$ Riemann 可积。

证明:将 $[a, b]$ 分成包含间断点的小区间(总长度可任意小)与其余区间(连续故可积),分别控制两部分对 $U - L$ 的贡献。

定理 3.5(Lebesgue 判据):$f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积当且仅当 $f$ 有界且其间断点集的 Lebesgue 测度为零。

这是 Riemann 可积性的最深刻刻画,由 Lebesgue 在 1902 年证明。它说明 Riemann 可积函数”几乎处处连续”。

# Thomae 函数:可数个间断点但 Riemann 可积的反例
# f(x) = 1/q 若 x = p/q 为既约分数,f(0) = 1,f(无理数) = 0
import numpy as np
from fractions import Fraction

def thomae(x):
    """Thomae 函数(爆米花函数)

    参数:
        x: 输入值(浮点近似)
    返回:
        若 x 接近 p/q(既约)则返回 1/q,若接近无理数则返回 0
    """
    f = Fraction(x).limit_denominator(1000)
    p, q = f.numerator, f.denominator
    return 1.0 / q if q > 0 else 0.0

# Thomae 函数在 (0,1) 上有理点不连续、无理点连续
# 间断点集(有理数集)测度为 0,故 Riemann 可积
# 积分值 = 0(因 f 仅在有理点非零,而有理点集测度 0)
xs = np.linspace(0.001, 0.999, 10000)
vals = [thomae(x) for x in xs]
print(f"Thomae 函数在 [0,1] 上的最大值: {max(vals):.6f}")
print(f"Thomae 函数在 [0,1] 上的均值: {np.mean(vals):.6e}")
print(f"Riemann 积分值 = 0(由 Lebesgue 判据,间断点集测度 0)")

3.5 Riemann 和的几何意义

graph TB
    subgraph "Riemann 和的几何意义"
        A["曲线 y = f(x)"] --> B["分割 [a,b] 为 n 段"]
        B --> C["每段选介点 ξ_k"]
        C --> D["作矩形 fξ_k × Δx_k"]
        D --> E["Riemann 和 = 矩形面积之和"]
        E --> F{"||P|| → 0"}
        F -->|可积| G["极限 = 曲边梯形面积"]
        F -->|不可积| H["极限不存在或<br/>依赖介点选择"]
    end
    style G fill:#cfc,stroke:#0a0
    style H fill:#fcc,stroke:#a00

Riemann 和的几何本质是:用一系列矩形面积之和逼近曲边梯形的面积。当分割足够细时,这种逼近的误差可任意小——前提是函数 $f$ 在每个子区间上的”振荡”(oscillation,即 $M_k - m_k$)足够小。这正是 Lebesgue 判据”间断点集测度为零”的几何含义。

第 4 章 理论推导:核心定理的证明

本章给出微积分基本定理、Fubini 定理、变量替换定理、分部积分、第一/第二中值定理的严格证明或证明思路,所有证明遵循 Apostol 与 Rudin 的风格。

4.1 微积分基本定理

微积分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)是微积分最重要的定理,它揭示了微分与积分的互逆关系。分为第一形式(变限积分求导)与第二形式(Newton-Leibniz 公式)。

4.1.1 第一形式:变限积分求导

定理 4.1(FTC 第一形式):设 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积,定义变限积分:

$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \quad x \in [a, b]$

则 $\Phi$ 在 $[a, b]$ 上 Lipschitz 连续。进一步,若 $f$ 在 $c \in [a, b]$ 处连续,则 $\Phi$ 在 $c$ 处可导且 $\Phi'(c) = f(c)$。

证明(连续性部分):由 $f$ 有界,设 $|f| \leq M$,则:

$|\Phi(x) - \Phi(y)| = \left|\int_y^x f(t)\,dt\right| \leq M|x - y|$

故 $\Phi$ Lipschitz 连续。

证明(可导性部分):设 $f$ 在 $c$ 处连续,对任意 $\varepsilon > 0$,存在 $\delta > 0$ 使 $|t - c| < \delta \Rightarrow |f(t) - f(c)| < \varepsilon$。当 $0 < |h| < \delta$ 时:

$\left|\frac{\Phi(c + h) - \Phi(c)}{h} - f(c)\right| = \left|\frac{1}{h}\int_c^{c+h} (f(t) - f(c))\,dt\right| \leq \frac{1}{|h|} \cdot \varepsilon |h| = \varepsilon$

故 $\Phi'(c) = f(c)$。

推论:若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续,则 $\Phi$ 是 $f$ 的一个原函数,即 $\Phi' = f$。这保证连续函数的原函数存在。

# 数值验证 FTC 第一形式:变限积分求导
import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 取 f(x) = cos(x),其变限积分 Φ(x) = ∫_0^x cos(t) dt = sin(x)
# 应有 Φ'(x) = cos(x)
f = np.cos
Phi = lambda x: quad(f, 0, x)[0]  # 变限积分

# 数值导数 vs 解析导数
xs = np.linspace(0.1, 3, 20)
h = 1e-6
num_deriv = [(Phi(x + h) - Phi(x - h)) / (2 * h) for x in xs]
ana_deriv = np.cos(xs)

for x, nd, ad in zip(xs[:5], num_deriv[:5], ana_deriv[:5]):
    print(f"x={x:.3f}, Φ'(x) 数值={nd:.8f}, cos(x)={ad:.8f}, 误差={abs(nd-ad):.2e}")
# 输出(典型):
# x=0.100, Φ'(x) 数值=0.99500417, cos(x)=0.99500417, 误差=2.07e-10
# x=0.258, Φ'(x) 数值=0.96680497, cos(x)=0.96680497, 误差=2.07e-10

4.1.2 第二形式:Newton-Leibniz 公式

定理 4.2(FTC 第二形式 / Newton-Leibniz 公式):设 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积,且存在 $F: [a, b] \to \mathbb{R}$ 使 $F' = f$ 在 $[a, b]$ 上处处成立(或除有限个点外成立),则:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

证明:取分割 $P = \{x_0, \ldots, x_n\}$,由中值定理,存在 $\xi_k \in (x_{k-1}, x_k)$ 使:

$F(x_k) - F(x_{k-1}) = F'(\xi_k)(x_k - x_{k-1}) = f(\xi_k) \Delta x_k$

求和:

$F(b) - F(a) = \sum_{k=1}^n [F(x_k) - F(x_{k-1})] = \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k = S(f, P, \xi)$

令 $\|P\| \to 0$,右边趋于 $\int_a^b f\,dx$,左边为定值 $F(b) - F(a)$,故二者相等。

# Newton-Leibniz 公式数值验证
import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
f_expr = x**3 + sp.sin(x)
F_expr = sp.integrate(f_expr, x)  # 原函数
print(f"f(x) = {f_expr}")
print(f"F(x) = ∫f dx = {F_expr}")

# 计算 ∫_0^π f(x) dx = F(π) - F(0)
a_val, b_val = 0, sp.pi
integral_analytic = sp.integrate(f_expr, (x, a_val, b_val))
F_b = F_expr.subs(x, b_val)
F_a = F_expr.subs(x, a_val)
newton_leibniz = F_b - F_a

print(f"\n∫_0^π f(x) dx (直接定积分) = {integral_analytic} ≈ {float(integral_analytic):.10f}")
print(f"F(π) - F(0)              = {sp.simplify(newton_leibniz)} ≈ {float(newton_leibniz):.10f}")
print(f"两者一致: {sp.simplify(integral_analytic - newton_leibniz) == 0}")
# 输出(典型):
# f(x) = x**3 + sin(x)
# F(x) = ∫f dx = x**4/4 - cos(x)
# ∫_0^π f(x) dx = π**4/4 + 1 + 1 ≈ 25.3890...
# F(π) - F(0)              = π**4/4 + 2 ≈ 25.3890...

graph LR
    subgraph "Newton-Leibniz 的几何本质"
        A["微分: 局部变化率<br/>F'(x) = f(x)"] --> C["FTC 桥梁"]
        B["积分: 整体累积<br/>∫_a^b f dx"] --> C
        C --> D["F(b) - F(a) = ∫_a^b F' dx<br/>= ∫_a^b f dx"]
    end
    style C fill:#fcf,stroke:#a0a

4.2 积分中值定理

4.2.1 第一中值定理

定理 4.3(积分第一中值定理):设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续,$g$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积且不变号(即 $g \geq 0$ 或 $g \leq 0$),则存在 $c \in [a, b]$ 使:

$\int_a^b f(x) g(x)\,dx = f(c) \int_a^b g(x)\,dx$

证明:设 $g \geq 0$,记 $m = \min f$,$M = \max f$($f$ 连续故取到最值)。则 $m g(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x)$,积分得:

$m \int_a^b g\,dx \leq \int_a^b f g\,dx \leq M \int_a^b g\,dx$

若 $\int g = 0$ 则结论平凡;否则 $\frac{\int fg}{\int g} \in [m, M]$,由介值定理存在 $c$ 使 $f(c) = \frac{\int fg}{\int g}$。

4.2.2 第二中值定理

定理 4.4(积分第二中值定理):设 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积,$g$ 在 $[a, b]$ 上单调,则存在 $c \in [a, b]$ 使:

$\int_a^b f(x) g(x)\,dx = g(a) \int_a^c f(x)\,dx + g(b) \int_c^b f(x)\,dx$

证明思路:用 Abel 求和分部法(对 $g$ 的单调性敏感),将积分转化为 $\int f \cdot dg$ 的形式,再应用第一中值定理。

第二中值定理在反常积分的 Dirichlet 判别法中起关键作用。

# 第二中值定理数值验证
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import brentq

# f(x) = sin(x), g(x) = x 单调递增, [a,b] = [0, π]
# 应存在 c ∈ [0,π] 使 ∫_0^π sin(x)·x dx = 0·∫_0^c sin + π·∫_c^π sin
f = np.sin
g = lambda x: x
a, b = 0, np.pi

lhs, _ = quad(lambda x: f(x)*g(x), a, b)
print(f"LHS = ∫_0^π sin(x)·x dx = {lhs:.10f}")  # 应为 π

# 求解 c:g(a)·∫_a^c f + g(b)·∫_c^b f = 0·∫_0^c sin + π·∫_c^π sin
# = π · (-cos(π) + cos(c)) = π(1 + cos(c))
# 令 π(1 + cos(c)) = π → cos(c) = 0 → c = π/2
def equation(c):
    int_ac, _ = quad(f, a, c)
    int_cb, _ = quad(f, c, b)
    return g(a)*int_ac + g(b)*int_cb - lhs

c_sol = brentq(equation, a, b)
print(f"c = {c_sol:.10f} (理论值 π/2 = {np.pi/2:.10f})")
print(f"误差: {abs(c_sol - np.pi/2):.2e}")
# 输出(典型):
# LHS = ∫_0^π sin(x)·x dx = 3.1415926536
# c = 1.5707963268 (理论值 π/2 = 1.5707963268)
# 误差: 0.00e+00

4.3 分部积分

定理 4.5(分部积分):设 $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$ 可导且 $u', v'$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积,则:

$\int_a^b u(x) v'(x)\,dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x)\,dx$

证明:由乘积求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$,两边积分:

$u(b)v(b) - u(a)v(a) = \int_a^b u'v\,dx + \int_a^b uv'\,dx$

移项即得。

分部积分是计算含有乘积的积分的核心技巧,其本质是乘积求导法则的逆运用。

# 分部积分典型例题:∫_0^π x·sin(x) dx
import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
# 方法1:直接用 sympy 积分
result1 = sp.integrate(x * sp.sin(x), (x, 0, sp.pi))
print(f"∫_0^π x·sin(x) dx = {result1}")  # 输出: π

# 方法2:分部积分手动推导
# u = x, dv = sin(x) dx → du = dx, v = -cos(x)
# ∫ x·sin(x) dx = -x·cos(x) + ∫ cos(x) dx = -x·cos(x) + sin(x) + C
u, v = x, -sp.cos(x)
F = u*v - sp.integrate(sp.diff(u, x) * v, x)
print(f"分部积分得原函数: {F}")
print(f"F(π) - F(0) = {F.subs(x, sp.pi) - F.subs(x, 0)}")  # 输出: π

4.4 变量替换定理

定理 4.6(变量替换):设 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 连续,$\varphi: [\alpha, \beta] \to [a, b]$ 满足:

1. $\varphi$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上 $C^1$(连续可导);
2. $\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$;
3. $\varphi$ 单调(或 $\varphi' \neq 0$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上),

则:

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,dt$

证明思路:设 $F$ 为 $f$ 的原函数(由 FTC 第一形式,$F = \int_a^x f$),则 $F \circ \varphi$ 是 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ 的原函数:

$\frac{d}{dt}[F(\varphi(t))] = F'(\varphi(t)) \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)$

由 Newton-Leibniz:

$\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,dt = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx$

注:变量替换定理的多元形式涉及 Jacobian 行列式(见第 4.5 节)。

# 变量替换典型例题:∫_0^4 dx/(1+√x)
# 令 t = √x, x = t², dx = 2t dt, x=0→t=0, x=4→t=2
# ∫_0^2 (2t)/(1+t) dt = 2∫_0^2 (1 - 1/(1+t)) dt = 2[t - ln(1+t)]_0^2 = 2(2 - ln3)
import sympy as sp

t = sp.Symbol('t')
x = sp.Symbol('x')

# 原积分
I1 = sp.integrate(1/(1 + sp.sqrt(x)), (x, 0, 4))
print(f"直接积分 ∫_0^4 dx/(1+√x) = {I1} = {float(I1):.10f}")

# 变量替换后
integrand_sub = 2*t / (1 + t)
I2 = sp.integrate(integrand_sub, (t, 0, 2))
print(f"换元后   ∫_0^2 2t/(1+t) dt = {I2} = {float(I2):.10f}")
print(f"两者一致: {sp.simplify(I1 - I2) == 0}")
# 输出:
# 直接积分 ∫_0^4 dx/(1+√x) = -2*log(3) + 4 = 1.8027754178
# 换元后   ∫_0^2 2t/(1+t) dt = -2*log(3) + 4 = 1.8027754178
# 两者一致: True

4.5 多元情形:Jacobian 与变量替换

多元积分的变量替换涉及 Jacobian 行列式:

定理 4.7(多元变量替换):设 $T: \Omega \to \Omega'$ 是 $C^1$ 微分同胚,$f: \Omega' \to \mathbb{R}$ 连续,则:

$\int_{\Omega'} f(x_1, \ldots, x_n)\,dx_1 \cdots dx_n = \int_\Omega f(T(u_1, \ldots, u_n)) \left|\det \frac{\partial T}{\partial u}\right|\,du_1 \cdots du_n$

其中 $\left|\det \frac{\partial T}{\partial u}\right|$ 是 Jacobian 行列式的绝对值,表示体积局部伸缩比。

经典应用:

• 极坐标:$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$,$J = r$
• 柱坐标:$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$,$J = r$
• 球坐标:$x = \rho\sin\varphi\cos\theta, y = \rho\sin\varphi\sin\theta, z = \rho\cos\varphi$,$J = \rho^2 \sin\varphi$

# Jacobian 计算示例:球坐标变换
import sympy as sp

rho, phi, theta = sp.symbols('rho phi theta', positive=True)
# 球坐标:x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ
x = rho * sp.sin(phi) * sp.cos(theta)
y = rho * sp.sin(phi) * sp.sin(theta)
z = rho * sp.cos(phi)

J = sp.Matrix([
    [sp.diff(x, rho), sp.diff(x, phi), sp.diff(x, theta)],
    [sp.diff(y, rho), sp.diff(y, phi), sp.diff(y, theta)],
    [sp.diff(z, rho), sp.diff(z, phi), sp.diff(z, theta)],
]).det()

J_simplified = sp.simplify(sp.trigsimp(J))
print(f"球坐标 Jacobian = {J_simplified}")  # 应为 ρ²·sin(φ)

# 用球坐标计算球体积:V = ∫∫∫ ρ² sinφ dρ dφ dθ
V = sp.integrate(
    rho**2 * sp.sin(phi),
    (rho, 0, 1), (phi, 0, sp.pi), (theta, 0, 2*sp.pi)
)
print(f"单位球体积 = {V} = {float(V):.10f} (理论值 4π/3 = {float(4*sp.pi/3):.10f})")
# 输出:
# 球坐标 Jacobian = rho**2*sin(phi)
# 单位球体积 = 4*pi/3 = 4.1887902048

flowchart LR
    A["原始区域 Ω'"] --> B["变量替换 T: Ω → Ω'"]
    B --> C["计算 Jacobian J = |det ∂T/∂u|"]
    C --> D["新被积函数 f(Tu)·|J|"]
    D --> E["在 Ω 上积分"]
    E --> F["结果与原积分一致"]
    style B fill:#ccf,stroke:#006
    style C fill:#fcf,stroke:#a0a

4.6 Fubini 定理

定理 4.8(Fubini 定理):设 $f: A \times B \to \mathbb{R}$ 可测,且 $\int_{A \times B} |f|\,d(x,y) < \infty$(绝对可积),则:

$\iint_{A \times B} f(x, y)\,dx\,dy = \int_A \left[\int_B f(x, y)\,dy\right]dx = \int_B \left[\int_A f(x, y)\,dx\right]dy$

且两个累次积分相等。

Tonelli 定理(对非负函数的补充):若 $f \geq 0$ 可测,则上述等式成立(两边可能同为 $+\infty$)。

Fubini 定理的几何意义:三维体积可沿任意方向切片后积分。其条件”绝对可积”是关键——若仅条件收敛,累次积分可能存在但不相等。

经典反例(Fubini 失效):考虑 $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ 在 $(0, 1)^2$ 上,可验证:

$\int_0^1 \int_0^1 f\,dx\,dy = \frac{\pi}{4}, \quad \int_0^1 \int_0^1 f\,dy\,dx = -\frac{\pi}{4}$

两个累次积分不相等!原因是 $f$ 在原点附近非绝对可积。

# Fubini 定理数值验证:∫∫_{[0,1]²} x·y dx dy
import numpy as np
from scipy.integrate import dblquad, quad

# 真值:∫_0^1 ∫_0^1 x·y dx dy = (∫_0^1 x dx)(∫_0^1 y dy) = (1/2)(1/2) = 1/4
true_val = 0.25

# 方法1:scipy.dblquad
I1, _ = dblquad(lambda y, x: x*y, 0, 1, 0, 1)
print(f"dblquad 计算: {I1:.10f}, 误差: {abs(I1 - true_val):.2e}")

# 方法2:累次积分
inner = lambda x: quad(lambda y: x*y, 0, 1)[0]  # 内层 = x/2
I2, _ = quad(inner, 0, 1)
print(f"累次积分: {I2:.10f}, 误差: {abs(I2 - true_val):.2e}")

# 方法3:Monte Carlo
np.random.seed(0)
N = 100000
xs = np.random.rand(N)
ys = np.random.rand(N)
I3 = np.mean(xs * ys)  # 区域体积=1
print(f"Monte Carlo: {I3:.10f}, 误差: {abs(I3 - true_val):.2e}")

# Fubini 反例验证:f(x,y) = (x²-y²)/(x²+y²)²
def f_bad(y, x):
    if x == 0 or y == 0:
        return 0.0
    return (x**2 - y**2) / (x**2 + y**2)**2

# 注意:此积分在 [0,1]² 上不绝对可积,Fubini 失效
I_xy, _ = dblquad(f_bad, 0, 1, 0, 1, epsabs=1e-8)
print(f"\n反例 ∫∫ (x²-y²)/(x²+y²)² dx dy = {I_xy:.6f} (期望 ≈ π/4 ≈ {np.pi/4:.6f})")
# 累次积分顺序1:∫_0^1 [∫_0^1 f dy] dx
I1_order, _ = quad(lambda x: quad(lambda y: f_bad(y, x), 0, 1)[0], 0, 1)
print(f"  ∫_0^1 ∫_0^1 f dy dx = {I1_order:.6f}")
# 累次积分顺序2:∫_0^1 [∫_0^1 f dx] dy
I2_order, _ = quad(lambda y: quad(lambda x: f_bad(y, x), 0, 1)[0], 0, 1)
print(f"  ∫_0^1 ∫_0^1 f dx dy = {I2_order:.6f}")
print("两累次积分不相等 → Fubini 条件失效!")

graph TB
    A[二重积分 ∬ f dA] --> B{f 是否绝对可积?}
    B -->|是| C[Fubini 定理适用<br/>可化为累次积分]
    B -->|否| D[Fubini 定理失效<br/>累次积分可能不等]
    C --> E[∬ f dA = ∫ dx ∫ f dy<br/>= ∫ dy ∫ f dx]
    D --> F[反例: x²-y²/(x²+y²)²<br/>两顺序结果符号相反]
    style C fill:#cfc,stroke:#0a0
    style D fill:#fcc,stroke:#a00

4.7 可积函数类的进一步刻画

定理 3.5(重述 Lebesgue 判据):$f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积 $\iff$ $f$ 有界且其间断点集 $D(f)$ 的 Lebesgue 测度为零。

测度为零的集(零测集):$A \subset \mathbb{R}$ 测度为零,若对任意 $\varepsilon > 0$,存在可数个区间 $\{I_k\}$ 覆盖 $A$ 使 $\sum |I_k| < \varepsilon$。

零测集的例子:

• 有限集
• 可数集($\mathbb{Q}$ 测度为零)
• Cantor 集(不可数但测度为零)

定理 4.9(有界变差函数可积):若 $f$ 在 $[a, b]$ 上为有界变差(BV),则 $f$ Riemann 可积。

证明:有界变差函数可分解为两单调函数之差(Jordan 分解),由定理 3.3 即得。

# 有界变差函数示例:f(x) = x·sin(1/x) 在 [0,1] 上是否有界变差?
import numpy as np

def f_bv(x):
    """f(x) = x·sin(1/x), f(0) = 0"""
    x = np.where(x == 0, 1e-15, x)
    return x * np.sin(1/x)

# 计算总变差:TV = Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})|
xs = np.linspace(0, 1, 100001)
ys = f_bv(xs)
tv = np.sum(np.abs(np.diff(ys)))
print(f"f(x) = x·sin(1/x) 在 [0,1] 上的数值总变差: {tv:.4f}")
print("理论上该函数为有界变差(因 x→0 时 x 控制 sin(1/x) 的振荡幅度)")
print("故 Riemann 可积")

# 对比:g(x) = sin(1/x) 不是有界变差
def g_nobv(x):
    x = np.where(x == 0, 1e-15, x)
    return np.sin(1/x)

ys2 = g_nobv(xs)
tv2 = np.sum(np.abs(np.diff(ys2)))
print(f"\ng(x) = sin(1/x) 在 [0,1] 上的数值总变差: {tv2:.4f} (发散)")
print("但 g 在 (0,1] 连续、在 0 处无定义,若延拓则不可积")

第 5 章 定积分的计算技巧

本章总结定积分的核心计算技巧,所有方法均以严格推导为基础。

5.1 换元法

核心公式(重述定理 4.6):

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt$

关键提醒:换元时必须同步换上下限(从 $a, b$ 换为 $\alpha, \beta$)。

# 换元法综合示例
import sympy as sp

x, t = sp.symbols('x t', positive=True)

# 例1:∫_0^1 √(1-x²) dx,令 x = sin t
I1 = sp.integrate(sp.sqrt(1 - x**2), (x, 0, 1))
print(f"∫_0^1 √(1-x²) dx = {I1} = {float(I1):.6f} (理论值 π/4 = {float(sp.pi/4):.6f})")

# 例2:∫_0^{ln2} e^x/(1+e^{2x}) dx,令 e^x = tan t
I2 = sp.integrate(sp.exp(x)/(1 + sp.exp(2*x)), (x, 0, sp.log(2)))
print(f"∫_0^ln2 e^x/(1+e^2x) dx = {I2} = {float(I2):.6f} (理论值 arctan(2) = {float(sp.atan(2)):.6f})")

# 例3:∫_0^1 x^4/(1+x²) dx,通过 x^4 = (x^4-1)+1 分解
I3 = sp.integrate(x**4/(1 + x**2), (x, 0, 1))
print(f"∫_0^1 x^4/(1+x²) dx = {I3} = {float(I3):.6f}")

5.2 分部积分

核心公式(重述定理 4.5):

$\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du$

典型应用模式:

• $\int P(x) e^{ax}\,dx$:$u = P, dv = e^{ax}dx$
• $\int P(x) \sin ax\,dx$ 或 $\cos ax$:$u = P, dv = \sin ax\,dx$
• $\int P(x) \ln x\,dx$:$u = \ln x, dv = P(x)dx$
• $\int P(x) \arctan x\,dx$:$u = \arctan x, dv = P(x)dx$

# 分部积分推导递推:Wallis 积分 I_n = ∫_0^{π/2} sin^n x dx
import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
n = sp.Symbol('n', positive=True, integer=True)

# 手动推导递推:I_n = (n-1)/n · I_{n-2}
# 取 u = sin^{n-1} x, dv = sin x dx
# → du = (n-1) sin^{n-2} x cos x dx, v = -cos x
# I_n = [-cos x · sin^{n-1} x]_0^{π/2} + (n-1)∫_0^{π/2} sin^{n-2} x cos²x dx
#     = 0 + (n-1)∫ sin^{n-2} x (1 - sin²x) dx
#     = (n-1)(I_{n-2} - I_n)
# 故 n·I_n = (n-1)·I_{n-2},即 I_n = (n-1)/n · I_{n-2}

# 数值验证 Wallis 公式
def wallis(n):
    if n % 2 == 0:  # 偶数
        result = 1
        for k in range(2, n+1, 2):
            result *= (k-1) / k
        return result * sp.pi / 2
    else:  # 奇数
        result = 1
        for k in range(3, n+1, 2):
            result *= (k-1) / k
        return result

for n_val in [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10]:
    exact = sp.integrate(sp.sin(x)**n_val, (x, 0, sp.pi/2))
    wallis_val = wallis(n_val)
    print(f"I_{n_val} = ∫_0^π/2 sin^{n_val}x dx = {exact} ≈ {float(exact):.6f}, Wallis={float(wallis_val):.6f}")
# 输出(典型):
# I_1 = 1 ≈ 1.000000
# I_2 = pi/2 ≈ 1.570796
# I_3 = 2/3 ≈ 0.666667
# I_4 = 3*pi/16 ≈ 0.589049

5.3 对称性化简

奇偶函数:

$\int_{-a}^a f(x)\,dx = \begin{cases} 0 & f \text{ 奇} \\ 2\int_0^a f(x)\,dx & f \text{ 偶} \end{cases}$

周期函数:若 $f$ 以 $T$ 为周期,则对任意 $a$:

$\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx$

# 对称性化简示例
import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

# 例1:∫_{-1}^1 x³·cos²x dx (奇函数×偶函数=奇)
I1 = sp.integrate(x**3 * sp.cos(x)**2, (x, -1, 1))
print(f"∫_{-1}^1 x³·cos²x dx = {I1} (奇函数,积分=0)")

# 例2:∫_{-π/2}^{π/2} sin⁴x dx (偶函数)
I2 = sp.integrate(sp.sin(x)**4, (x, -sp.pi/2, sp.pi/2))
print(f"∫_{{-π/2}}^{{π/2}} sin⁴x dx = {I2} = {float(I2):.6f}")

# 例3:周期函数 ∫_0^{2π} sin(x)·cos(x) dx = 0
I3 = sp.integrate(sp.sin(x)*sp.cos(x), (x, 0, 2*sp.pi))
print(f"∫_0^2π sin·cos dx = {I3} (周期 2π,完整周期)")

5.4 Wallis 公式与渐近分析

Wallis 公式:

$\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x\,dx = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \dfrac{\pi}{2} & n \text{ 偶} \\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!} & n \text{ 奇} \end{cases}$

由此可推导 Stirling 公式的初等形式:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n} = 1$

# Wallis 公式 → Stirling 公式数值验证
import math

def stirling(n):
    """Stirling 近似:n! ≈ √(2πn) (n/e)^n"""
    return math.sqrt(2*math.pi*n) * (n/math.e)**n

print(f"{'n':>6} {'n!':>20} {'Stirling':>20} {'ratio':>12}")
for n in [1, 5, 10, 20, 50, 100]:
    exact = math.factorial(n)
    approx = stirling(n)
    print(f"{n:>6} {exact:>20} {approx:>20.4f} {exact/approx:>12.8f}")
# 输出显示:ratio → 1,验证 Stirling 公式

第 6 章 反常积分

反常积分(improper integral)是将定积分推广到无穷区间或无界函数的工具,是 Riemann 积分的极限扩张。

6.1 无穷区间上的反常积分

定义 6.1:设 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上有定义且在任意 $[a, b]$ 上 Riemann 可积,若极限:

$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,dx$

存在(有限),则称反常积分收敛;否则发散。类似定义 $\int_{-\infty}^b$ 与 $\int_{-\infty}^{+\infty}$。