公式速查表

1. 极限公式

1.1 基本极限

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a - 1}{x} = a$

1.2 等价无穷小（$x \to 0$）

1.3 极限运算法则

若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：

$\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$

$\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$

1.4 洛必达法则

对于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式：

$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$

（若右端极限存在或为无穷大）

2. 导数与微分公式

2.1 基本求导公式

2.2 求导法则

四则运算：

$(u \pm v)' = u' \pm v'$

$(uv)' = u'v + uv'$

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

链式法则：

$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

反函数求导：

$[f^{-1}]'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

参数方程求导：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

隐函数求导：

$F(x,y) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$

对数求导法：

$y = u(x)^{v(x)} \Rightarrow \ln y = v(x)\ln u(x) \Rightarrow \frac{y'}{y} = v'\ln u + v \cdot \frac{u'}{u}$

2.3 高阶导数

莱布尼茨公式：

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

常用高阶导数：

$(x^n)^{(n)} = n!$

$(e^x)^{(n)} = e^x$

$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

$(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$

2.4 微分

$dy = f'(x)dx$

微分形式不变性：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，$dy = f'(u)du$ 均成立。

3. 微分中值定理

3.1 三大中值定理

罗尔定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导、$f(a)=f(b)$，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi) = 0$。

拉格朗日中值定理：

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a), \quad \xi \in (a,b)$

柯西中值定理：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \quad \xi \in (a,b)$

3.2 泰勒公式

带拉格朗日余项：

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

常用麦克劳林展开（$x_0 = 0$）：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (|x| < 1)$

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1)$

$(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots \quad (|x| < 1)$

4. 不定积分公式

4.1 基本积分表

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

$\int e^x dx = e^x + C$

$\int \sin x\, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\, dx = \sin x + C$

$\int \tan x\, dx = -\ln|\cos x| + C$

$\int \cot x\, dx = \ln|\sin x| + C$

$\int \sec x\, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$

$\int \csc x\, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$

$\int \sec^2 x\, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x\, dx = -\cot x + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C$

$\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$

4.2 积分方法

分部积分：

$\int u\, dv = uv - \int v\, du$

第一换元（凑微分）：

$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad (u = \varphi(x))$

第二换元：

$\int f(x)\,dx = \int f[\psi(t)]\psi'(t)\,dt \quad (x = \psi(t))$

有理函数积分：部分分式分解后逐项积分。

5. 定积分公式

5.1 牛顿-莱布尼茨公式

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

5.2 定积分性质

$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$

$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

估值定理：

$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$

5.3 华里士公式

$\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x\,dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & n \text{ 为偶数} \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1 & n \text{ 为奇数} \end{cases}$

5.4 反常积分

$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,dx$

p 积分：

$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p} \quad \text{收敛当且仅当 } p > 1$

$\int_0^1 \frac{dx}{x^p} \quad \text{收敛当且仅当 } p < 1$

5.5 定积分应用

旋转体体积：

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$

弧长：

$s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$

曲率：

$K = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$

6. 多元函数微分

6.1 偏导数与全微分

$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

6.2 链式法则

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

6.3 方向导数与梯度

$\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot \mathbf{l}^0 = f_x \cos\alpha + f_y \cos\beta$

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$

6.4 极值判定

必要条件：$f_x(x_0,y_0) = 0$，$f_y(x_0,y_0) = 0$

充分条件：令 $A = f_{xx}$，$B = f_{xy}$，$C = f_{yy}$，$\Delta = AC - B^2$

• $\Delta > 0$，$A < 0$：极大值
• $\Delta > 0$，$A > 0$：极小值
• $\Delta < 0$：鞍点
• $\Delta = 0$：无法判定

6.5 拉格朗日乘数法

$L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \varphi(x,y)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$

7. 重积分

7.1 二重积分

直角坐标：

$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy$

极坐标：

$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\,dr$

7.2 三重积分

柱坐标：

$\iiint_\Omega f\,dV = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r\,dr \int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\,dz$

球坐标：

$\iiint_\Omega f\,dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\varphi \int_0^R f(r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi) \cdot r^2\sin\varphi\,dr$

8. 曲线积分与曲面积分

8.1 第一类曲线积分

$\int_L f(x,y)\,ds = \int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)]\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,dt$

8.2 第二类曲线积分

$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_\alpha^\beta [Px'(t) + Qy'(t)]\,dt$

格林公式：

$\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$

8.3 第一类曲面积分

$\iint_\Sigma f\,dS = \iint_{D_{xy}} f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$

8.4 第二类曲面积分

高斯公式：

$\oiint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$

斯托克斯公式：

$\oint_\Gamma P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$

9. 无穷级数

9.1 常数项级数审敛法

比值审敛法：

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho \Rightarrow \begin{cases} \rho < 1 & \text{收敛} \\ \rho > 1 & \text{发散} \\ \rho = 1 & \text{不确定} \end{cases}$

根值审敛法：

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho \Rightarrow \text{同上}$

9.2 幂级数

收敛半径：

$R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

9.3 傅里叶级数

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos\frac{n\pi x}{l} + b_n \sin\frac{n\pi x}{l}\right)$

$a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx, \quad b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx$

10. 常微分方程

10.1 一阶微分方程

可分离变量：

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

齐次方程：

$\frac{dy}{dx} = \varphi\left(\frac{y}{x}\right) \xrightarrow{u=y/x} x\frac{du}{dx} = \varphi(u) - u$

一阶线性：

$y' + P(x)y = Q(x) \Rightarrow y = e^{-\int P\,dx}\left[\int Q e^{\int P\,dx}\,dx + C\right]$

10.2 二阶常系数线性方程

$y'' + py' + qy = 0$

特征方程 $r^2 + pr + q = 0$：