函数与极限

第 1 章 学习目标与导论

本篇是 FANDEX 微积分模块的开篇,系统阐述函数与极限这两个微积分最基础也是最重要的概念。本篇以 Spivak《Calculus》4th Edition、Apostol《Calculus》Vol 1、Rudin《Principles of Mathematical Analysis》3rd Edition 与 Tao《Analysis I》3rd Edition 为标杆,采用严格分析风格,所有核心概念均配 ε-δ 或 ε-N 形式化定义,所有定理均附证明或证明思路。

1.1 学习目标

完成本篇学习后,学习者将能够:

1. 记忆 ε-δ 与 ε-N 形式化定义,能够准确陈述数列极限与函数极限的严格定义(对应 Bloom:remember)
2. 理解实数系的完备性公理(Dedekind 切割、上确界原理)与极限理论的基础关联(对应 Bloom:understand)
3. 应用极限的四则运算法则、夹逼定理与单调有界准则计算典型极限(对应 Bloom:apply)
4. 分析数列极限与函数极限的相互转化关系(Heine 定理)及 Cauchy 收敛准则(对应 Bloom:analyze)
5. 评估等价无穷小替换、洛必达法则等技巧的适用条件与常见误用风险(对应 Bloom:evaluate)
6. 创造性地运用 ε-δ 语言证明极限存在性、唯一性及相关定理(对应 Bloom:create)

1.2 本篇的定位

微积分的诞生是人类思想史上最重要的事件之一。Newton 与 Leibniz 在 17 世纪独立发明微积分,但直到 19 世纪 Cauchy 与 Weierstrass 才将其奠定在严格的 ε-δ 语言之上。本篇严格遵循后者的现代观点,放弃”无穷小是无限小的量”这种朴素直觉,转而用”极限是 ε-δ 定义下的逻辑命题”这一严格框架。

本篇假定读者具备高中数学基础(集合、不等式、初等函数),但不假定读者已接触过严格分析。所有定义均从零开始严格陈述。

第 2 章 历史动机:微积分的发展史

极限思想的演化贯穿了 2400 余年的数学史,从古希腊的穷竭法到 20 世纪的非标准分析,每一次严格化都引发了数学基础的革命。本章按时间线梳理这一过程。

2.1 古希腊:穷竭法的诞生(公元前 4 世纪)

穷竭法(method of exhaustion)是极限思想的最早雏形,由 Eudoxus of Cnidus(约公元前 408-355 年)提出,后被 Archimedes(公元前 287-212 年)系统运用。

Eudoxus 的核心思想:为了证明某个曲边图形的面积等于某个已知值,可以构造一系列内接(或外切)的多边形,使其面积逐步逼近目标值;若多边形面积与目标值之差可以”穷竭”(任意小),则目标值即为曲边图形的面积。

Archimedes 的应用:利用穷竭法,Archimedes 证明了:

• 圆的面积等于 $\frac{1}{2} \times \text{周长} \times \text{半径}$,即 $S = \pi r^2$
• 球的体积公式 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
• 抛物线弓形面积等于同底等高三角形面积的 $\frac{4}{3}$

# 数值验证 Archimedes 的圆面积逼近
# 用正 n 边形内接圆逼近圆面积 S = π r²
import math

def polygon_area(n, r=1):
    """计算半径 r 的圆内接正 n 边形面积"""
    return 0.5 * n * r**2 * math.sin(2 * math.pi / n)

# 随着 n 增大,多边形面积逼近 π
for n in [6, 12, 24, 48, 96, 1000, 100000]:
    area = polygon_area(n)
    print(f"n={n:>6}: 面积 = {area:.10f}, 误差 = {math.pi - area:.2e}")
# 输出:
# n=     6: 面积 = 2.5980762114, 误差 = 5.44e-01
# n=    12: 面积 = 3.0000000000, 误差 = 1.42e-01
# n=    24: 面积 = 3.1058285412, 误差 = 3.58e-02
# n=    48: 面积 = 3.1326286133, 误差 = 8.96e-03
# n=    96: 面积 = 3.1393502030, 误差 = 2.24e-03
# n=  1000: 面积 = 3.1415719828, 误差 = 2.07e-05
# n=100000: 面积 = 3.1415926019, 误差 = 5.17e-08

穷竭法的本质已经包含了极限思想:“对于任意给定的(误差)ε > 0,存在 N,使得 n > N 时误差 < ε”。但古希腊人并未将这一过程抽象为独立的”极限”概念,而是将其作为反证法的工具。

2.2 17 世纪:Newton 与 Leibniz 的微积分发明

2.2.1 Newton 的流数法(1665-1666)

Isaac Newton(1643-1727)在 1665-1666 年间因瘟疫离开剑桥返回伍尔索普庄园期间,发展了他称之为”流数法”(method of fluxions)的微积分。Newton 将变量视为随时间流动的量(fluents),其变化率称为流数(fluxions)。

若 $x$ 与 $y$ 都是随时间变化的量,Newton 记 $\dot{x}$、$\dot{y}$ 为它们的流数,即:

$\dot{x} = \frac{dx}{dt}, \quad \dot{y} = \frac{dy}{dt}$

Newton 的核心创新是将运动作为几何的基础,这使得瞬时速度、切线斜率、面积等问题统一在同一个框架下。

2.2.2 Leibniz 的微分法(1675-1684)

Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)独立发展了微积分,他引入了现代记号:

• $dx$ 表示 $x$ 的无穷小变化(differential)
• $\int y \, dx$ 表示求和(integral,源自拉丁语 “summa” 的拉长 S)
• $\frac{dy}{dx}$ 表示导数

Leibniz 的记号直觉、灵活,在 1684 年发表《Nova Methodus pro Maximis et Minimis》后迅速流传欧洲大陆。现代微积分的记号基本沿用 Leibniz 的体系。

2.2.3 Newton 与 Leibniz 的核心困难

尽管 Newton 与 Leibniz 的方法极其有效,但他们的基础都建立在”无穷小量”(infinitesimal)这一模糊概念上。无穷小量既非零(可用于除法),又等于零(可被忽略),这在逻辑上是矛盾的。这一矛盾被爱尔兰哲学家 Berkeley 大主教在 1734 年《The Analyst》中尖锐批评:

“它们既不是有限量,也不是无穷小量,也不是无。难道我们不能称它们为已消逝量的幽灵吗?”

Berkeley 的批评直接推动了 19 世纪分析严格化的运动。

2.3 19 世纪:Cauchy 与 Weierstrass 的严格化

2.3.1 Cauchy 的 ε 方法(1821)

Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)在 1821 年出版的《Cours d’Analyse》(分析教程)中首次给出了极限的严格定义(尽管还带有代数化色彩):

当一个变量的 successive values(逐次值)与一个固定值的差任意小时,这个变量就趋近于这个固定值作为极限。

Cauchy 的关键贡献是引入了 ε 作为”任意小”的明确度量,并用此定义了极限、连续、导数、积分与级数收敛。这一定义虽未达到 Weierstrass 的完全严格,但已摆脱了”无穷小量”的神秘色彩。

Cauchy 还证明了Cauchy 收敛准则(尽管证明有缺陷,后被 Bolzano 1817 年独立发现并严格化)。

2.3.2 Weierstrass 的 ε-δ 语言(1860s)

Karl Weierstrass(1815-1897)在 1860 年代柏林大学的讲座中,将极限定义完全形式化为现代所用的 ε-δ 语言:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta > 0, \, \forall x: \, 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$

Weierstrass 的贡献不仅在于定义本身,更在于他用此定义重新证明了微积分的所有定理,使分析学成为一门严格、自洽的学科。他还构造了著名的处处连续但处处不可导的函数(Weierstrass 函数):

$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), \quad 0 < a < 1, \, ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$

这彻底粉碎了”连续函数几乎处处可导”的直觉。

2.4 20 世纪:Robinson 的非标准分析(1960)

Abraham Robinson(1918-1974)在 1960 年发表了非标准分析(Non-standard Analysis),利用数理逻辑中的模型论,严格地引入了”无穷小量”作为实数系的扩张元素。

在 Robinson 的框架中,实数系 $\mathbb{R}$ 被扩张为超实数系 ${}^{\ast}\mathbb{R}$,其中包含:

• 正无穷小量 $\epsilon > 0$ 但 $\epsilon < r$ 对所有正实数 $r$ 成立
• 正无穷大量 $\omega > r$ 对所有实数 $r$ 成立

非标准分析在逻辑上与现代分析等价(transfer principle),但在某些直觉推导上更接近 Leibniz 的原始思想。

2.5 极限理论发展时间线

下表概括了极限思想的关键里程碑:

timeline
    title 极限理论发展时间线
    公元前 4 世纪 : Eudoxus 穷竭法
    公元前 3 世纪 : Archimedes 应用穷竭法计算圆面积球体积
    1665 : Newton 发明流数法
    1675 : Leibniz 引入 dx 与 ∫ 记号
    1734 : Berkeley 批评无穷小量为"已消逝量的幽灵"
    1817 : Bolzano 证明中值定理(严格版)
    1821 : Cauchy《分析教程》给出 ε 化极限定义
    1854 : Riemann 严格化 Riemann 积分
    1860s : Weierstrass 系统化 ε-δ 语言
    1872 : Dedekind 切割严格化实数系
    1872 : Weierstrass 构造处处连续不可导函数
    1960 : Robinson 创立非标准分析
    1966 : Robinson 出版《Non-standard Analysis》

第 3 章 形式化定义

本章从集合论与实数系公理出发,严格定义邻域、函数、极限等概念。所有定义均以 Spivak/Apostol/Rudin 风格陈述。

3.1 实数系的完备性公理

极限理论建立在实数系 $\mathbb{R}$ 的完备性(completeness)之上。完备性可由多种等价公理刻画,本节陈述上确界公理。

3.1.1 上界、上确界

设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 为非空集合。

• 上界:若存在 $M \in \mathbb{R}$,使得对一切 $x \in S$ 都有 $x \leq M$,则称 $M$ 为 $S$ 的上界。
• 上确界:若 $M$ 是 $S$ 的上界,且对任意 $M' < M$,$M'$ 不是 $S$ 的上界(即 $M$ 是最小上界),则称 $M$ 为 $S$ 的上确界(supremum),记作 $\sup S$。

形式化:

$M = \sup S \iff \begin{cases} \forall x \in S, \, x \leq M \\ \forall \varepsilon > 0, \, \exists x \in S: \, x > M - \varepsilon \end{cases}$

3.1.2 完备性公理(上确界原理)

完备性公理(Completeness Axiom):实数系 $\mathbb{R}$ 的每个非空有上界的子集都有上确界。

对偶地,每个非空有下界的子集都有下确界(infimum),记作 $\inf S$。

3.1.3 Dedekind 切割

Richard Dedekind(1831-1916)在 1872 年《Stetigkeit und irrationale Zahlen》(连续性与无理数)中给出了实数系的另一种严格构造。

Dedekind 切割(Dedekind cut):实数系的一个切割是有序对 $(A, B)$,其中:

1. $A, B \subseteq \mathbb{Q}$,$A \cup B = \mathbb{Q}$,$A \cap B = \emptyset$
2. $A$ 非空且 $A \neq \mathbb{Q}$
3. $\forall a \in A, \, \forall b \in B: \, a < b$

直观上,$A$ 与 $B$ 将有理数集分成”小于某数”与”大于某数”两部分。若切割”产生”一个有理数(即 $A$ 有最大元或 $B$ 有最小元),则该切割对应一个有理数;否则对应一个无理数。所有 Dedekind 切割的集合即为实数系 $\mathbb{R}$。

3.2 邻域与去心邻域

邻域(neighborhood):设 $x_0 \in \mathbb{R}$,$\delta > 0$。点 $x_0$ 的 $\delta$-邻域定义为:

$U(x_0, \delta) = (x_0 - \delta, \, x_0 + \delta) = \{ x \in \mathbb{R} : |x - x_0| < \delta \}$

去心邻域(punctured/deleted neighborhood):

$\mathring{U}(x_0, \delta) = (x_0 - \delta, \, x_0) \cup (x_0, \, x_0 + \delta) = \{ x \in \mathbb{R} : 0 < |x - x_0| < \delta \}$

去心邻域排除了点 $x_0$ 本身,这是函数极限定义的关键:极限刻画的是 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近的行为,与 $f(x_0)$ 本身无关(甚至 $f(x_0)$ 可以无定义)。

3.3 函数的形式化定义

现代数学中,函数被严格定义为有序对的集合(set-theoretic definition)。

函数(function):设 $A, B$ 为集合。从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f: A \to B$ 是 $A \times B$ 的子集 $f \subseteq A \times B$,满足:

1. 存在性:$\forall a \in A, \, \exists b \in B: \, (a, b) \in f$
2. 唯一性:$\forall a \in A, \, \forall b_1, b_2 \in B: \, (a, b_1) \in f \wedge (a, b_2) \in f \Rightarrow b_1 = b_2$

若 $(a, b) \in f$,记作 $f(a) = b$。

$A$ 称为定义域(domain),记 $\text{dom}(f) = A$;集合 $\{ f(a) : a \in A \} \subseteq B$ 称为值域(range),记 $\text{range}(f)$;集合 $B$ 称为陪域(codomain)。

3.4 数列极限的 ε-N 形式化定义

数列(sequence):从 $\mathbb{N}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数 $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$,记作 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 或简记 $\{a_n\}$。

数列极限的 ε-N 定义:

设 $\{a_n\}$ 为实数列,$a \in \mathbb{R}$。称 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$,记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$,当且仅当:

$\forall \varepsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}: \, n > N \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon$

若 $\{a_n\}$ 不收敛于任何实数,则称 $\{a_n\}$ 发散(divergent)。

逻辑符号化:

$\lim_{n \to \infty} a_n = a \iff \forall \varepsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall n > N: \, |a_n - a| < \varepsilon$

其否定为:

$\lim_{n \to \infty} a_n \neq a \iff \exists \varepsilon_0 > 0, \, \forall N \in \mathbb{N}, \, \exists n > N: \, |a_n - a| \geq \varepsilon_0$

3.5 函数极限的 ε-δ 形式化定义

3.5.1 有限点处的极限

设 $f$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义,$A \in \mathbb{R}$。称 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限为 $A$,记作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$,当且仅当:

$\forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta > 0, \, \forall x \in \text{dom}(f): \, 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$

3.5.2 单侧极限

左极限:

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta > 0, \, \forall x: \, x_0 - \delta < x < x_0 \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$

右极限:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta > 0, \, \forall x: \, x_0 < x < x_0 + \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$

定理(双侧极限与单侧极限的关系):

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$

3.5.3 无穷远处的极限

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \, \exists M > 0, \, \forall x > M: \, |f(x) - A| < \varepsilon$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \, \exists M > 0, \, \forall x < -M: \, |f(x) - A| < \varepsilon$

3.5.4 无穷极限

$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0, \, \exists \delta > 0, \, \forall x: \, 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > M$

$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \iff \forall M > 0, \, \exists \delta > 0, \, \forall x: \, 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) < -M$

3.6 ε-δ 定义的几何图示

下图展示了 ε-δ 定义的几何含义:对于任意 ε > 0,总能找到 δ > 0,使得当 $x$ 落在去心邻域 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{x_0\}$ 内时,$f(x)$ 落在水平带 $(A - \varepsilon, A + \varepsilon)$ 内。

flowchart LR
    subgraph x_axis["x 轴（自变量）"]
        direction LR
        x0["x₀"] --- delta_left["x₀ - δ"]:::dashed
        delta_left --- x0
        x0 --- delta_right["x₀ + δ"]:::dashed
    end
    subgraph y_axis["y 轴（函数值）"]
        direction LR
        A["A"] --- eps_down["A - ε"]:::dashed
        eps_down --- A
        A --- eps_up["A + ε"]:::dashed
    end
    delta_left -. 映射 .-> eps_down
    x0 -. 映射（去心） .-> A
    delta_right -. 映射 .-> eps_up
    classDef dashed stroke-dasharray: 5 5;

3.7 ε-N 定义的几何图示

下图展示数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ 的几何含义:对任意 ε > 0,存在 N,使得当 n > N 时,所有 $a_n$ 落在带状区域 $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ 内。

flowchart TB
    subgraph 数轴
        direction LR
        a_minus_eps["a - ε"]:::dashed --- a["a"]:::solid
        a --- a_plus_eps["a + ε"]:::dashed
        a1["a₁"] -.- a2["a₂"] -.- dots["..."] -.- aN["a_N"] -.- aN1["a_(N+1)"]:::converged -.- aN2["a_(N+2)"]:::converged
    end
    classDef dashed stroke-dasharray: 5 5;
    classDef solid fill:#f9f;
    classDef converged fill:#cfc;

第 4 章 函数概念与基本初等函数

4.1 函数的定义

设 $D$ 是一个非空数集,若存在一个对应法则 $f$,使得对于 $D$ 中每个 $x$,都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应,则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数,记作 $y = f(x)$。

• 定义域:$D_f = D$
• 值域:$R_f = \{f(x) \mid x \in D\}$
• 对应法则:$f$ 确定了 $x$ 到 $y$ 的映射关系

4.2 函数的几种特性

有界性:若存在 $M > 0$,使得对一切 $x \in D$,有 $|f(x)| \leq M$,则称 $f(x)$ 在 $D$ 上有界。

形式化:

$f \text{ 有界} \iff \exists M > 0, \, \forall x \in D: \, |f(x)| \leq M$

单调性:

• 严格单调递增:$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
• 严格单调递减:$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

奇偶性:

• 偶函数:$f(-x) = f(x)$,图像关于 $y$ 轴对称
• 奇函数:$f(-x) = -f(x)$,图像关于原点对称

周期性:若存在 $T > 0$,使得 $f(x + T) = f(x)$ 对一切 $x$ 成立,则 $f$ 为周期函数,$T$ 为周期。最小正周期称为基本周期。

4.3 反函数与复合函数

反函数(inverse function):若 $y = f(x)$ 是一一对应的,则存在反函数 $x = f^{-1}(y)$,习惯上记为 $y = f^{-1}(x)$。原函数与反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。

形式化:

$f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$

复合函数(composite function):若 $y = f(u)$,$u = g(x)$,且 $R_g \subseteq D_f$,则 $y = f(g(x))$ 为 $f$ 与 $g$ 的复合函数,记作 $f \circ g$。

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

4.4 基本初等函数

4.4.1 幂函数

$y = x^\alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R})$

定义域随 $\alpha$ 不同而异。当 $\alpha > 0$ 时,函数过 $(1,1)$ 点且在第一象限单调递增。

4.4.2 指数函数

$y = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

• $a > 1$ 时单调递增
• $0 < a < 1$ 时单调递减
• 恒过 $(0, 1)$ 点
• 常用:$y = e^x$,其中 $e = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n \approx 2.71828$

4.4.3 对数函数

$y = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1)$

对数函数是指数函数的反函数。常用对数:$\lg x = \log_{10} x$,自然对数:$\ln x = \log_e x$。

对数运算法则:

$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$

$\log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

$\log_a M^n = n\log_a M$

换底公式:$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$

4.4.4 三角函数

基本恒等式:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$

$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}$

4.4.5 反三角函数

• $\arcsin x$:定义域 $[-1,1]$,值域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,单调递增
• $\arccos x$:定义域 $[-1,1]$,值域 $[0, \pi]$,单调递减
• $\arctan x$:定义域 $\mathbb{R}$,值域 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,单调递增

4.5 初等函数与分段函数

初等函数:由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数统称为初等函数。

分段函数(piecewise function):在不同区间用不同表达式定义的函数。典型例子:

• 符号函数:$\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
• 取整函数:$\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数
• Dirichlet 函数:$D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$(处处不连续的典型例子)

第 5 章 数列极限

5.1 ε-N 定义的深入理解

数列极限的 ε-N 定义包含四个要素:

1. 任意性:ε 是任意的正数,代表”距离要多小有多小”
2. 存在性:对每个 ε,都存在 N(允许不同 ε 对应不同 N)
3. 依赖性:N 通常依赖于 ε(记 $N = N(\varepsilon)$)
4. 蕴含性:当 $n > N$ 时所有 $a_n$ 都满足不等式(不是某个或某些)

5.1.1 例:证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

分析:对任意 $\varepsilon > 0$,需找 $N$ 使 $n > N$ 时 $|\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon$,即 $\frac{1}{n} < \varepsilon$,即 $n > \frac{1}{\varepsilon}$。

证明:对任意 $\varepsilon > 0$,取 $N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil$(不大于 $\frac{1}{\varepsilon}$ 的最大整数)。

当 $n > N$ 时:

$\left| \frac{1}{n} - 0 \right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq \varepsilon$

故 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。$\blacksquare$

5.1.2 例:证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n-1} = 1$

分析:$|\frac{n+1}{n-1} - 1| = |\frac{2}{n-1}|$,需 $\frac{2}{|n-1|} < \varepsilon$,即 $|n-1| > \frac{2}{\varepsilon}$。

证明:对任意 $\varepsilon > 0$,取 $N = \lceil \frac{2}{\varepsilon} \rceil + 1$。

当 $n > N$ 时,$n - 1 > N - 1 \geq \frac{2}{\varepsilon}$,故:

$\left| \frac{n+1}{n-1} - 1 \right| = \frac{2}{n-1} < \varepsilon$

故 $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n-1} = 1$。$\blacksquare$

5.1.3 例:证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$

证明:利用 $|\sin n| \leq 1$。

对任意 $\varepsilon > 0$,取 $N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil$。当 $n > N$ 时:

$\left| \frac{\sin n}{n} - 0 \right| = \frac{|\sin n|}{n} \leq \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq \varepsilon$

故 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$。$\blacksquare$

5.2 数列极限的性质

5.2.1 极限的唯一性

定理(极限唯一性):若数列 $\{a_n\}$ 收敛,则其极限唯一。

证明(反证法):设 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ 与 $b$ 且 $a \neq b$。

取 $\varepsilon = \frac{|a - b|}{2} > 0$。由 $\lim a_n = a$,存在 $N_1$ 使 $n > N_1$ 时 $|a_n - a| < \varepsilon$;由 $\lim a_n = b$,存在 $N_2$ 使 $n > N_2$ 时 $|a_n - b| < \varepsilon$。

取 $N = \max(N_1, N_2)$,则当 $n > N$ 时:

$|a - b| \leq |a - a_n| + |a_n - b| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon = |a - b|$

矛盾。故 $a = b$。$\blacksquare$

5.2.2 有界性定理

定理(收敛数列的有界性):若 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$,则 $\{a_n\}$ 有界,即存在 $M > 0$ 使 $|a_n| \leq M$ 对所有 $n$ 成立。

证明:取 $\varepsilon = 1$,存在 $N$ 使 $n > N$ 时 $|a_n - a| < 1$,即 $|a_n| < |a| + 1$。

取 $M = \max(|a_1|, |a_2|, \dots, |a_N|, |a| + 1)$,则对一切 $n$ 有 $|a_n| \leq M$。$\blacksquare$

5.2.3 保号性

定理(保号性):若 $\lim_{n \to \infty} a_n = a > 0$,则存在 $N$,使得当 $n > N$ 时 $a_n > 0$。进一步,对任意 $0 < c < a$,存在 $N$ 使 $n > N$ 时 $a_n > c$。

证明:取 $\varepsilon = \frac{a}{2} > 0$,存在 $N$ 使 $n > N$ 时 $|a_n - a| < \frac{a}{2}$,即 $a - \frac{a}{2} < a_n < a + \frac{a}{2}$,即 $\frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}$。故 $a_n > \frac{a}{2} > 0$。

对任意 $0 < c < a$,取 $\varepsilon = a - c > 0$,类似可得 $n > N$ 时 $a_n > a - \varepsilon = c$。$\blacksquare$

5.3 收敛数列的四则运算

定理:若 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$,$\lim_{n \to \infty} b_n = b$,则:

1. $\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b$
2. $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b$
3. 当 $b \neq 0$ 且 $b_n \neq 0$ 时,$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$

证明(乘积情形):由 $\{b_n\}$ 收敛,故有界,设 $|b_n| \leq M$。又 $a_n \to a$,$b_n \to b$,故:

$|a_n b_n - ab| = |a_n b_n - a b_n + a b_n - ab| \leq |b_n||a_n - a| + |a||b_n - b|$

对任意 $\varepsilon > 0$,存在 $N$ 使 $n > N$ 时 $|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2M}$ 且 $|b_n - b| < \frac{\varepsilon}{2(|a| + 1)}$。则:

$|a_n b_n - ab| < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + |a| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|a| + 1)} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

故 $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = ab$。$\blacksquare$

5.4 单调有界定理

定理(单调有界准则):

• 单调递增且有上界的数列必收敛(收敛于其上确界)
• 单调递减且有下界的数列必收敛(收敛于其下确界)

证明(单调递增情形):设 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界。由完备性公理,$\{a_n\}$ 有上确界 $a = \sup \{a_n\}$。

对任意 $\varepsilon > 0$,由上确界的”任意接近”性质,存在 $N$ 使 $a_N > a - \varepsilon$。由 $\{a_n\}$ 单调递增,当 $n > N$ 时 $a_n \geq a_N > a - \varepsilon$。又 $a_n \leq a$(因 $a$ 是上界),故 $|a_n - a| < \varepsilon$。

故 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。$\blacksquare$

5.4.1 应用:证明 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

设 $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$。需要证明 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界。

单调性:由二项式展开:

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}$

记 $c_{n,k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} = 1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n})$。

当 $n \to n+1$ 时,$c_{n+1,k} = 1 \cdot (1 - \frac{1}{n+1}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n+1}) > c_{n,k}$,且 $a_{n+1}$ 比 $a_n$ 多一项(均为正)。故 $a_{n+1} > a_n$,即 $\{a_n\}$ 单调递增。

有界性:$c_{n,k} < 1$,故:

$a_n < \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$

后者是收敛级数(可用比值判别法证明),设其和为 $S$。又 $2^{k} \geq k!$ 对 $k \geq 4$ 成立,故:

$S < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{k=4}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} < 3$

故 $\{a_n\}$ 有上界 3。由单调有界定理,$\{a_n\}$ 收敛,记其极限为 $e$。$\blacksquare$

5.5 夹逼定理(Squeeze Theorem)

定理(夹逼准则):设 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ 满足:

1. 存在 $N_0$,使得 $n > N_0$ 时 $a_n \leq b_n \leq c_n$
2. $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = a$

则 $\lim_{n \to \infty} b_n = a$。

证明:对任意 $\varepsilon > 0$,存在 $N_1, N_2$ 使 $n > N_1$ 时 $|a_n - a| < \varepsilon$,$n > N_2$ 时 $|c_n - a| < \varepsilon$。

取 $N = \max(N_0, N_1, N_2)$,当 $n > N$ 时:

$a - \varepsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < a + \varepsilon$

故 $|b_n - a| < \varepsilon$,即 $\lim b_n = a$。$\blacksquare$

5.5.1 应用:证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$

注意到 $0 < \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdots \frac{n}{n} \leq \frac{1}{n}$。

由 $\lim \frac{1}{n} = 0$ 与夹逼定理,$\lim \frac{n!}{n^n} = 0$。

5.5.2 应用:证明 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

设 $a_n = \sqrt[n]{n} - 1 \geq 0$。需证 $a_n \to 0$。

由二项式展开:$n = (1 + a_n)^n \geq \binom{n}{2} a_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} a_n^2$(当 $n \geq 2$)。

故 $a_n^2 \leq \frac{2}{n-1}$,即 $0 \leq a_n \leq \sqrt{\frac{2}{n-1}}$。

由 $\lim \sqrt{\frac{2}{n-1}} = 0$ 与夹逼定理,$\lim a_n = 0$,即 $\lim \sqrt[n]{n} = 1$。$\blacksquare$

5.6 Cauchy 收敛准则

定理(Cauchy 收敛准则):数列 $\{a_n\}$ 收敛 $\iff$ 对任意 $\varepsilon > 0$,存在 $N$,使得 $m, n > N$ 时 $|a_m - a_n| < \varepsilon$。

证明:

(⇒) 设 $\lim a_n = a$。对任意 $\varepsilon > 0$,存在 $N$ 使 $n > N$ 时 $|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}$。故 $m, n > N$ 时:

$|a_m - a_n| \leq |a_m - a| + |a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

(⇐) 由 Cauchy 条件,$\{a_n\}$ 有界(取 $\varepsilon = 1$,得 $N$,则 $n > N$ 时 $|a_n - a_{N+1}| < 1$,故 $\{a_n\}$ 有界)。由 Bolzano-Weierstrass 定理,$\{a_n\}$ 有收敛子列 $\{a_{n_k}\}$,设其收敛于 $a$。

对任意 $\varepsilon > 0$,存在 $K$ 使 $k > K$ 时 $|a_{n_k} - a| < \frac{\varepsilon}{2}$;又存在 $N$ 使 $m, n > N$ 时 $|a_m - a_n| < \frac{\varepsilon}{2}$。取 $k$ 使 $n_k > \max(K, N)$,则对 $n > N$:

$|a_n - a| \leq |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

故 $\lim a_n = a$。$\blacksquare$

意义:Cauchy 准则的特点是判定收敛时无需事先知道极限值,只需检验数列本身的”内部稳定性”。这是分析学中最重要的工具之一。

第 6 章 函数极限

6.1 ε-δ 定义的深入理解

函数极限 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的 ε-δ 定义包含四个要素:

1. ε 的任意性:ε 任意小,代表”距离要多小有多小”
2. δ 的存在性:对每个 ε,存在 δ(通常依赖于 ε 与 $x_0$)
3. 去心邻域:$0 < |x - x_0| < \delta$,排除了 $x = x_0$ 本身
4. 逻辑蕴含:$x$ 在去心邻域内 ⇒ $f(x)$ 在 ε-带内

6.1.1 例:证明 $\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$

分析:$|3x - 1 - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2|$,需 $3|x - 2| < \varepsilon$,即 $|x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}$。

证明:对任意 $\varepsilon > 0$,取 $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$。

当 $0 < |x - 2| < \delta$ 时:

$|(3x - 1) - 5| = 3|x - 2| < 3 \delta = \varepsilon$

故 $\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$。$\blacksquare$

6.1.2 例:证明 $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

分析:$|x^2 - 4| = |x - 2| \cdot |x + 2|$。需对 $|x + 2|$ 做估计。

证明:先限制 $\delta \leq 1$。当 $|x - 2| < 1$ 时,$1 < x < 3$,故 $3 < x + 2 < 5$,即 $|x + 2| < 5$。

对任意 $\varepsilon > 0$,取 $\delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{5})$。当 $0 < |x - 2| < \delta$ 时:

$|x^2 - 4| = |x - 2| \cdot |x + 2| < 5 \cdot |x - 2| < 5 \delta \leq \varepsilon$

故 $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$。$\blacksquare$

注:本例展示了 ε-δ 证明的通用技巧——先局部有界化:用 $\delta \leq 1$ 把 $x$ 限制在邻域内,使 $|x + 2|$ 有界,然后取 $\delta$ 为 $\frac{\varepsilon}{5}$ 与 1 的较小者。

6.1.3 例:证明 $\lim_{x \to 3} \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

分析:$|\frac{1}{x} - \frac{1}{3}| = \frac{|x - 3|}{3|x|}$。需对 $|x|$ 做下界估计。

证明:限制 $\delta \leq 1$。当 $|x - 3| < 1$ 时,$2 < x < 4$,故 $|x| > 2$,$\frac{1}{|x|} < \frac{1}{2}$。

对任意 $\varepsilon > 0$,取 $\delta = \min(1, 6\varepsilon)$。当 $0 < |x - 3| < \delta$ 时:

$\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \right| = \frac{|x - 3|}{3|x|} < \frac{|x - 3|}{6} < \frac{\delta}{6} \leq \varepsilon$

故 $\lim_{x \to 3} \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$。$\blacksquare$

6.2 函数极限的性质

6.2.1 唯一性

定理:若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在,则其值唯一。证明与数列情形类似(反证法)。

6.2.2 局部有界性

定理:若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$,则存在 $\delta > 0$ 与 $M > 0$,使得 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时 $|f(x)| \leq M$。