导数与微分典型例题

1. 复合函数求导

例1：求 $y = \ln(\sin\sqrt{x})$ 的导数。

解：由链式法则：

$y' = \frac{1}{\sin\sqrt{x}} \cdot \cos\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

例2：求 $y = e^{\arctan\frac{1}{x}}$ 的导数。

解：

$y' = e^{\arctan\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = e^{\arctan\frac{1}{x}} \cdot \frac{x^2}{1+x^2} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\arctan\frac{1}{x}}}{1+x^2}$

2. 隐函数求导

例3：设 $x^2 + y^2 = 25$，求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

解：两边对 $x$ 求导：

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

再求二阶导：

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^2} = -\frac{y - x \cdot (-\frac{x}{y})}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3} = -\frac{25}{y^3}$

例4：设 $y = 1 + x e^y$，求 $y'$ 和 $y''$。

解：两边对 $x$ 求导：

$y' = e^y + x e^y y' \Rightarrow y'(1 - xe^y) = e^y \Rightarrow y' = \frac{e^y}{1-xe^y} = \frac{e^y}{2-y}$

（因为 $xe^y = y - 1$）

$y'' = \frac{e^y y'(2-y) - e^y(-y')}{(2-y)^2} = \frac{e^y y'(2-y+1)}{(2-y)^2} = \frac{e^y y'(3-y)}{(2-y)^2}$

代入 $y' = \frac{e^y}{2-y}$：

$y'' = \frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^3}$

3. 参数方程求导

例5：设 $\begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases}$，求 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

解：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right) \cdot \frac{1}{dx/dt} = \frac{\cos t(1-\cos t) - \sin t \cdot \sin t}{(1-\cos t)^2} \cdot \frac{1}{1-\cos t}$

$= \frac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1-\cos t)^3} = \frac{\cos t - 1}{(1-\cos t)^3} = \frac{-1}{(1-\cos t)^2}$

4. 对数求导法

例6：求 $y = x^{\sin x}$ 的导数。

解：取对数 $\ln y = \sin x \cdot \ln x$

$\frac{y'}{y} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$y' = x^{\sin x}\left(\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

例7：求 $y = \sqrt[3]{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数。

解：取对数：

$\ln|y| = \frac{1}{3}[\ln|x-1| + \ln|x-2| - \ln|x-3| - \ln|x-4|]$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{3}\left[\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}\right]$

$y' = \frac{y}{3}\left[\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}\right]$

5. 高阶导数

例8：求 $y = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$ 的 $n$ 阶导数。

解：部分分式分解：

$y = \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$

$y^{(n)} = \left(\frac{1}{x-2}\right)^{(n)} - \left(\frac{1}{x-1}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$

$= (-1)^n n!\left[\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right]$

例9：求 $y = x^2 e^{2x}$ 的 $n$ 阶导数。

解：利用莱布尼茨公式，设 $u = x^2$，$v = e^{2x}$：

$u' = 2x, \quad u'' = 2, \quad u^{(k)} = 0 \ (k \geq 3)$

$v^{(k)} = 2^k e^{2x}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)} = x^2 \cdot 2^n e^{2x} + n \cdot 2x \cdot 2^{n-1}e^{2x} + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cdot 2^{n-2}e^{2x}$

$= 2^{n-2}e^{2x}\left[4x^2 + 4nx + n(n-1)\right]$

6. 微分的计算与应用

例10：求 $y = \arctan\frac{1+x}{1-x}$ 的微分 $dy$。

解：

$y' = \frac{1}{1+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2} \cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2} = \frac{(1-x)^2}{(1-x)^2+(1+x)^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2}$

$= \frac{2}{(1-x)^2+(1+x)^2} = \frac{2}{2+2x^2} = \frac{1}{1+x^2}$

$dy = \frac{dx}{1+x^2}$

例11：利用微分近似计算 $\sqrt[3]{8.02}$。

解：设 $f(x) = \sqrt[3]{x}$，$x_0 = 8$，$\Delta x = 0.02$

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$

$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}, \quad f'(8) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

$\sqrt[3]{8.02} \approx 2 + \frac{1}{12} \times 0.02 = 2 + \frac{0.02}{12} \approx 2.00167$

7. 综合题型

例12：设 $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ ax + b & x > 1 \end{cases}$，确定 $a, b$ 使 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导。

解：可导必连续，先求连续条件：

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = a + b$

连续：$a + b = 1$

再求可导条件：

$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x-1} = 2$

$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{ax+b-1}{x-1} = a$

可导：$a = 2$，代入 $b = 1 - a = -1$。

例13：设 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导，求 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+ph) - f(a-qh)}{h}$（$p, q > 0$）。

解：

$\frac{f(a+ph) - f(a-qh)}{h} = p \cdot \frac{f(a+ph) - f(a)}{ph} + q \cdot \frac{f(a) - f(a-qh)}{qh}$

$= p \cdot f'(a) + q \cdot f'(a) = (p+q)f'(a)$

例14：设 $y = f(\ln x)$，其中 $f$ 二阶可导，求 $y''$。

解：

$y' = f'(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$

$y'' = f''(\ln x) \cdot \frac{1}{x^2} + f'(\ln x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{f''(\ln x) - f'(\ln x)}{x^2}$

例15：证明：双曲线 $xy = c^2$ 上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数。

证明：设切点为 $(x_0, y_0)$，其中 $x_0 y_0 = c^2$。

由 $y = \frac{c^2}{x}$，$y' = -\frac{c^2}{x^2}$，切线斜率 $k = -\frac{c^2}{x_0^2}$。

切线方程：$y - y_0 = -\frac{c^2}{x_0^2}(x - x_0)$

令 $y = 0$：$x$ 截距 $= x_0 + \frac{y_0 x_0^2}{c^2} = x_0 + \frac{c^2 \cdot x_0}{c^2} = 2x_0$

令 $x = 0$：$y$ 截距 $= y_0 + \frac{c^2}{x_0} = y_0 + y_0 = 2y_0$

面积 $= \frac{1}{2} \cdot 2x_0 \cdot 2y_0 = 2x_0 y_0 = 2c^2$（常数）。