微分中值定理

0. 文档说明

本篇以 Spivak《Calculus》4th edition、Apostol《Calculus》Vol 1、Rudin《Principles of Mathematical Analysis》3rd edition、Tao《Analysis I》3rd edition 为标杆，构建微分中值定理的严格理论体系。文档涵盖 Rolle 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理、Taylor 定理（四种余项）、Darboux 定理、积分中值定理及其现代推广（Flett、Pompeiu、Flett-Pompeiu 定理），并以 Python、SymPy、PyTorch 等工具进行数值验证与符号推导。

读者应具备 ε-δ 极限语言、单变量函数连续性与可微性的基本概念（参见 函数与极限 与 导数与微分）。

1. 历史动机

微分中值定理并非一蹴而就的成果，而是横跨五个世纪、由十余位数学家接力构建的分析学基石。其演进史既是对”瞬时变化率”概念的逐步严格化，也是从几何直观走向代数化、最终由 Cauchy 与 Weierstrass 完成严格化的典范。

1.1 Parameshvara 的早期形式（15 世纪）

印度喀拉拉数学学派（Kerala school of astronomy and mathematics）的 Parameshvara（约 1380–1460）在 15 世纪早期即给出中值定理的几何形式：

一段圆弧上，弦与切线斜率相等必在某中间点成立。

Parameshvara 的工作记载于其《Līlāvatībhāṣya》（对 Bhāskara II 著作的注释），其结论是 Lagrange 中值定理在圆弧上的特例。喀拉拉学派的 Madhava（约 1340–1425）及其后继者 Nilakantha、Jyeṣṭhadeva 进一步发展了无穷级数（Madhava–Leibniz 级数、Madhava 正弦级数），与 Taylor 级数有深刻的内在关联。

# 数值验证：Parameshvara 形式（圆弧上中值定理）
# 单位圆上半圆 y=sqrt(1-x^2),在 [-0.8, 0.6] 上验证
import numpy as np

a, b = -0.8, 0.6
f = lambda x: np.sqrt(1 - x**2)
df = lambda x: -x / np.sqrt(1 - x**2)  # 导数（向上半圆）
slope_chord = (f(b) - f(a)) / (b - a)
# 寻找 ξ 使 f'(ξ) = 弦斜率
xi = -slope_chord  # 因 f'(x) = -x/sqrt(1-x^2),解 -ξ/sqrt(1-ξ^2) = slope_chord
# 数值求解
from scipy.optimize import brentq
eq = lambda x: df(x) - slope_chord
xi_numerical = brentq(eq, a, b)
print(f"弦斜率 = {slope_chord:.6f}")
print(f"中值点 ξ = {xi_numerical:.6f}")
print(f"f'(ξ) = {df(xi_numerical):.6f}")
print(f"区间内：{a < xi_numerical < b}")

1.2 Cavalieri 1635：早期几何陈述

意大利数学家 Bonaventura Cavalieri 在 1635 年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中给出类似陈述，但缺乏严格的可微性概念。Cavalieri 的”不可分量法”（method of indivisibles）是积分学的先驱，其几何直观为中值定理的早期形式提供了土壤。

1.3 Rolle 1691：方程根与导数零点

Michel Rolle 在 1691 年发表的《Démonstration d’une méthode pour résoudre les égalités de toutes les degrés》中给出 Rolle 定理的原始形式：

若多项式方程 $f(x)=0$ 在 $a$ 与 $b$ 处有根，则方程 $f'(x)=0$ 在 $a$ 与 $b$ 之间存在一根。

Rolle 当时使用”级联法”（méthode des cascades）逐次求导降次求根。值得注意的是，Rolle 本人反对 Newton 与 Leibniz 的微积分体系，认为无穷小概念不严格。Rolle 定理的现代形式（针对一般可微函数）直至 19 世纪由 Dini、Bonnet 等人完善。

1.4 Lagrange 1797：代数化的有限增量公式

Joseph-Louis Lagrange 在 1797 年的《Théorie des fonctions analytiques》中提出”代数化分析”纲领，试图完全摒弃 Newton 流数术与 Leibniz 无穷小的模糊性。他给出了现代形式的有限增量公式：

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a), \quad \xi \in (a, b)$

Lagrange 假设任何函数均可展开为 Taylor 级数（即所谓”解析函数”），并以此为基础建立微积分。这一假设后被 Cauchy 证明为过强（存在 $C^\infty$ 但非解析的函数，如 $e^{-1/x^2}$）。Lagrange 的贡献在于：将中值定理确立为微积分基本定理之外的核心工具，并首次以 $\xi$ 的存在性论证函数增量与导数的关系。

1.5 Cauchy 1823：严格化与参数化

Augustin-Louis Cauchy 在 1823 年的《Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal》中完成了中值定理的现代严格化：

1. 首次以 $\varepsilon$-$\delta$ 语言陈述极限、连续与导数定义；
2. 给出 Cauchy 中值定理的参数化形式：

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \quad \xi \in (a, b)$

3. 证明 Lagrange 中值定理为 $g(x) = x$ 的特例；
4. 以此为基础严格证明 L’Hôpital 法则。

Cauchy 的严格化革命奠定了现代分析学的范式，影响了 Weierstrass、Heine、Dedekind 等后续工作。

1.6 Taylor 1715 与 Maclaurin 1742

Brook Taylor 在 1715 年的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中首次陈述 Taylor 级数，但其工作缺乏收敛性讨论。Colin Maclaurin 在 1742 年的《A Treatise of Fluxions》中系统使用 $x_0 = 0$ 处展开（即 Maclaurin 级数），并首次给出余项估计：

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + R_n(x)$

Maclaurin 在书中明确将该公式归功于 Taylor 与 James Stirling。Taylor 级数的严格收敛性直至 1821 年 Cauchy 才完整建立：Cauchy 证明 $e^x, \sin x, \cos x$ 在全实轴上收敛于函数本身，并构造反例 $e^{-1/x^2}$ 揭示 $C^\infty$ 不蕴含解析性。

1.7 Darboux 1875：导数的介值性

Gaston Darboux 在 1875 年的论文《Mémoire sur les discontinuités des fonctions》中证明了一个深刻结论：

若 $f$ 在 $[a, b]$ 上可导，则 $f'$ 取 $f'(a)$ 与 $f'(b)$ 之间的所有值。

这一结论（Darboux 定理）的深刻性在于：$f'$ 不必连续。这与连续函数的介值定理形成对照——导函数即便有间断点，也只能是第二类（振荡型），不能是第一类（跳跃型）。Darboux 定理揭示了导数与连续函数的本质差异，是微分方程存在性定理（Peano 定理、Picard–Lindelöf 定理）的关键工具。

1.8 Bonnet 1868：Rolle 定理的现代证明

法国数学家 Pierre Ossian Bonnet 在 1868 年给出了 Rolle 定理的现代证明，即利用最值定理与 Fermat 引理。这一证明模式成为后续 Lagrange、Cauchy 中值定理证明的范式（构造辅助函数 + 应用 Rolle 定理）。Bonnet 的贡献在于将 Rolle 定理从多项式推广到一般可微函数，并将其确立为整个中值定理家族的逻辑起点。

1.9 Flett 1958：端点导数相等的加强形式

Thomas M. Flett 在 1958 年的论文《A mean value theorem》中给出 Lagrange 中值定理的精妙加强：

若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f'(a) = f'(b)$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $f'(\xi) = \frac{f(\xi) - f(a)}{\xi - a}$。

Flett 定理的几何意义：存在中间点 $\xi$，使得该点处的”弦斜率”等于”切线斜率”。当 $f'(a) = f'(b)$ 时 Flett 定理比 Lagrange 中值定理更强，且其证明需要构造非平凡的辅助函数。

1.10 Pompeiu 1906：参数化中值定理

Romanian 数家 Dimitrie Pompeiu 在 1906 年给出 Cauchy 中值定理的奇异变形：

若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，$g$ 在 $[a, b]$ 上严格单调可导，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$，且 $g$ 可以为非常一般的形式（包括奇异变换）。

Pompeiu 定理在 L’Hôpital 法则的严格化、奇异极限计算中有重要应用。

1.11 Flett–Pompeiu 定理：现代综合形式

20 世纪后期，Trahan、Sahoo–Riedel 等数学家将 Flett 定理与 Pompeiu 定理综合为：

若 $f, g$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，$g'(a) = g'(b)$，且 $(f'(a) - f'(b))(g(b) - g(a)) \neq (g'(a) - g'(b))(f(b) - f(a))$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $\frac{f'(\xi) - f'(a)}{g'(\xi) - g'(a)} = \frac{f(\xi) - f(a)}{g(\xi) - g(a)}$。

这一形式统一了 Flett 与 Pompeiu 的成果，并在数值分析、优化理论中有应用。

# Flett 定理数值验证：f(x)=x^3-3x+1, a=-2, b=2
# 条件：f'(a)=f'(b)
import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

f = lambda x: x**3 - 3*x + 1
df = lambda x: 3*x**2 - 3

a, b = -2, 2
print(f"f'(a) = {df(a)}, f'(b) = {df(b)}")  # 验证 f'(-2)=9, f'(2)=9 相等

# Flett 条件：存在 ξ 使 f'(ξ) = [f(ξ)-f(a)]/(ξ-a)
flett_eq = lambda xi: df(xi) - (f(xi) - f(a))/(xi - a)
# 在 (a, b) 内寻找零点
xi_candidates = np.linspace(a + 0.01, b - 0.01, 1000)
signs = np.sign([flett_eq(x) for x in xi_candidates])
# 找符号变化点
for i in range(len(signs)-1):
    if signs[i] * signs[i+1] < 0:
        xi_sol = brentq(flett_eq, xi_candidates[i], xi_candidates[i+1])
        print(f"Flett 中值点 ξ ≈ {xi_sol:.6f}")
        print(f"验证 f'(ξ) = {df(xi_sol):.6f}")
        print(f"验证 [f(ξ)-f(a)]/(ξ-a) = {(f(xi_sol)-f(a))/(xi_sol-a):.6f}")

2. 形式化定义

本节给出微分中值定理家族的严格陈述。所有定理均以 Spivak《Calculus》4th edition 第 11 章与 Rudin《Principles of Mathematical Analysis》第 5 章为基准。

2.1 Rolle 定理

定理 2.1（Rolle 定理） 设函数 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 满足：

1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导；
3. 端点等值：$f(a) = f(b)$。

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$f'(\xi) = 0.$

注：三条假设均不可省略。

• 缺少闭区间连续性：考虑 $f(x) = x$ 在 $[0, 1]$ 上定义 $f(1) = 0$，则 $f$ 在 $(0, 1)$ 内可导但 $f'(x) = 1 \neq 0$。
• 缺少开区间可导性：考虑 $f(x) = |x|$ 在 $[-1, 1]$ 上，$f(-1) = f(1) = 1$，但 $f$ 在 $x = 0$ 不可导，且无 $\xi$ 使 $f'(\xi) = 0$。
• 缺少端点等值：考虑 $f(x) = x$ 在 $[0, 1]$ 上，$f'(x) = 1 \neq 0$。

2.2 Lagrange 中值定理

定理 2.2（Lagrange 中值定理 / 有限增量公式） 设函数 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 满足：

1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导。

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

等价形式（有限增量公式）：

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a), \quad \xi \in (a, b).$

更一般地，对任意 $x, x + h \in [a, b]$，存在 $\theta \in (0, 1)$ 使

$f(x + h) - f(x) = f'(x + \theta h) \cdot h.$

几何意义：在连接 $(a, f(a))$ 与 $(b, f(b))$ 的弧段上，至少存在一点 $\xi$，使得该点处的切线平行于连接两端点的弦。

2.3 Cauchy 中值定理

定理 2.3（Cauchy 中值定理） 设函数 $f, g: [a, b] \to \mathbb{R}$ 满足：

1. $f, g$ 在 $[a, b]$ 上连续；
2. $f, g$ 在 $(a, b)$ 内可导；
3. 对一切 $x \in (a, b)$，$g'(x) \neq 0$。

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$

注 1：取 $g(x) = x$ 即得 Lagrange 中值定理（因 $g'(x) = 1 \neq 0$，$g(b) - g(a) = b - a$）。

注 2：条件 $g'(x) \neq 0$ 蕴含 $g(b) \neq g(a)$（由 Rolle 定理逆否），故分母 $g(b) - g(a) \neq 0$。

注 3：Cauchy 中值定理的几何意义为参数曲线 $(g(t), f(t))$ 上存在点 $\xi$，使切线斜率等于弦斜率。

2.4 Taylor 定理

定理 2.4（Taylor 定理，带 Lagrange 余项） 设 $f$ 在含 $x_0$ 的某开区间 $I$ 内有 $n + 1$ 阶导数，则对任意 $x \in I$，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使得

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + R_n(x),$

其中 Lagrange 余项

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}.$

定理 2.5（Taylor 定理，带 Peano 余项） 设 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数（即 $f^{(n-1)}$ 在 $x_0$ 的某邻域内存在且 $f^{(n)}(x_0)$ 存在），则

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + o\big((x - x_0)^n\big).$

定理 2.6（Taylor 定理，带 Cauchy 余项） 在定理 2.4 的条件下，存在 $\theta \in (0, 1)$ 使

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta (x - x_0))}{n!} (1 - \theta)^n (x - x_0)^{n+1}.$

定理 2.7（Taylor 定理，带 Schlömilch 余项） 更一般地，对任意 $p \in [1, n+1]$，存在 $\theta \in (0, 1)$ 使

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta (x - x_0))}{n! \cdot p} (1 - \theta)^{n+1-p} (x - x_0)^{n+1}.$

• 取 $p = n + 1$ 得 Lagrange 余项；
• 取 $p = 1$ 得 Cauchy 余项。

2.5 Maclaurin 级数

定义 2.8（Maclaurin 级数） 设 $f$ 在 $x_0 = 0$ 处任意阶可导，称幂级数

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$

为 $f$ 的 Maclaurin 级数。若该级数在某邻域内收敛于 $f(x)$，则称 $f$ 在 $0$ 处解析。

常见 Maclaurin 级数：

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \quad x \in \mathbb{R}$

$\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}, \quad x \in \mathbb{R}$

$\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}, \quad x \in \mathbb{R}$

$\ln(1 + x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k, \quad x \in (-1, 1]$

$\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1}, \quad x \in [-1, 1]$

$(1 + x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k, \quad x \in (-1, 1)$

2.6 Darboux 定理（导数介值定理）

定理 2.9（Darboux 定理） 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上可导（即 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且单侧导数 $f'_+(a), f'_-(b)$ 存在）。若 $y$ 介于 $f'_+(a)$ 与 $f'_-(b)$ 之间，则存在 $\xi \in [a, b]$ 使

$f'(\xi) = y.$

注：此定理不要求 $f'$ 连续。Darboux 定理断言：导函数即便不连续，仍具有介值性。这是导函数区别于一般函数的关键性质。

2.7 积分中值定理（第一形式）

定理 2.10（积分中值定理，第一形式） 设 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$ 使

$\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi) (b - a).$

几何意义：连续函数在 $[a, b]$ 上的积分等于某矩形面积，矩形高为某中间点的函数值。

2.8 积分中值定理（第二形式）

定理 2.11（积分中值定理，第二形式 / 加权形式） 设 $f, g: [a, b] \to \mathbb{R}$ 满足：

1. $f$ 在 $[a, b]$ 上连续；
2. $g$ 在 $[a, b]$ 上可积且不变号（即 $g(x) \geq 0$ 或 $g(x) \leq 0$）。

则存在 $\xi \in [a, b]$ 使

$\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \, dx.$

注：第一形式为第二形式取 $g(x) \equiv 1$ 的特例。第二形式要求 $g$ 不变号，但允许 $g$ 在某些点为零。

3. 理论推导

本节给出上述定理的完整证明，所有证明遵循 Spivak《Calculus》4th edition 的严格风格。

3.1 Rolle 定理证明

证明 由闭区间上连续函数的最值定理，$f$ 在 $[a, b]$ 上取得最大值 $M$ 与最小值 $m$。设 $f(\alpha) = M$，$f(\beta) = m$，$\alpha, \beta \in [a, b]$。

情形 1：$M = m$。此时 $f$ 为常数函数，$f'(x) = 0$ 对一切 $x \in (a, b)$ 成立，任取 $\xi \in (a, b)$ 即可。

情形 2：$M > m$。由 $f(a) = f(b)$，$M$ 与 $m$ 不可能同时在端点取得，故 $\alpha$ 或 $\beta$ 之一必在 $(a, b)$ 内。不妨设 $\alpha \in (a, b)$（$\beta$ 同理）。

由 Fermat 引理：若 $f$ 在 $\alpha$ 处取得极值且 $f'(\alpha)$ 存在，则 $f'(\alpha) = 0$。

由于 $\alpha \in (a, b)$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 内可导，$f'(\alpha)$ 存在。又 $\alpha$ 为最大值点，故为极值点，由 Fermat 引理得 $f'(\alpha) = 0$。

取 $\xi = \alpha$ 即证。$\blacksquare$

Fermat 引理的证明（供参考）：设 $\alpha$ 为极大值点（极小值同理）。对 $h > 0$ 充分小，$f(\alpha + h) \leq f(\alpha)$，故 $\frac{f(\alpha + h) - f(\alpha)}{h} \leq 0$，取极限 $h \to 0^+$ 得 $f'(\alpha) \leq 0$。对 $h < 0$，$\frac{f(\alpha + h) - f(\alpha)}{h} \geq 0$，取极限 $h \to 0^-$ 得 $f'(\alpha) \geq 0$。故 $f'(\alpha) = 0$。

# Rolle 定理数值验证：f(x) = (x-1)(x-3)(x-5) = x^3-9x^2+23x-15, 在 [1,5] 上
import numpy as np
import sympy as sp
from scipy.optimize import brentq

x = sp.symbols('x')
f_sym = (x - 1) * (x - 3) * (x - 5)
df_sym = sp.diff(f_sym, x)
print(f"f(x) = {sp.expand(f_sym)}")
print(f"f'(x) = {sp.expand(df_sym)}")
print(f"f(1) = {f_sym.subs(x, 1)}, f(5) = {f_sym.subs(x, 5)}")  # 均为 0

# 求解 f'(ξ) = 0 在 (1, 5) 内
sols = sp.solve(df_sym, x)
print(f"f'(x) = 0 的解: {sols}")
# 验证解在区间内
for s in sols:
    if s.is_real and 1 < float(s) < 5:
        print(f"Rolle 中值点 ξ = {s} ≈ {float(s):.6f}")

3.2 Lagrange 中值定理证明

证明 构造辅助函数（“减弦函数”）

$\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a).$

验证：

1. $\varphi(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0$；
2. $\varphi(b) = f(b) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (b - a) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0$。

故 $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$。又 $\varphi$ 在 $[a, b]$ 上连续（因 $f$ 连续），在 $(a, b)$ 内可导（因 $f$ 可导），由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $\varphi'(\xi) = 0$。

计算

$\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

由 $\varphi'(\xi) = 0$ 得

$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \quad \blacksquare$

辅助函数的几何意义：$\varphi(x)$ 是 $f(x)$ 减去连接 $(a, f(a))$ 与 $(b, f(b))$ 的弦的线性函数。$\varphi$ 在端点处归零，应用 Rolle 定理即得弦斜率等于某点切线斜率。

# Lagrange 中值定理符号验证：f(x) = x^3, [1, 3]
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = x**3
a, b = 1, 3
slope = (f.subs(x, b) - f.subs(x, a)) / (b - a)
print(f"弦斜率 = [{f.subs(x,b)} - {f.subs(x,a)}] / [{b} - {a}] = {slope}")

df = sp.diff(f, x)
xi_sols = sp.solve(df - slope, x)
print(f"f'(x) = {df}")
print(f"f'(ξ) = {slope} 的解: {xi_sols}")
# 验证解在 (1, 3) 内
for s in xi_sols:
    if s.is_real and a < s < b:
        print(f"Lagrange 中值点 ξ = {s} = {float(s):.6f}")
        print(f"验证 f'(ξ) = {df.subs(x, s)} = {float(df.subs(x, s)):.6f}")

# Lagrange 中值定理数值验证（一般不可解的函数）
import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

# f(x) = x + sin(x), [0, pi]
f = lambda x: x + np.sin(x)
df = lambda x: 1 + np.cos(x)
a, b = 0, np.pi
slope = (f(b) - f(a)) / (b - a)
print(f"弦斜率 = {slope:.6f}")

# 求解 df(xi) = slope
eq = lambda xi: df(xi) - slope
xi_sol = brentq(eq, a + 1e-10, b - 1e-10)
print(f"中值点 ξ = {xi_sol:.6f}")
print(f"f'(ξ) = {df(xi_sol):.6f}")
print(f"区间内：{a < xi_sol < b}")

3.3 Cauchy 中值定理证明

证明 构造辅助函数

$\varphi(x) = [f(b) - f(a)] g(x) - [g(b) - g(a)] f(x).$

验证：

1. $\varphi(a) = [f(b) - f(a)] g(a) - [g(b) - g(a)] f(a) = f(b) g(a) - f(a) g(a) - g(b) f(a) + g(a) f(a) = f(b) g(a) - g(b) f(a)$；
2. $\varphi(b) = [f(b) - f(a)] g(b) - [g(b) - g(a)] f(b) = f(b) g(b) - f(a) g(b) - g(b) f(b) + g(a) f(b) = g(a) f(b) - f(a) g(b)$。

故 $\varphi(a) = \varphi(b)$。又 $\varphi$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $\varphi'(\xi) = 0$。

计算

$\varphi'(x) = [f(b) - f(a)] g'(x) - [g(b) - g(a)] f'(x).$

由 $\varphi'(\xi) = 0$：

$[f(b) - f(a)] g'(\xi) = [g(b) - g(a)] f'(\xi).$

由假设 $g'(x) \neq 0$ 对一切 $x \in (a, b)$ 成立，由 Rolle 定理逆否知 $g(b) \neq g(a)$，即 $g(b) - g(a) \neq 0$。两端除以 $[g(b) - g(a)] g'(\xi)$ 得

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. \quad \blacksquare$

注：另一常见辅助函数为

$\psi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} [g(x) - g(a)],$

其证明思路与上类似。

# Cauchy 中值定理验证：f(x) = sin(x), g(x) = cos(x), [0, pi/4]
import numpy as np
import sympy as sp
from scipy.optimize import brentq

x = sp.symbols('x')
f_sym = sp.sin(x)
g_sym = sp.cos(x)
a, b = 0, sp.pi / 4

lhs = (f_sym.subs(x, b) - f_sym.subs(x, a)) / (g_sym.subs(x, b) - g_sym.subs(x, a))
print(f"LHS = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = {sp.simplify(lhs)} ≈ {float(lhs):.6f}")

df = sp.diff(f_sym, x)
dg = sp.diff(g_sym, x)
# 求解 df(ξ)/dg(ξ) = lhs, 即 df(ξ) - lhs*dg(ξ) = 0
eq = df - lhs * dg
xi_sols = sp.solve(eq, x)
print(f"df/dg = LHS 的解: {xi_sols}")
# 在 (0, pi/4) 内筛选
for s in xi_sols:
    s_val = float(s)
    if 0 < s_val < float(b):
        print(f"Cauchy 中值点 ξ = {s} ≈ {s_val:.6f}")
        print(f"验证 f'(ξ)/g'(ξ) = {float(df.subs(x, s) / dg.subs(x, s)):.6f}")

3.4 Taylor 定理证明（四种余项）

3.4.1 Peano 余项证明

证明 设 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导。定义

$R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k.$

需证 $\lim_{x \to x_0} \frac{R_n(x)}{(x - x_0)^n} = 0$。

由 $f^{(k)}(x_0)$ 存在（$k \leq n$），$f^{(n-1)}$ 在 $x_0$ 处连续且在 $x_0$ 的某邻域内存在。对 $R_n$ 应用 $n-1$ 次 L’Hôpital 法则：

$\lim_{x \to x_0} \frac{R_n(x)}{(x - x_0)^n} = \lim_{x \to x_0} \frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n! (x - x_0)}.$

计算

$R_n^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)(x - x_0).$

故

$\lim_{x \to x_0} \frac{R_n^{(n-1)}(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left[ \frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x - x_0} - f^{(n)}(x_0) \right] = f^{(n)}(x_0) - f^{(n)}(x_0) = 0.$

故 $R_n(x) = o((x - x_0)^n)$。$\blacksquare$

3.4.2 Lagrange 余项证明

证明 设 $f$ 在含 $x_0$ 的开区间 $I$ 内有 $n+1$ 阶导数。固定 $x \in I$，$x \neq x_0$。构造辅助函数

$F(t) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x - t)^k.$

注意此处变量为 $t$（展开点），$x$ 视为常量。计算

$F'(t) = -\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x - t)^k + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!} (x - t)^{k-1}.$

合并同类项（$k$ 与 $k-1$ 抵消）得

$F'(t) = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x - t)^n.$

令 $G(t) = (x - t)^{n+1}$，则 $G'(t) = -(n+1)(x - t)^n$。在 $t = x_0$ 与 $t = x$ 之间对 $F, G$ 应用 Cauchy 中值定理（注意 $G'(t) \neq 0$ 在 $t \neq x$ 时成立）：

$\frac{F(x) - F(x_0)}{G(x) - G(x_0)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$

对某 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间。

计算 $F(x) = f(x) - \frac{f^{(0)}(x)}{0!} (x - x)^0 = f(x) - f(x) = 0$，$F(x_0) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k = R_n(x)$，$G(x) = 0$，$G(x_0) = (x - x_0)^{n+1}$。故

$\frac{-R_n(x)}{-(x - x_0)^{n+1}} = \frac{-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x - \xi)^n}{-(n+1)(x - \xi)^n} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}.$

故

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}. \quad \blacksquare$

3.4.3 Cauchy 余项证明

在 3.4.2 的证明中，改取 $G(t) = x - t$（线性函数），则 $G'(t) = -1 \neq 0$。由 Cauchy 中值定理：

$\frac{F(x) - F(x_0)}{G(x) - G(x_0)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} = \frac{-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x - \xi)^n}{-1} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x - \xi)^n.$

而 $F(x) - F(x_0) = -R_n(x)$，$G(x) - G(x_0) = (x - x) - (x - x_0) = -(x - x_0)$，故

$\frac{-R_n(x)}{-(x - x_0)} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x - \xi)^n.$

即

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x - \xi)^n (x - x_0).$

令 $\xi = x_0 + \theta (x - x_0)$，$\theta \in (0, 1)$，则 $x - \xi = (1 - \theta)(x - x_0)$，代入得

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta (x - x_0))}{n!} (1 - \theta)^n (x - x_0)^{n+1}. \quad \blacksquare$

3.4.4 Schlömilch 余项证明

在 3.4.2 的证明中，取 $G(t) = (x - t)^p$，$p \in [1, n+1]$，则 $G'(t) = -p (x - t)^{p-1} \neq 0$（当 $t \neq x$）。由 Cauchy 中值定理：

$\frac{F(x) - F(x_0)}{G(x) - G(x_0)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} = \frac{-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x - \xi)^n}{-p (x - \xi)^{p-1}} = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n! \cdot p} (x - \xi)^{n+1-p}.$

而 $G(x) - G(x_0) = 0 - (x - x_0)^p = -(x - x_0)^p$，$F(x) - F(x_0) = -R_n(x)$，故

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n! \cdot p} (x - \xi)^{n+1-p} (x - x_0)^p.$

代入 $\xi = x_0 + \theta (x - x_0)$：

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta (x - x_0))}{n! \cdot p} (1 - \theta)^{n+1-p} (x - x_0)^{n+1}. \quad \blacksquare$

• $p = n + 1$：$(1 - \theta)^0 = 1$，得 Lagrange 余项；
• $p = 1$：$(1 - \theta)^n$，得 Cauchy 余项。

# Taylor 余项的数值比较：f(x) = e^x, x0 = 0, x = 0.5, n = 4
import numpy as np
from math import factorial, exp

x0, x_val, n = 0, 0.5, 4
f = np.exp
df_n1 = lambda t: np.exp(t)  # n+1 阶导数,对 e^x 仍为 e^x

# 真实值
true_val = f(x_val)
# Taylor 多项式
P_n = sum(x_val**k / factorial(k) for k in range(n+1))
R_actual = true_val - P_n
print(f"真实值 f({x_val}) = {true_val:.10f}")
print(f"Taylor 多项式 P_{n}({x_val}) = {P_n:.10f}")
print(f"真实余项 R_{n} = {R_actual:.10e}")

# Lagrange 余项估计（上界）: |R_n| <= max|f^(n+1)| * |x-x0|^(n+1) / (n+1)!
xi_lagrange_bound = max(f(t) for t in np.linspace(x0, x_val, 100))
R_lagrange_bound = xi_lagrange_bound * abs(x_val - x0)**(n+1) / factorial(n+1)
print(f"Lagrange 余项上界 = {R_lagrange_bound:.10e}")

# Cauchy 余项估计（取 θ=0.5 的形式）: |R_n| <= max|f^(n+1)| * (1-θ)^n * |x-x0|^(n+1) / n!
theta = 0.5
R_cauchy_bound = xi_lagrange_bound * (1 - theta)**n * abs(x_val - x0)**(n+1) / factorial(n)
print(f"Cauchy 余项(θ=0.5)上界 = {R_cauchy_bound:.10e}")

# 数值搜索实际 θ_Lagrange
# R_n = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! * (x-x0)^(n+1), 求 ξ
xi_actual = R_actual * factorial(n+1) / (x_val - x0)**(n+1)
print(f"反解 Lagrange 余项得 ξ = ln({xi_actual:.6f}) = {np.log(xi_actual):.6f}")
print(f"θ = (ξ - x0)/(x - x0) = {(np.log(xi_actual) - x0)/(x_val - x0):.6f}")

3.5 Darboux 定理证明

证明 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上可导，$y$ 介于 $f'_+(a)$ 与 $f'_-(b)$ 之间。不妨设 $f'_+(a) < y < f'_-(b)$（其余情形对称）。

定义 $g(x) = f(x) - y x$，则 $g$ 在 $[a, b]$ 上可导，$g'(x) = f'(x) - y$。

由 $f'_+(a) < y < f'_-(b)$ 得 $g'_+(a) = f'_+(a) - y < 0$，$g'_-(b) = f'_-(b) - y > 0$。

由于 $g'_+(a) < 0$，存在 $x_1 \in (a, b)$ 使 $g(x_1) < g(a)$（因右导数为负意味着 $g$ 在 $a$ 附近递减）。

由于 $g'_-(b) > 0$，存在 $x_2 \in (a, b)$ 使 $g(x_2) < g(b)$（因左导数为正意味着 $g$ 在 $b$ 附近递减，即 $g(b-\varepsilon) > g(b)$，故 $g$ 在 $b$ 处取得局部极小值）。

由 $g$ 在 $[a, b]$ 上连续（因 $f$ 连续），$g$ 在 $[a, b]$ 上取得最小值。由上述两点，最小值不在端点 $a$ 或 $b$ 取得（因 $g(x_1) < g(a)$ 且 $g(x_2) < g(b)$），故存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $g$ 在 $\xi$ 处取得最小值，即极值。由 Fermat 引理，$g'(\xi) = 0$，即 $f'(\xi) = y$。$\blacksquare$