前置知识: 高等数学

重积分典型例题

13 minIntermediate2026/6/14

重积分15道典型例题：二重积分计算、极坐标变换、三重积分、柱坐标与球坐标等核心题型。

1. 二重积分交换积分顺序

例1：交换积分顺序 ∫01dx∫x1f(x,y) dy\int_0^1 dx \int_x^1 f(x,y)\, dy

解：原积分区域 D:0≤x≤1,x≤y≤1D: 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1

交换后：0≤y≤1,0≤x≤y0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq y

∫01dx∫x1f(x,y) dy=∫01dy∫0yf(x,y) dx\int_0^1 dx \int_x^1 f(x,y)\, dy = \int_0^1 dy \int_0^y f(x,y)\, dx

例2：交换积分顺序 ∫01dx∫0x2f(x,y) dy+∫12dx∫02−x2f(x,y) dy\int_0^1 dx \int_0^{x^2} f(x,y)\, dy + \int_1^{\sqrt{2}} dx \int_0^{2-x^2} f(x,y)\, dy

解：区域 D=D1∪D2D = D_1 \cup D_2，其中：

D1:0≤x≤1,0≤y≤x2D_1: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^2

D2:1≤x≤2,0≤y≤2−x2D_2: 1 \leq x \leq \sqrt{2}, 0 \leq y \leq 2-x^2

合并后 D:0≤y≤1,y≤x≤2−yD: 0 \leq y \leq 1, \sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{2-y}

∫01dy∫y2−yf(x,y) dx\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y}} f(x,y)\, dx

2. 极坐标计算二重积分

例3：求 ∬De−x2−y2dσ\iint_D e^{-x^2-y^2} d\sigma，其中 D:x2+y2≤R2D: x^2 + y^2 \leq R^2

解：极坐标变换：

∬De−r2⋅r dr dθ=∫02πdθ∫0Rre−r2 dr=2π⋅[−12e−r2]0R=π(1−e−R2)\iint_D e^{-r^2} \cdot r\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r e^{-r^2}\, dr = 2\pi \cdot \left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^R = \pi(1-e^{-R^2})

令 R→+∞R \to +\infty：∫0+∞e−x2dx=π2\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}（概率积分）

例4：求 ∬Dx2+y2dσ\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d\sigma，其中 D:x2+y2≤2xD: x^2 + y^2 \leq 2x

解：x2+y2≤2xx^2 + y^2 \leq 2x 即 (x−1)2+y2≤1(x-1)^2 + y^2 \leq 1，极坐标 r=2cos⁡θr = 2\cos\theta，θ∈[−π/2,π/2]\theta \in [-\pi/2, \pi/2]

∫−π/2π/2dθ∫02cos⁡θr⋅r dr=∫−π/2π/28cos⁡3θ3 dθ=163∫0π/2cos⁡3θ dθ=163⋅23=329\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^{2\cos\theta} r \cdot r\, dr = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{8\cos^3\theta}{3}\, d\theta = \frac{16}{3}\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\, d\theta = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{9}

3. 二重积分对称性

例5：求 ∬D(x2+y2)dσ\iint_D (x^2 + y^2) d\sigma，其中 D:∣x∣+∣y∣≤1D: |x| + |y| \leq 1

解：利用对称性，只需计算第一象限部分再乘 4：

D1:x+y≤1,x≥0,y≥0D_1: x + y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0

4∫01dx∫01−x(x2+y2) dy=4∫01[x2(1−x)+(1−x)33]dx4\int_0^1 dx \int_0^{1-x} (x^2+y^2)\, dy = 4\int_0^1 \left[x^2(1-x) + \frac{(1-x)^3}{3}\right] dx

=4[x33−x44−(1−x)412]01=4[13−14+112]=23= 4\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{(1-x)^4}{12}\right]_0^1 = 4\left[\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\right] = \frac{2}{3}

4. 二重积分综合

例6：求 ∬D∣xy∣dσ\iint_D |xy| d\sigma，其中 D:x2+y2≤a2D: x^2 + y^2 \leq a^2

解：由对称性：

∬D∣xy∣dσ=4∫0π/2dθ∫0ar2cos⁡θsin⁡θ⋅r dr=4∫0π/2sin⁡2θ2dθ∫0ar3 dr\iint_D |xy| d\sigma = 4\int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^a r^2 \cos\theta\sin\theta \cdot r\, dr = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\sin 2\theta}{2} d\theta \int_0^a r^3\, dr

=4⋅12⋅a44=a42= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{2}

例7：设 f(x)f(x) 连续，证明：∬Df(x+y)dxdy=∫−11f(u)du\iint_D f(x+y) dxdy = \int_{-1}^{1} f(u) du，其中 D:∣x∣+∣y∣≤1D: |x|+|y| \leq 1。

证明：令 u=x+yu = x+y，v=x−yv = x-y，Jacobian ∂(x,y)∂(u,v)=12\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{2}

DD 变为 ∣u∣≤1,∣v∣≤1|u| \leq 1, |v| \leq 1

∬Df(x+y)dxdy=∫−11f(u)du∫−1112dv=∫−11f(u)du\iint_D f(x+y) dxdy = \int_{-1}^{1} f(u) du \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} dv = \int_{-1}^{1} f(u) du

5. 三重积分

例8：求 ∭Ωz dV\iiint_\Omega z\, dV，其中 Ω\Omega 由 z=x2+y2z = x^2+y^2 和 z=1z = 1 围成。

解：柱坐标，zz 从 r2r^2 到 11，rr 从 00 到 11：

∫02πdθ∫01r dr∫r21z dz=2π∫01r⋅1−r42 dr=π[r22−r66]01=π3\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\, dr \int_{r^2}^1 z\, dz = 2\pi \int_0^1 r \cdot \frac{1-r^4}{2}\, dr = \pi\left[\frac{r^2}{2} - \frac{r^6}{6}\right]_0^1 = \frac{\pi}{3}

例9：求 ∭Ω(x2+y2+z2)dV\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dV，其中 Ω:x2+y2+z2≤R2\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2

解：球坐标：

∫02πdθ∫0πdφ∫0Rr2⋅r2sin⁡φ dr=2π⋅2⋅R55=4πR55\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\varphi \int_0^R r^2 \cdot r^2\sin\varphi\, dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi R^5}{5}

例10：求 ∭Ωz2 dV\iiint_\Omega z^2\, dV，其中 Ω:x2+y2+z2≤R2\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2

解：由对称性，∭x2 dV=∭y2 dV=∭z2 dV\iiint x^2\, dV = \iiint y^2\, dV = \iiint z^2\, dV

∭(x2+y2+z2)dV=4πR55\iiint (x^2+y^2+z^2) dV = \frac{4\pi R^5}{5}

∭z2 dV=13⋅4πR55=4πR515\iiint z^2\, dV = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\pi R^5}{5} = \frac{4\pi R^5}{15}

6. 重积分应用

例11：求球面 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2 = R^2 内接正圆柱体的最大体积。

解：设圆柱底面半径 rr，高 2h2h，则 r2+h2=R2r^2 + h^2 = R^2

V=πr2⋅2h=2π(R2−h2)hV = \pi r^2 \cdot 2h = 2\pi(R^2-h^2)h

令 dVdh=2π(R2−3h2)=0\frac{dV}{dh} = 2\pi(R^2 - 3h^2) = 0，h=R3h = \frac{R}{\sqrt{3}}

Vmax⁡=2π⋅2R23⋅R3=43πR39V_{\max} = 2\pi \cdot \frac{2R^2}{3} \cdot \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}\pi R^3}{9}

例12：求由 z=x2+y2z = x^2+y^2 和 z=2−x2−y2z = 2-x^2-y^2 围成立体的体积。

解：联立 x2+y2=1x^2+y^2 = 1

V=∬x2+y2≤1[(2−x2−y2)−(x2+y2)]dσ=∬(2−2r2)r dr dθV = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} [(2-x^2-y^2) - (x^2+y^2)] d\sigma = \iint (2-2r^2) r\, dr\, d\theta

=2π∫01(2r−2r3) dr=2π[r2−r42]01=π= 2\pi \int_0^1 (2r - 2r^3)\, dr = 2\pi\left[r^2 - \frac{r^4}{2}\right]_0^1 = \pi

7. 变量替换

例13：求 ∬D1−x2a2−y2b2dσ\iint_D \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} d\sigma，其中 D:x2a2+y2b2≤1D: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1

解：广义极坐标 x=arcos⁡θx = ar\cos\theta，y=brsin⁡θy = br\sin\theta，Jacobian =abr= abr

∫02πdθ∫011−r2⋅abr dr=2πab∫01r1−r2 dr=2πab⋅13=2πab3\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \sqrt{1-r^2} \cdot abr\, dr = 2\pi ab \int_0^1 r\sqrt{1-r^2}\, dr = 2\pi ab \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi ab}{3}

例14：求 ∭Ωx2+y2dV\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2} dV，其中 Ω\Omega 由 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 和 z=1z = 1 围成。

解：柱坐标：

∫02πdθ∫01r⋅r dr∫r1dz=2π∫01r2(1−r) dr=2π[r33−r44]01=π6\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r \cdot r\, dr \int_r^1 dz = 2\pi \int_0^1 r^2(1-r)\, dr = 2\pi\left[\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac{\pi}{6}

例15：设 f(x)f(x) 连续且 f(x)>0f(x) > 0，F(t)=∭Ωtf(x2+y2+z2)dV∬Dtf(x2+y2)dσF(t) = \frac{\iiint_{\Omega_t} f(x^2+y^2+z^2) dV}{\iint_{D_t} f(x^2+y^2) d\sigma}，其中 Ωt:x2+y2+z2≤t2\Omega_t: x^2+y^2+z^2 \leq t^2，Dt:x2+y2≤t2D_t: x^2+y^2 \leq t^2。求 F(t)F(t)。

解：

分子（球坐标）：

∭Ωtf(r2)r2sin⁡φ dr dφ dθ=4π∫0tr2f(r2) dr\iiint_{\Omega_t} f(r^2) r^2\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta = 4\pi \int_0^t r^2 f(r^2)\, dr

分母（极坐标）：

∬Dtf(r2)r dr dθ=2π∫0trf(r2) dr\iint_{D_t} f(r^2) r\, dr\, d\theta = 2\pi \int_0^t r f(r^2)\, dr

F(t)=4π∫0tr2f(r2) dr2π∫0trf(r2) dr=2∫0tr2f(r2) dr∫0trf(r2) drF(t) = \frac{4\pi \int_0^t r^2 f(r^2)\, dr}{2\pi \int_0^t r f(r^2)\, dr} = \frac{2\int_0^t r^2 f(r^2)\, dr}{\int_0^t r f(r^2)\, dr}