分块矩阵

1. 分块矩阵的概念

1.1 定义

用若干条横线和竖线将矩阵分成若干小块，每个小块称为子矩阵（子块），以子矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵。

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$

其中 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 为子矩阵。

1.2 分块的原则

分块时须保证运算有意义：

• 加法：对应子块必须同型
• 乘法：左矩阵的列分法必须与右矩阵的行分法一致

2. 分块矩阵的运算

2.1 分块加法

设 $A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$（同型分块），则：

$A + B = \begin{pmatrix} A_{11} + B_{11} & A_{12} + B_{12} \\ A_{21} + B_{21} & A_{22} + B_{22} \end{pmatrix}$

2.2 分块数乘

$kA = \begin{pmatrix} kA_{11} & kA_{12} \\ kA_{21} & kA_{22} \end{pmatrix}$

2.3 分块乘法

设 $A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，且分块方式使乘法有意义，则：

$AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}$

关键：子矩阵相乘时顺序不能交换，即 $A_{ij}B_{jk}$ 不能写成 $B_{jk}A_{ij}$。

2.4 分块转置

$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T \\ A_{12}^T & A_{22}^T \end{pmatrix}$

注意：分块转置不仅将子块的位置转置，每个子块本身也要转置。

3. 分块对角矩阵

3.1 定义

形如 $\begin{pmatrix} A_1 & & \\ & A_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s \end{pmatrix}$ 的分块矩阵称为分块对角矩阵，记作 $\text{diag}(A_1, A_2, \ldots, A_s)$。

3.2 性质

1. 行列式：$|A| = |A_1| \cdot |A_2| \cdots |A_s|$

2. 乘法：$\text{diag}(A_1, \ldots, A_s) \cdot \text{diag}(B_1, \ldots, B_s) = \text{diag}(A_1B_1, \ldots, A_sB_s)$

3. 幂：$[\text{diag}(A_1, \ldots, A_s)]^k = \text{diag}(A_1^k, \ldots, A_s^k)$

4. 逆：若每个 $A_i$ 可逆，则：

$\text{diag}(A_1, \ldots, A_s)^{-1} = \text{diag}(A_1^{-1}, \ldots, A_s^{-1})$

5. 秩：$r(A) = r(A_1) + r(A_2) + \cdots + r(A_s)$

4. 分块矩阵的求逆

4.1 分块对角矩阵的逆

$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$

4.2 分块上三角矩阵的逆

$\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$

验证：

$\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & -CB^{-1} + CB^{-1} \\ O & I \end{pmatrix} = I$

4.3 分块下三角矩阵的逆

$\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}$

4.4 一般分块矩阵的逆

对于 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，当 $A$ 可逆时，利用分块消元法：

$\begin{pmatrix} I & O \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ O & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}$

令 $S = D - CA^{-1}B$（Schur 补），若 $S$ 可逆，则：

$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}$

5. 分块矩阵的行列式

5.1 分块对角矩阵

$\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|$

5.2 分块三角矩阵

$\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|$

$\begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|$

5.3 一般分块矩阵

当 $A$ 可逆时：

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|$

当 $D$ 可逆时：

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |D| \cdot |A - BD^{-1}C|$

5.4 特殊情形

当 $A$ 与 $C$ 可交换（$AC = CA$）时：

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |AD - CB|$

当 $B$ 与 $C$ 可交换（$BC = CB$）时：

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |DA - CB|$

6. 分块矩阵的应用

6.1 矩阵乘法的简化

对于具有分块结构的矩阵，分块乘法可以大大简化计算。

6.2 线性方程组的分块表示

$Ax = b$ 可写为分块形式：

$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

6.3 典型例题

例：设 $A$ 为 $m$ 阶可逆矩阵，$D$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，证明 $\begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix}$ 可逆并求其逆。

解：

$\begin{vmatrix} A & B \\ O & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D| \neq 0$

故该矩阵可逆。设逆为 $\begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，则：

$\begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_m & O \\ O & I_n \end{pmatrix}$

由 $AX + BZ = I_m$，$AY + BW = O$，$DZ = O$，$DW = I_n$：

$Z = O$，$W = D^{-1}$，$X = A^{-1}$，$Y = -A^{-1}BD^{-1}$

$\begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ O & D^{-1} \end{pmatrix}$