二次型的规范形

1. 规范形的定义

1.1 实规范形

实二次型经可逆线性变换可化为规范形：

$f = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_r^2$

其中 $r$ 为二次型的秩，$p$ 为正惯性指数，$r - p$ 为负惯性指数。

1.2 复规范形

复二次型经可逆线性变换可化为：

$f = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_r^2$

其中 $r$ 为二次型的秩。

2. 惯性定理

2.1 定理内容

惯性定理（Sylvester 惯性定律）：二次型经可逆线性变换化为标准形时，正平方项的个数 $p$（正惯性指数）和负平方项的个数 $q$（负惯性指数）是唯一确定的，与所用的可逆线性变换无关。

2.2 惯性定理的意义

1. 正惯性指数 $p$ 和负惯性指数 $q = r - p$ 是二次型的合同不变量
2. 规范形是唯一的
3. 两个二次型合同 $\iff$ 它们有相同的正惯性指数和负惯性指数

2.3 证明思路

设 $f$ 经两个不同的可逆变换分别化为：

$f = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_r^2$

$f = z_1^2 + \cdots + z_{p'}^2 - z_{p'+1}^2 - \cdots - z_r^2$

假设 $p > p'$，构造矛盾：令 $y_1 = \cdots = y_p = 0$ 且 $z_{p'+1} = \cdots = z_r = 0$，这是一个方程个数少于变量个数的齐次方程组，必有非零解，此时 $f \leq 0$（由第一个表达式）且 $f > 0$（由第二个表达式），矛盾。

3. 合同不变量

3.1 定义

在合同变换下保持不变的量称为合同不变量。

3.2 二次型的合同不变量

1. 秩 $r$：$r(A) = r(C^TAC)$
2. 正惯性指数 $p$
3. 负惯性指数 $q = r - p$
4. 符号差 $s = p - q = 2p - r$

3.3 合同的判定

两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同 $\iff$ 它们有相同的秩和正惯性指数。

等价地：$A \cong B \iff$ 它们的规范形相同。

3.4 与相似的对比

4. 规范形的求法

4.1 从标准形到规范形

将标准形 $f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$ 化为规范形：

1. 正系数项排在前面，负系数项排在后面
2. 对正系数项 $d_iy_i^2$，令 $z_i = \sqrt{|d_i|}y_i$，得 $z_i^2$
3. 对负系数项 $d_jy_j^2$，令 $z_j = \sqrt{|d_j|}y_j$，得 $-z_j^2$

4.2 示例

将 $f = 4y_1^2 - y_2^2 + 9y_3^2$ 化为规范形。

令 $z_1 = 2y_1$，$z_2 = 3y_3$，$z_3 = y_2$：

$f = z_1^2 + z_2^2 - z_3^2$

正惯性指数 $p = 2$，负惯性指数 $q = 1$，秩 $r = 3$。

5. 惯性指数的求法

5.1 方法一：特征值法

正惯性指数 = 正特征值的个数

负惯性指数 = 负特征值的个数

5.2 方法二：配方法

将二次型配方为标准形，正平方项的个数为 $p$，负平方项的个数为 $q$。

5.3 方法三：顺序主子式法

利用顺序主子式的符号判断正惯性指数（Sylvester 准则的推广）。

6. 典型例题

例1

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$，求二次型 $\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$ 的规范形。

解：$A$ 的特征值为 $3$ 和 $-1$。

正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 1$。

规范形：$f = y_1^2 - y_2^2$

例2

判断 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ 与 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 是否合同。

解：$A$ 的特征值为 $3, -1$，正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 1$，秩 $r = 2$。

$B$ 的特征值为 $1, -1$，正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 1$，秩 $r = 2$。

$p$ 和 $r$ 都相同，故 $A$ 与 $B$ 合同。

例3

设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2ax_1x_2 + 2x_1x_3 + 2bx_2x_3$ 经正交变换化为 $y_2^2 + 2y_3^2$，求 $a, b$。

解：标准形为 $0 \cdot y_1^2 + 1 \cdot y_2^2 + 2 \cdot y_3^2$，特征值为 $0, 1, 2$。

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & b & 1 \end{pmatrix}$

$\text{tr}(A) = 3 = 0 + 1 + 2 = 3$

$|A| = 0$（特征值含0）：

$|A| = 1(1 - b^2) - a(a - b) + 1(b - a) = 1 - b^2 - a^2 + ab + b - a = 0$

$|A - I| = 0$（特征值含1）：

$\begin{vmatrix} 0 & a & 1 \\ a & 0 & b \\ 1 & b & 0 \end{vmatrix} = -ab + ab = 0$… 需要更仔细计算。

实际上，$|A - I| = 2ab - a^2 - b^2 = -(a - b)^2 = 0$，故 $a = b$。

代入 $|A| = 0$：$1 - a^2 - a^2 + a^2 + a - a = 1 - a^2 = 0$，$a = \pm 1$。

当 $a = b = 1$ 时：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，特征值为 $0, 0, 3$，不符合。

当 $a = b = -1$ 时：$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$，$|A| = 0$，$|A - I| = 0$，$|A - 2I| = 0$，验证特征值为 $0, 1, 2$。

故 $a = b = -1$。