二次型典型例题

1. 化标准形与规范形

例1

用配方法将 $f = x_1^2 - 2x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_2x_3$ 化为标准形和规范形。

解：

$f = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - x_2^2 - 4x_3^2 - 4x_2x_3 - 2x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3$

$= (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - 3x_2^2 - 2x_2x_3 - 3x_3^2$

$= (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - 3(x_2 + \frac{1}{3}x_3)^2 + \frac{1}{3}x_3^2 - 3x_3^2$

$= (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - 3(x_2 + \frac{1}{3}x_3)^2 - \frac{8}{3}x_3^2$

标准形：$f = y_1^2 - 3y_2^2 - \frac{8}{3}y_3^2$

规范形：$f = z_1^2 - z_2^2 - z_3^2$

正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 2$。

例2

用正交变换将 $f = 2x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3 - 8x_2x_3$ 化为标准形。

解：

$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & -4 \\ -2 & -4 & 5-\lambda \end{vmatrix} = (10-\lambda)(1-\lambda)^2$

$\lambda_1 = 10$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$

标准形：$f = 10y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$

2. 正定性判定

例3

判断 $f = x_1^2 + 4x_2^2 + x_3^2 + 2tx_1x_2 + 2x_1x_3 + 6x_2x_3$ 的正定性。

解：

$A = \begin{pmatrix} 1 & t & 1 \\ t & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

$\Delta_1 = 1 > 0$

$\Delta_2 = 4 - t^2 > 0 \Rightarrow |t| < 2$

$\Delta_3 = |A| = 1(4-9) - t(t-3) + 1(3t-4) = -5 - t^2 + 3t + 3t - 4 = -t^2 + 6t - 9 = -(t-3)^2$

$\Delta_3 = -(t-3)^2 \leq 0$，等号在 $t = 3$ 时成立。

但 $t = 3$ 时 $\Delta_2 = 4 - 9 = -5 < 0$，不满足。

故对任何 $t$，$f$ 都不是正定的。

例4

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，证明 $A + B$ 正定。

证明：对任意 $\boldsymbol{x} \neq 0$：

$\boldsymbol{x}^T(A+B)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x} + \boldsymbol{x}^TB\boldsymbol{x}$

$A$ 正定：$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x} > 0$

$B$ 半正定：$\boldsymbol{x}^TB\boldsymbol{x} \geq 0$

故 $\boldsymbol{x}^T(A+B)\boldsymbol{x} > 0$，$A + B$ 正定。

3. 合同判定

例5

判断 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ 与 $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ 是否合同。

解：$A$ 的特征值为 $3, -1$，$p = 1, q = 1$。

$B$ 的特征值为 $1, -3$，$p = 1, q = 1$。

$p$ 和 $q$ 相同，故 $A$ 与 $B$ 合同。

例6

设 $A$ 为三阶实对称矩阵，$r(A) = 2$，$f = \boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$ 的规范形为 $y_1^2 - y_2^2$，求 $A$ 的特征值。

解：规范形为 $y_1^2 - y_2^2$，正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 1$，秩 $r = 2$。

$A$ 的特征值为 $\lambda_1 > 0$，$\lambda_2 < 0$，$\lambda_3 = 0$。

具体值无法确定，但符号为正、负、零。

4. 含参数二次型

例7

设 $f = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2\lambda x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2\mu x_2x_3$，当 $\lambda, \mu$ 满足什么条件时，$f$ 正定？

解：

$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & \mu \\ 1 & \mu & 1 \end{pmatrix}$

$\Delta_1 = 1 > 0$

$\Delta_2 = 1 - \lambda^2 > 0 \Rightarrow |\lambda| < 1$

$\Delta_3 = |A| = 1(1 - \mu^2) - \lambda(\lambda - \mu) + 1(\lambda\mu - 1) = 1 - \mu^2 - \lambda^2 + \lambda\mu + \lambda\mu - 1 = 2\lambda\mu - \lambda^2 - \mu^2 = -(\lambda - \mu)^2$

$\Delta_3 > 0 \Rightarrow -(\lambda - \mu)^2 > 0$，不可能！

故 $f$ 不可能正定（除非 $\lambda = \mu$ 且 $\Delta_3 = 0$，此时半正定）。

实际上，$|A| = -(\lambda - \mu)^2 \leq 0$，$f$ 不可能正定。

例8

设二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = (1 - a)x_1^2 + (1 - a)x_2^2 + 2x_3^2 + 2(1 + a)x_1x_2$ 的秩为 2，求 $a$ 及正惯性指数。

解：

$A = \begin{pmatrix} 1-a & 1+a & 0 \\ 1+a & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$|A| = 2[(1-a)^2 - (1+a)^2] = 2[(1-2a+a^2) - (1+2a+a^2)] = 2 \cdot (-4a) = -8a$

$r(A) = 2 \Rightarrow |A| = 0 \Rightarrow a = 0$

当 $a = 0$ 时：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$r(A) = 2$

特征值：$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)[(1-\lambda)^2 - 1] = (2-\lambda)\lambda(\lambda - 2) = -\lambda(2-\lambda)^2$

$\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 2$（二重）

正惯性指数 $p = 2$。

5. 综合证明题

例9

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明 $A$ 正定 $\iff$ 存在可逆矩阵 $B$ 使得 $A = B^TB$。

证明：

$\Rightarrow$：$A$ 正定，合同于 $I$，存在可逆 $C$ 使得 $C^TAC = I$，$A = (C^{-1})^TC^{-1}$，取 $B = C^{-1}$。

$\Leftarrow$：$A = B^TB$，$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^TB^TB\boldsymbol{x} = \|B\boldsymbol{x}\|^2 \geq 0$。$B$ 可逆，$\boldsymbol{x} \neq 0 \Rightarrow B\boldsymbol{x} \neq 0 \Rightarrow \|B\boldsymbol{x}\|^2 > 0$。$A$ 正定。

例10

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x} = 1$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中的椭球面，证明该椭球面的体积为 $V = \dfrac{\omega_n}{\sqrt{|A|}}$，其中 $\omega_n$ 是单位球的体积。

证明：$A = Q\Lambda Q^T$，令 $\boldsymbol{x} = Q\Lambda^{-1/2}\boldsymbol{y}$，则 $\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y} = 1$。

变换的雅可比行列式为 $|Q\Lambda^{-1/2}| = |\Lambda|^{-1/2} = |A|^{-1/2}$。

$V = \omega_n \cdot |A|^{-1/2} = \dfrac{\omega_n}{\sqrt{|A|}}$。