前置知识: 线性代数

基与维数

13 minIntermediate2026/6/14

极大线性无关组的概念与求法，向量组的秩，向量空间的基与维数，基变换与坐标变换。

1. 极大线性无关组

1.1 定义

设 SS 是向量组 α1,α2,…,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s 的一个部分组，若满足：

  1. SS 线性无关
  2. SS 中添加原向量组的任何一个向量后都线性相关

则称 SS 为向量组 α1,α2,…,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s 的一个极大线性无关组。

1.2 等价定义

极大线性无关组是向量组中满足以下条件的部分组：

  1. 线性无关
  2. 原向量组中每个向量都可由它线性表示

即极大线性无关组与原向量组等价。

1.3 性质

  1. 极大线性无关组不唯一，但所含向量个数唯一
  2. 任意两个极大线性无关组等价
  3. 线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身

1.4 求法

初等行变换法：

  1. 将向量按列排成矩阵 A=(α1,α2,…,αs)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s)
  2. 对 AA 施行初等行变换，化为行阶梯形
  3. 行阶梯形中主元所在的列对应的原向量构成极大线性无关组

示例：求 α1=(1,2,3)T\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 2, 3)^T，α2=(2,4,6)T\boldsymbol{\alpha}_2 = (2, 4, 6)^T，α3=(1,1,1)T\boldsymbol{\alpha}_3 = (1, 1, 1)^T，α4=(0,1,2)T\boldsymbol{\alpha}_4 = (0, 1, 2)^T 的极大线性无关组。

A=(121024113612)→r2−2r1,r3−3r1(121000−1100−22)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}

→r3−2r2(121000−110000)\xrightarrow{r_3-2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

主元在第1、3列，故 α1,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3 是一个极大线性无关组。

2. 向量组的秩

2.1 定义

向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。

2.2 矩阵的秩与向量组的秩

矩阵 AA 的秩 = AA 的行向量组的秩 = AA 的列向量组的秩

2.3 性质

  1. r(α1,…,αs)≤min⁡(s,n)r(\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s) \leq \min(s, n)（nn 为向量维数）
  2. r(α1,…,αs)=s  ⟺  α1,…,αsr(\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s) = s \iff \boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s 线性无关
  3. 若向量组 (I) 可由 (II) 线性表示，则 r(I)≤r(II)r(\text{I}) \leq r(\text{II})
  4. 等价的向量组秩相同

2.4 秩与线性表示

设 β\boldsymbol{\beta} 可由 α1,…,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s 线性表示，则：

r(α1,…,αs,β)=r(α1,…,αs)r(\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\beta}) = r(\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s)

反之亦然。

3. 向量空间的基与维数

3.1 向量空间的定义

设 VV 是 Rn\mathbb{R}^n 的非空子集，若满足：

  1. 对加法封闭：α,β∈V⇒α+β∈V\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V \Rightarrow \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} \in V
  2. 对数乘封闭：α∈V,k∈R⇒kα∈V\boldsymbol{\alpha} \in V, k \in \mathbb{R} \Rightarrow k\boldsymbol{\alpha} \in V

则称 VV 为向量空间（Rn\mathbb{R}^n 的子空间）。

3.2 基的定义

向量空间 VV 中的向量组 e1,e2,…,er\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \ldots, \boldsymbol{e}_r 称为 VV 的一组基，若：

  1. e1,e2,…,er\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \ldots, \boldsymbol{e}_r 线性无关
  2. VV 中每个向量都可由 e1,e2,…,er\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \ldots, \boldsymbol{e}_r 线性表示

3.3 维数

向量空间 VV 的维数 dim⁡(V)\dim(V) 等于其基所含向量的个数。

3.4 常见向量空间

向量空间基维数
Rn\mathbb{R}^ne1,…,en\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_nnn
N(A)N(A)（零空间）基础解系n−r(A)n - r(A)
Col(A)\text{Col}(A)（列空间）AA 的列向量组的极大无关组r(A)r(A)
{0}\{0\}无（空集）00

3.5 生成子空间

由向量 α1,…,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s 的所有线性组合构成的集合称为由它们生成的子空间：

span(α1,…,αs)={k1α1+⋯+ksαs∣ki∈R}\text{span}(\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s) = \{k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s \mid k_i \in \mathbb{R}\}

dim⁡(span(α1,…,αs))=r(α1,…,αs)\dim(\text{span}(\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s)) = r(\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s)

4. 基变换与坐标变换

4.1 向量的坐标

设 e1,…,er\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r 是向量空间 VV 的一组基，α∈V\boldsymbol{\alpha} \in V，则：

α=x1e1+x2e2+⋯+xrer\boldsymbol{\alpha} = x_1\boldsymbol{e}_1 + x_2\boldsymbol{e}_2 + \cdots + x_r\boldsymbol{e}_r

(x1,x2,…,xr)T(x_1, x_2, \ldots, x_r)^T 称为 α\boldsymbol{\alpha} 在基 e1,…,er\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r 下的坐标。

4.2 过渡矩阵

设 e1,…,en\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n 和 f1,…,fn\boldsymbol{f}_1, \ldots, \boldsymbol{f}_n 是向量空间 VV 的两组基，且：

(f1f2⋯fn)=(e1e2⋯en)P\begin{pmatrix} \boldsymbol{f}_1 & \boldsymbol{f}_2 & \cdots & \boldsymbol{f}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \cdots & \boldsymbol{e}_n \end{pmatrix} P

则 PP 称为由基 e1,…,en\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n 到基 f1,…,fn\boldsymbol{f}_1, \ldots, \boldsymbol{f}_n 的过渡矩阵。

过渡矩阵 PP 一定是可逆的。

4.3 坐标变换公式

设 α\boldsymbol{\alpha} 在旧基下的坐标为 xx，在新基下的坐标为 yy，则：

x=Py或y=P−1xx = Py \quad \text{或} \quad y = P^{-1}x

4.4 示例

设 e1=(1,0)T\boldsymbol{e}_1 = (1, 0)^T，e2=(0,1)T\boldsymbol{e}_2 = (0, 1)^T，f1=(1,1)T\boldsymbol{f}_1 = (1, 1)^T，f2=(1,−1)T\boldsymbol{f}_2 = (1, -1)^T。

过渡矩阵：f1=e1+e2\boldsymbol{f}_1 = \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2，f2=e1−e2\boldsymbol{f}_2 = \boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2

P=(111−1)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

α=(3,1)T\boldsymbol{\alpha} = (3, 1)^T 在旧基下坐标为 (3,1)T(3, 1)^T，在新基下坐标为：

y=P−1x=1−2(−1−1−11)(31)=(21)y = P^{-1}x = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

验证：2f1+1⋅f2=2(1,1)T+(1,−1)T=(3,1)T2\boldsymbol{f}_1 + 1 \cdot \boldsymbol{f}_2 = 2(1,1)^T + (1,-1)^T = (3, 1)^T