二次型的标准形

1. 二次型的定义

1.1 定义

含 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的二次齐次多项式：

$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \quad (a_{ij} = a_{ji})$

称为 $n$ 元二次型。

1.2 矩阵表示

令 $A = (a_{ij})_{n \times n}$（$A$ 为实对称矩阵），$\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，则：

$f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}$

$A$ 称为二次型 $f$ 的矩阵，$A$ 的秩称为二次型的秩。

1.3 示例

将 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 3x_2^2 + 2x_2x_3 + 7x_3^2$ 写成矩阵形式。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 7 \end{pmatrix}$

$f = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, x_3)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

注意：$a_{ij}$ 是 $x_ix_j$ 系数的一半（$i \neq j$ 时）。

2. 合同变换

2.1 合同的定义

设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $C$，使得：

$B = C^TAC$

则称 $A$ 与 $B$ 合同。

2.2 合同的性质

1. 自反性：$A$ 与 $A$ 合同
2. 对称性：$A$ 与 $B$ 合同 $\Rightarrow$ $B$ 与 $A$ 合同
3. 传递性：$A$ 与 $B$ 合同，$B$ 与 $C$ 合同 $\Rightarrow$ $A$ 与 $C$ 合同

2.3 合同与相似的关系

• 相似 $\Rightarrow$ 合同（$P^{-1} = P^T$ 时，即正交相似）
• 合同 $\not\Rightarrow$ 相似
• 正交相似 = 相似 + 合同

2.4 惯性定理

两个实对称矩阵合同 $\iff$ 它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

3. 配方法化标准形

3.1 标准形

二次型的标准形是只含平方项的形式：

$f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$

3.2 配方法步骤

1. 若含 $x_i^2$ 项，将含 $x_i$ 的所有项集中，配方
2. 若不含 $x_i^2$ 项但含 $x_ix_j$ 项，先做变量替换产生平方项
3. 重复直到所有交叉项消除

3.3 示例

将 $f = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + x_3^2$ 化为标准形。

配方：

$f = (x_1 + x_2 + x_3)^2 + x_2^2 + 2x_2x_3$

$= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2 + x_3)^2 - x_3^2$

令 $\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 + x_3 \\ y_2 = x_2 + x_3 \\ y_3 = x_3 \end{cases}$

标准形：$f = y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$

3.4 无平方项的情形

将 $f = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 6x_2x_3$ 化为标准形。

先做替换：$x_1 = y_1 + y_2$，$x_2 = y_1 - y_2$，$x_3 = y_3$

$f = 2(y_1 + y_2)(y_1 - y_2) + 2(y_1 + y_2)y_3 - 6(y_1 - y_2)y_3$

$= 2y_1^2 - 2y_2^2 - 4y_1y_3 + 8y_2y_3$

$= 2(y_1 - y_3)^2 - 2y_3^2 - 2y_2^2 + 8y_2y_3$

$= 2(y_1 - y_3)^2 - 2(y_2 - 2y_3)^2 + 6y_3^2$

4. 正交变换法化标准形

4.1 方法原理

对实对称矩阵 $A$，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ = \Lambda$。

令 $\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}$（正交变换），则：

$f = \boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x} = (Q\boldsymbol{y})^TA(Q\boldsymbol{y}) = \boldsymbol{y}^TQ^TAQ\boldsymbol{y} = \boldsymbol{y}^T\Lambda\boldsymbol{y} = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2$

4.2 步骤

1. 写出二次型的矩阵 $A$
2. 求 $A$ 的特征值和特征向量
3. 将特征向量正交化、单位化，构造正交矩阵 $Q$
4. 令 $\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}$，标准形为 $\lambda_1y_1^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2$

4.3 示例

将 $f = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ 用正交变换化为标准形。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

特征值：$\lambda_1 = 4$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$

正交对角化后：

$f = 4y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$

4.4 正交变换的特点

• 正交变换保持向量的长度和角度不变
• 正交变换是刚体运动（旋转或反射）
• 标准形中的系数就是特征值

5. 两种方法的比较