前置知识: 线性代数

非齐次线性方程组

13 minIntermediate2026/6/14

非齐次线性方程组的解的结构，特解与通解的关系，导出组的概念，非齐次方程组通解的求法。

1. 非齐次线性方程组的基本概念

1.1 定义

非齐次线性方程组 Ax=bAx = b（b≠0b \neq 0）对应的齐次方程组 Ax=0Ax = 0 称为导出组。

1.2 解的性质

  1. 若 η1,η2\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2 是 Ax=bAx = b 的解，则 η1−η2\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2 是导出组 Ax=0Ax = 0 的解
  2. 若 η\boldsymbol{\eta} 是 Ax=bAx = b 的解，ξ\boldsymbol{\xi} 是 Ax=0Ax = 0 的解，则 η+ξ\boldsymbol{\eta} + \boldsymbol{\xi} 是 Ax=bAx = b 的解
  3. Ax=bAx = b 的解集不构成向量空间（除非 b=0b = 0）

性质1的证明：A(η1−η2)=Aη1−Aη2=b−b=0A(\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2) = A\boldsymbol{\eta}_1 - A\boldsymbol{\eta}_2 = b - b = 0

性质2的证明：A(η+ξ)=Aη+Aξ=b+0=bA(\boldsymbol{\eta} + \boldsymbol{\xi}) = A\boldsymbol{\eta} + A\boldsymbol{\xi} = b + 0 = b

2. 解的结构定理

2.1 定理内容

设 Ax=bAx = b 有解，η∗\boldsymbol{\eta}^* 是 Ax=bAx = b 的一个特解，ξ1,ξ2,…,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \ldots, \boldsymbol{\xi}_{n-r} 是导出组 Ax=0Ax = 0 的基础解系，则 Ax=bAx = b 的通解为：

x=η∗+k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−rx = \boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}

其中 k1,k2,…,kn−rk_1, k_2, \ldots, k_{n-r} 为任意常数。

2.2 几何意义

非齐次方程组的解集是导出组解空间的一个平移（仿射子空间）。

  • 齐次方程组的解集：过原点的子空间
  • 非齐次方程组的解集：该子空间平移到特解位置

2.3 解的个数

| 情形 | 解的个数 | | -------------- | ----------- | ------------------------------ | | r(A)≠r(A∣b)r(A) \neq r(A | b) | 无解 | | r(A)=r(A∣b)=nr(A) = r(A | b) = n | 唯一解 | | r(A)=r(A∣b)=r<nr(A) = r(A | b) = r < n | 无穷多解（n−rn - r 个自由参数） |

3. 非齐次方程组通解的求法

3.1 步骤

  1. 对增广矩阵 (A∣b)(A|b) 施行初等行变换，化为行最简形
  2. 判断解的情况（比较 r(A)r(A) 和 r(A∣b)r(A|b)）
  3. 若有解，写出同解方程组
  4. 确定主变量和自由变量
  5. 求出一个特解 η∗\boldsymbol{\eta}^*（令自由变量全为零）
  6. 求导出组的基础解系 ξ1,…,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1, \ldots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}
  7. 通解 x=η∗+k1ξ1+⋯+kn−rξn−rx = \boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}_1 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}

3.2 示例

求方程组 {x1+x2−x3+2x4=32x1+x2−3x3+4x4=5x1−x3+2x4=2\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 + 2x_4 = 3 \\ 2x_1 + x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 5 \\ x_1 - x_3 + 2x_4 = 2 \end{cases} 的通解。

步骤1：化增广矩阵为行最简形

(A∣b)=(11−12321−34510−122)(A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}

→r2−2r1,r3−r1(11−1230−1−10−10−100−1)\xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

→r3−r2(11−1230−1−10−100100)\xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

→−r2(11−1230110100100)\xrightarrow{-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

→r2−r3,r1+r3(110230100100100)\xrightarrow{r_2 - r_3, r_1 + r_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

→r1−r2(100220100100100)\xrightarrow{r_1 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

步骤2：r(A)=r(A∣b)=3<4r(A) = r(A|b) = 3 < 4，有无穷多解。

步骤3：同解方程组 {x1+2x4=2x2=1x3=0\begin{cases} x_1 + 2x_4 = 2 \\ x_2 = 1 \\ x_3 = 0 \end{cases}

步骤4：主变量 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3，自由变量 x4x_4。

步骤5：令 x4=0x_4 = 0，得特解 η∗=(2,1,0,0)T\boldsymbol{\eta}^* = (2, 1, 0, 0)^T。

步骤6：导出组 {x1+2x4=0x2=0x3=0\begin{cases} x_1 + 2x_4 = 0 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = 0 \end{cases}，令 x4=1x_4 = 1，得 ξ=(−2,0,0,1)T\boldsymbol{\xi} = (-2, 0, 0, 1)^T。

步骤7：通解 x=(2,1,0,0)T+k(−2,0,0,1)Tx = (2, 1, 0, 0)^T + k(-2, 0, 0, 1)^T（kk 为任意常数）。

4. 特解的不同取法

4.1 自由变量取零值

最常用的方法：令所有自由变量为零，求出主变量的值，得到特解。

4.2 自由变量取其他值

也可以令自由变量取其他值，得到的特解不同，但通解等价。

示例：在上例中，令 x4=1x_4 = 1，得特解 η′=(0,1,0,1)T\boldsymbol{\eta}' = (0, 1, 0, 1)^T。

通解 x=(0,1,0,1)T+k(−2,0,0,1)Tx = (0, 1, 0, 1)^T + k(-2, 0, 0, 1)^T。

取 k=−1k = -1：x=(2,1,0,0)Tx = (2, 1, 0, 0)^T，与前面的特解一致。

5. 非齐次方程组与齐次方程组的关系

5.1 解集的关系

设 SS 为 Ax=bAx = b 的解集，S0S_0 为 Ax=0Ax = 0 的解集，η∗\boldsymbol{\eta}^* 为 Ax=bAx = b 的特解，则：

S=η∗+S0={η∗+ξ∣ξ∈S0}S = \boldsymbol{\eta}^* + S_0 = \{\boldsymbol{\eta}^* + \boldsymbol{\xi} \mid \boldsymbol{\xi} \in S_0\}

5.2 解的差

Ax=bAx = b 的任意两个解之差是 Ax=0Ax = 0 的解。

5.3 解的和

Ax=b1Ax = b_1 的解与 Ax=b2Ax = b_2 的解之和是 A(x1+x2)=b1+b2A(x_1 + x_2) = b_1 + b_2 的解。

6. 典型例题

例1

设 AA 为 4×54 \times 5 矩阵，r(A)=3r(A) = 3，η1,η2,η3\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}_3 是 Ax=bAx = b 的三个线性无关的解，求 Ax=bAx = b 的通解。

解：r(A)=3r(A) = 3，n=5n = 5，基础解系含 5−3=25 - 3 = 2 个向量。

η2−η1\boldsymbol{\eta}_2 - \boldsymbol{\eta}_1 和 η3−η1\boldsymbol{\eta}_3 - \boldsymbol{\eta}_1 是 Ax=0Ax = 0 的解。

若 k1(η2−η1)+k2(η3−η1)=0k_1(\boldsymbol{\eta}_2 - \boldsymbol{\eta}_1) + k_2(\boldsymbol{\eta}_3 - \boldsymbol{\eta}_1) = 0，则 −k1η1−k2η1+k1η2+k2η3=0-k_1\boldsymbol{\eta}_1 - k_2\boldsymbol{\eta}_1 + k_1\boldsymbol{\eta}_2 + k_2\boldsymbol{\eta}_3 = 0。

由 η1,η2,η3\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}_3 线性无关，得 k1=k2=0k_1 = k_2 = 0。

故 η2−η1\boldsymbol{\eta}_2 - \boldsymbol{\eta}_1 和 η3−η1\boldsymbol{\eta}_3 - \boldsymbol{\eta}_1 线性无关，构成基础解系。

通解：x=η1+k1(η2−η1)+k2(η3−η1)x = \boldsymbol{\eta}_1 + k_1(\boldsymbol{\eta}_2 - \boldsymbol{\eta}_1) + k_2(\boldsymbol{\eta}_3 - \boldsymbol{\eta}_1)

例2

设 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 是 Ax=bAx = b 的解，β1,β2\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2 是 Ax=0Ax = 0 的基础解系，k1,k2k_1, k_2 为任意常数，则 Ax=bAx = b 的通解是？

解：Ax=bAx = b 的通解 = 特解 + 导出组的通解。

特解可取 α1\boldsymbol{\alpha}_1（或 α2,α3\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3），导出组通解为 k1β1+k2β2k_1\boldsymbol{\beta}_1 + k_2\boldsymbol{\beta}_2。

通解：x=α1+k1β1+k2β2x = \boldsymbol{\alpha}_1 + k_1\boldsymbol{\beta}_1 + k_2\boldsymbol{\beta}_2。

注意：α1+α2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 不是 Ax=bAx = b 的解（A(α1+α2)=2b≠bA(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) = 2b \neq b），α1+α22\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2}{2} 才是特解。