矩阵的秩

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矩阵秩的定义（子式定义与行阶梯形定义），秩的求法，秩的重要性质，秩与线性方程组的关系。

1. 矩阵秩的定义

1.1 子式定义

在 m×nm \times n 矩阵 AA 中，任取 kk 行 kk 列（k≤min⁡(m,n)k \leq \min(m,n)），位于这些行列交叉处的 k2k^2 个元素按原顺序组成的 kk 阶行列式，称为 AA 的一个 kk 阶子式。

矩阵 AA 的秩 r(A)r(A) 定义为 AA 中非零子式的最高阶数。

即：r(A)=rr(A) = r 意味着：

  • AA 中存在一个 rr 阶非零子式
  • AA 中所有 r+1r+1 阶子式（如果存在）都为零

1.2 行阶梯形定义

矩阵 AA 的秩等于其行阶梯形中非零行的行数。

1.3 行秩与列秩

  • 行秩：矩阵行向量组的极大线性无关组所含向量的个数
  • 列秩：矩阵列向量组的极大线性无关组所含向量的个数

定理：行秩 = 列秩 = 矩阵的秩。

2. 矩阵秩的求法

2.1 初等变换法

将矩阵 AA 用初等行变换化为行阶梯形，非零行的行数即为 r(A)r(A)。

示例：求 A=(123424681111)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} 的秩。

A→r2−2r1,r3−r1(123400000−1−2−3)→r2↔r3(12340−1−2−30000)A \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

非零行有 2 行，故 r(A)=2r(A) = 2。

2.2 子式法

从高阶到低阶寻找非零子式。若所有 r+1r+1 阶子式为零，但存在 rr 阶非零子式，则秩为 rr。

此方法适用于低阶矩阵或特殊结构的矩阵。

3. 矩阵秩的重要性质

3.1 基本性质

  1. 0≤r(A)≤min⁡(m,n)0 \leq r(A) \leq \min(m, n)
  2. r(A)=r(AT)r(A) = r(A^T)
  3. r(A)=r(ATA)=r(AAT)r(A) = r(A^TA) = r(AA^T)
  4. r(kA)=r(A)r(kA) = r(A)（k≠0k \neq 0）
  5. AA 可逆   ⟺  r(A)=n\iff r(A) = n（AA 为 nn 阶方阵）

3.2 秩与初等变换

初等变换不改变矩阵的秩。

3.3 秩与矩阵乘法

  1. r(AB)≤min⁡(r(A),r(B))r(AB) \leq \min(r(A), r(B))
  2. 若 AA 可逆，则 r(AB)=r(B)r(AB) = r(B)，r(BA)=r(B)r(BA) = r(B)
  3. Sylvester 不等式：r(A)+r(B)−n≤r(AB)r(A) + r(B) - n \leq r(AB)（AA 为 m×nm \times n，BB 为 n×pn \times p）

3.4 秩与矩阵和

  1. r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A + B) \leq r(A) + r(B)
  2. r(A+B)≥∣r(A)−r(B)∣r(A + B) \geq |r(A) - r(B)|

3.5 秩与零空间

设 AA 为 m×nm \times n 矩阵，则：

r(A)+dim(N(A))=nr(A) + \text{dim}(N(A)) = n

其中 N(A)={x∣Ax=0}N(A) = \{x \mid Ax = 0\} 为 AA 的零空间（解空间）。

3.6 伴随矩阵的秩

设 AA 为 nn 阶方阵（n≥2n \geq 2），则：

r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases}

证明：

  • 当 r(A)=nr(A) = n 时，∣A∣≠0|A| \neq 0，∣A∗∣=∣A∣n−1≠0|A^*| = |A|^{n-1} \neq 0，故 r(A∗)=nr(A^*) = n
  • 当 r(A)=n−1r(A) = n-1 时，∣A∣=0|A| = 0 且存在 n−1n-1 阶非零子式，故 A∗≠OA^* \neq O；又 AA∗=∣A∣I=OAA^* = |A|I = O，故 r(A∗)≤n−r(A)=1r(A^*) \leq n - r(A) = 1，所以 r(A∗)=1r(A^*) = 1
  • 当 r(A)<n−1r(A) < n-1 时，所有 n−1n-1 阶子式为零，故 A∗=OA^* = O，r(A∗)=0r(A^*) = 0

4. 秩的应用

4.1 判断线性方程组解的情况

对于 Ax=bAx = b（AA 为 m×nm \times n 矩阵）：

| 条件 | 解的情况 | | ----------- | -------- | -------- | | r(A)=r(A∣b)=nr(A) = r(A | b) = n | 唯一解 | | r(A)=r(A∣b)<nr(A) = r(A | b) < n | 无穷多解 | | r(A)<r(A∣b)r(A) < r(A | b) | 无解 |

4.2 判断矩阵的可逆性

AA 可逆   ⟺  r(A)=n\iff r(A) = n

4.3 判断向量组的线性相关性

设 α1,α2,…,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s 为 nn 维向量，构造矩阵 A=(α1,α2,…,αs)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s)：

  • r(A)=sr(A) = s：线性无关
  • r(A)<sr(A) < s：线性相关

4.4 矩阵方程 AB=OAB = O 的秩关系

若 AB=OAB = O，则 r(A)+r(B)≤nr(A) + r(B) \leq n（AA 为 m×nm \times n，BB 为 n×pn \times p）。

推论：若 AA 为 m×nm \times n 矩阵且 r(A)=nr(A) = n，AB=OAB = O，则 B=OB = O。

5. 典型例题

例1

设 AA 为 4×34 \times 3 矩阵，r(A)=2r(A) = 2，B=(100020003)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}，求 r(AB)r(AB)。

解：BB 为可逆矩阵，故 r(AB)=r(A)=2r(AB) = r(A) = 2。

例2

设 AA 为 nn 阶方阵，A2=AA^2 = A，证明 r(A)+r(I−A)=nr(A) + r(I - A) = n。

证明：由 A2=AA^2 = A 得 A(I−A)=OA(I - A) = O，故 r(A)+r(I−A)≤nr(A) + r(I - A) \leq n。

又 A+(I−A)=IA + (I - A) = I，故 n=r(I)≤r(A)+r(I−A)n = r(I) \leq r(A) + r(I - A)。

因此 r(A)+r(I−A)=nr(A) + r(I - A) = n。

例3

设 AA 为 m×nm \times n 矩阵，BB 为 n×mn \times m 矩阵，AB=OAB = O，证明 r(A)+r(B)≤nr(A) + r(B) \leq n。

证明：AB=OAB = O 意味着 BB 的列向量都是 Ax=0Ax = 0 的解，即 BB 的列空间包含在 AA 的零空间中。

dim(col(B))≤dim(N(A))=n−r(A)\text{dim}(\text{col}(B)) \leq \text{dim}(N(A)) = n - r(A)

即 r(B)≤n−r(A)r(B) \leq n - r(A)，故 r(A)+r(B)≤nr(A) + r(B) \leq n。