前置知识: 线性代数

施密特正交化

13 minIntermediate2026/6/14

Gram-Schmidt正交化方法与步骤，正交矩阵的定义与性质，正交对角化基础。

1. 施密特正交化方法

1.1 问题提出

给定一组线性无关的向量 α1,α2,…,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_s，如何构造一组与之等价的正交向量组 β1,β2,…,βs\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \ldots, \boldsymbol{\beta}_s？

1.2 正交化公式

Gram-Schmidt 正交化步骤如下：

β1=α1\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1

β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1

β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_3 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2)}{(\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2)}\boldsymbol{\beta}_2

一般地：

βk=αk−∑j=1k−1(αk,βj)(βj,βj)βj,k=2,3,…,s\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{(\boldsymbol{\alpha}_k, \boldsymbol{\beta}_j)}{(\boldsymbol{\beta}_j, \boldsymbol{\beta}_j)}\boldsymbol{\beta}_j, \quad k = 2, 3, \ldots, s

1.3 几何理解

每一步中，βk\boldsymbol{\beta}_k 是 αk\boldsymbol{\alpha}_k 减去其在已正交化向量 β1,…,βk−1\boldsymbol{\beta}_1, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{k-1} 上的投影：

βk=αk−projspan(β1,…,βk−1)αk\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\alpha}_k - \text{proj}_{\text{span}(\boldsymbol{\beta}_1, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{k-1})} \boldsymbol{\alpha}_k

1.4 单位化

正交化后，将每个向量单位化：

ek=βk∥βk∥\boldsymbol{e}_k = \frac{\boldsymbol{\beta}_k}{\|\boldsymbol{\beta}_k\|}

得到标准正交向量组 e1,e2,…,es\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \ldots, \boldsymbol{e}_s。

1.5 完整示例

设 α1=(1,1,0)T\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, 0)^T，α2=(1,0,1)T\boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 0, 1)^T，α3=(0,1,1)T\boldsymbol{\alpha}_3 = (0, 1, 1)^T，用施密特正交化求标准正交组。

步骤1：β1=α1=(1,1,0)T\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, 0)^T

步骤2：

β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1=(1,0,1)T−12(1,1,0)T=(12,−12,1)T\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1 = (1, 0, 1)^T - \frac{1}{2}(1, 1, 0)^T = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)^T

步骤3：

(α3,β1)=1,(α3,β2)=−12+1=12(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1) = 1, \quad (\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}

(β2,β2)=14+14+1=32(\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}

β3=(0,1,1)T−12(1,1,0)T−1/23/2(12,−12,1)T\boldsymbol{\beta}_3 = (0, 1, 1)^T - \frac{1}{2}(1, 1, 0)^T - \frac{1/2}{3/2}\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)^T

=(0,1,1)T−(12,12,0)T−(16,−16,13)T=(−23,23,23)T= (0, 1, 1)^T - \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)^T - \left(\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right)^T = \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)^T

步骤4：单位化

∥β1∥=2,∥β2∥=3/2,∥β3∥=233\|\boldsymbol{\beta}_1\| = \sqrt{2}, \quad \|\boldsymbol{\beta}_2\| = \sqrt{3/2}, \quad \|\boldsymbol{\beta}_3\| = \frac{2\sqrt{3}}{3}

e1=12(1,1,0)T,e2=16(1,−1,2)T,e3=13(−1,1,1)T\boldsymbol{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0)^T, \quad \boldsymbol{e}_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)^T, \quad \boldsymbol{e}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)^T

2. 正交矩阵

2.1 定义

nn 阶实方阵 AA 称为正交矩阵，若：

ATA=I或A−1=ATA^TA = I \quad \text{或} \quad A^{-1} = A^T

2.2 等价条件

以下条件等价：

  1. AA 是正交矩阵
  2. ATA=IA^TA = I
  3. AAT=IAA^T = I
  4. A−1=ATA^{-1} = A^T
  5. AA 的列向量构成 Rn\mathbb{R}^n 的标准正交基
  6. AA 的行向量构成 Rn\mathbb{R}^n 的标准正交基

2.3 正交矩阵的性质

  1. ∣A∣=±1|A| = \pm 1
  2. A−1A^{-1} 也是正交矩阵
  3. ATA^T 也是正交矩阵
  4. 两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵
  5. 正交变换保持内积：(Aα,Aβ)=(α,β)(A\boldsymbol{\alpha}, A\boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})
  6. 正交变换保持长度：∥Aα∥=∥α∥\|A\boldsymbol{\alpha}\| = \|\boldsymbol{\alpha}\|
  7. 正交变换保持距离和角度

2.4 正交变换的几何意义

正交矩阵表示的线性变换是刚体运动（旋转或旋转加反射）：

  • ∣A∣=1|A| = 1：旋转
  • ∣A∣=−1|A| = -1：旋转加反射（镜像）

2.5 常见正交矩阵

二维旋转矩阵：

R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

置换矩阵：每行每列恰好有一个1，其余为0。

3. 正交矩阵的构造

3.1 由标准正交基构造

将 nn 个 nn 维标准正交向量按列排列即得正交矩阵。

3.2 由施密特正交化构造

对任意可逆矩阵 AA 的列向量进行施密特正交化，得到正交矩阵 QQ，且 A=QRA = QR（QR分解）。

4. 施密特正交化的应用

4.1 构造标准正交基

将向量空间的任意一组基正交化，得到标准正交基。

4.2 QR 分解

任意 m×nm \times n 矩阵（m≥nm \geq n，列满秩）可分解为 A=QRA = QR，其中 QQ 是 m×nm \times n 的列正交矩阵，RR 是 n×nn \times n 的上三角矩阵。

4.3 最小二乘法

求超定方程组 Ax≈bAx \approx b 的最小二乘解，等价于求解正规方程 ATAx=ATbA^TAx = A^Tb。利用 QR 分解可以简化计算。

4.4 实对称矩阵的正交对角化

对实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量，自动正交；同一特征值对应的特征向量需要用施密特正交化。

5. 典型例题

例1

验证 A=(13121613−1216130−26)A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} 是正交矩阵。

解：验证 ATA=IA^TA = I：

ATAA^TA 的 (1,1)(1,1) 元素 =13+13+13=1= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1

ATAA^TA 的 (1,2)(1,2) 元素 =16−16+0=0= \frac{1}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} + 0 = 0

（其余类似验证）

例2

设 AA 为正交矩阵，∣A∣=−1|A| = -1，证明 ∣A+I∣=0|A + I| = 0。

证明：

∣A+I∣=∣A+AAT∣=∣A(I+AT)∣=∣A∣⋅∣I+AT∣|A + I| = |A + AA^T| = |A(I + A^T)| = |A| \cdot |I + A^T|

=−∣I+AT∣=−∣(I+A)T∣=−∣I+A∣=−∣A+I∣= -|I + A^T| = -|(I + A)^T| = -|I + A| = -|A + I|

故 2∣A+I∣=02|A + I| = 0，∣A+I∣=0|A + I| = 0。