行列式定义与几何意义

1. 二阶行列式

1.1 定义

设有一个 $2 \times 2$ 的数表：

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$

其二阶行列式定义为：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

1.2 计算方法——对角线法则

二阶行列式的计算遵循对角线法则（沙路法则）：

• 主对角线（左上到右下）：$a_{11}a_{22}$，取正号
• 副对角线（右上到左下）：$a_{12}a_{21}$，取负号

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

示例：

$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 - 1 \times 2 = 12 - 2 = 10$

1.3 二元线性方程组的行列式解法

对于方程组：

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}$

令 $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$，$D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}$，$D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}$

当 $D \neq 0$ 时，$x_1 = \dfrac{D_1}{D}$，$x_2 = \dfrac{D_2}{D}$。

2. 三阶行列式

2.1 定义

设有一个 $3 \times 3$ 的数表：

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

其三阶行列式定义为：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$

2.2 对角线法则

三阶行列式的对角线法则：

• 三条主对角线方向（取正号）：

  • $a_{11}a_{22}a_{33}$
  • $a_{12}a_{23}a_{31}$
  • $a_{13}a_{21}a_{32}$

• 三条副对角线方向（取负号）：

  • $a_{13}a_{22}a_{31}$
  • $a_{12}a_{21}a_{33}$
  • $a_{11}a_{23}a_{32}$

示例：

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{vmatrix} = 1 \times 5 \times 0 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 - 3 \times 5 \times 7 - 2 \times 4 \times 0 - 1 \times 6 \times 8$

$= 0 + 84 + 96 - 105 - 0 - 48 = 27$

3. 排列与逆序数

3.1 排列

由 $1, 2, \ldots, n$ 组成的一个有序数组称为一个 $n$ 阶排列。$n$ 阶排列共有 $n!$ 个。

3.2 逆序与逆序数

在一个排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 中，若 $i < j$ 但 $p_i > p_j$，则称 $(p_i, p_j)$ 构成一个逆序。

排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 $\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)$。

逆序数的计算方法：对排列中每个元素，数其后面比它小的元素个数，然后求和。

示例：计算 $\tau(42513)$

• $4$ 后面比 $4$ 小的有 $2, 1, 3$，共 $3$ 个
• $2$ 后面比 $2$ 小的有 $1$，共 $1$ 个
• $5$ 后面比 $5$ 小的有 $1, 3$，共 $2$ 个
• $1$ 后面没有比 $1$ 小的，共 $0$ 个
• $3$ 后面没有，共 $0$ 个

$\tau(42513) = 3 + 1 + 2 + 0 + 0 = 6$

3.3 奇排列与偶排列

• 逆序数为奇数的排列称为奇排列
• 逆序数为偶数的排列称为偶排列

对换：交换排列中两个元素的位置。一次对换改变排列的奇偶性。

4. n阶行列式

4.1 定义

$n$ 阶行列式定义为：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{p_1 p_2 \cdots p_n} (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{1p_1} a_{2p_2} \cdots a_{np_n}$

其中求和取遍所有 $n$ 阶排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$，共有 $n!$ 项。

4.2 等价定义（列标排列）

行列式也可以按列标排列定义：

$|A| = \sum_{q_1 q_2 \cdots q_n} (-1)^{\tau(q_1 q_2 \cdots q_n)} a_{q_1 1} a_{q_2 2} \cdots a_{q_n n}$

4.3 行列式定义的要点

1. 行列式是 $n!$ 项的代数和
2. 每项是取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积
3. 每项的符号由行标排列和列标排列的逆序数共同决定
4. 当行标按自然序排列时，符号由列标排列的逆序数决定

示例：用定义计算四阶行列式中含 $a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}$ 的项的符号。

行标排列为 $(1,2,3,4)$，列标排列为 $(2,3,4,1)$。

$\tau(2341) = 0 + 0 + 0 + 3 = 3$（奇数），故该项取负号：$-a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}$。

5. 行列式的几何意义

5.1 二阶行列式的几何意义

二阶行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$ 的绝对值等于由列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (a_{11}, a_{21})^T$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2 = (a_{12}, a_{22})^T$ 张成的平行四边形的面积。

$S = |a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}|$

行列式的正负号表示两个列向量的定向：

• 行列式 $> 0$：$\boldsymbol{\alpha}_1$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 为逆时针方向
• 行列式 $< 0$：$\boldsymbol{\alpha}_1$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 为顺时针方向
• 行列式 $= 0$：两向量共线，面积为零

5.2 三阶行列式的几何意义

三阶行列式的绝对值等于由三个列向量张成的平行六面体的体积。

$V = \left| \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \right|$

行列式的正负号反映了三个向量的手性（右手系或左手系）。

5.3 n阶行列式的几何意义

$n$ 阶行列式的绝对值等于由 $n$ 个 $n$ 维列向量张成的平行多面体的体积。

行列式为零意味着这些向量线性相关，张成的”体积”为零，即所有向量落在一个低于 $n$ 维的超平面上。

5.4 行列式与线性变换

设 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是由矩阵 $A$ 表示的线性变换，则：

$\text{Vol}(T(\Omega)) = |\det(A)| \cdot \text{Vol}(\Omega)$

即行列式的绝对值是线性变换的体积伸缩因子。

• $|\det(A)| > 1$：变换放大体积
• $|\det(A)| < 1$：变换缩小体积
• $|\det(A)| = 0$：变换将空间压缩到低维
• $\det(A) < 0$：变换改变了定向（如镜像反射）

6. 特殊行列式

6.1 对角行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}$

6.2 上三角行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$

6.3 副对角线行列式

$\begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & \iddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1} \cdots a_{n1}$

当 $n = 2$ 时，符号为 $(-1)^1 = -1$；当 $n = 3$ 时，符号为 $(-1)^3 = -1$；当 $n = 4$ 时，符号为 $(-1)^6 = 1$。