前置知识: 线性代数

解的存在性判定

8 minIntermediate2026/6/14

线性方程组解的存在性判定定理，有解、无解、无穷多解的条件，系数矩阵与增广矩阵秩的关系。

1. 线性方程组的基本概念

1.1 一般形式

含有 mm 个方程、nn 个未知量的线性方程组：

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}

矩阵形式：Ax=bAx = b

  • 系数矩阵：A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}
  • 增广矩阵：(A∣b)(A|b)
  • 齐次方程组：b=0b = 0，即 Ax=0Ax = 0
  • 非齐次方程组：b≠0b \neq 0，即 Ax=bAx = b

1.2 解的分类

线性方程组的解有三种情况：

  1. 无解：方程组矛盾
  2. 唯一解：恰好一组解
  3. 无穷多解：有无穷多组解

2. 解的存在性判定定理

2.1 Kronecker-Capelli 定理

定理：线性方程组 Ax=bAx = b 有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩：

r(A)=r(A∣b)r(A) = r(A|b)

2.2 证明

必要性：若 Ax=bAx = b 有解 x0x_0，则 b=Ax0b = Ax_0，即 bb 是 AA 的列向量的线性组合，故 bb 加入 AA 的列向量组不增加秩，r(A)=r(A∣b)r(A) = r(A|b)。

充分性：若 r(A)=r(A∣b)=rr(A) = r(A|b) = r，则 bb 可由 AA 的列向量线性表示，即存在 x0x_0 使得 Ax0=bAx_0 = b。

2.3 解的数量判定

当 r(A)=r(A∣b)=rr(A) = r(A|b) = r 时：

条件解的情况
r=nr = n（nn 为未知量个数）唯一解
r<nr < n无穷多解（自由变量有 n−rn - r 个）

综合判定：

{r(A)<r(A∣b)无解r(A)=r(A∣b)=n唯一解r(A)=r(A∣b)<n无穷多解\begin{cases} r(A) < r(A|b) & \text{无解} \\ r(A) = r(A|b) = n & \text{唯一解} \\ r(A) = r(A|b) < n & \text{无穷多解} \end{cases}

3. 齐次线性方程组的判定

3.1 基本结论

齐次方程组 Ax=0Ax = 0 一定有解（至少有零解）。

3.2 非零解的判定

Ax=0 有非零解  ⟺  r(A)<n  ⟺  ∣A∣=0（当 m=n 时）Ax = 0 \text{ 有非零解} \iff r(A) < n \iff |A| = 0 \text{（当 } m = n \text{ 时）}

3.3 特殊情形

  • 当 m<nm < n（方程个数少于未知量个数）时，Ax=0Ax = 0 一定有非零解
  • 当 m=nm = n 时，Ax=0Ax = 0 有非零解   ⟺  ∣A∣=0\iff |A| = 0
  • 当 m>nm > n 时，Ax=0Ax = 0 可能有非零解也可能只有零解

4. 判定方法

4.1 秩判定法

对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形，比较 r(A)r(A) 和 r(A∣b)r(A|b)。

示例：判断方程组 {x1+x2+x3=12x1+3x2+x3=3x1+2x2=2\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + 2x_2 = 2 \end{cases} 的解的情况。

(A∣b)=(111123131202)→r2−2r1,r3−r1(111101−1101−11)(A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

→r3−r2(111101−110000)\xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

r(A)=r(A∣b)=2<3r(A) = r(A|b) = 2 < 3，有无穷多解。

4.2 行列式判定法（方阵情形）

当 m=nm = n 时：

  • ∣A∣≠0|A| \neq 0：唯一解 x=A−1bx = A^{-1}b
  • ∣A∣=0|A| = 0：无解或无穷多解，需进一步用秩判定

4.3 含参数的判定

示例：讨论方程组 {x1+x2+x3=1x1+λx2+x3=λx1+x2+λx3=λ2\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + \lambda x_2 + x_3 = \lambda \\ x_1 + x_2 + \lambda x_3 = \lambda^2 \end{cases} 的解的情况。

∣A∣=∣1111λ111λ∣=∣1110λ−1000λ−1∣=(λ−1)2|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^2

当 λ≠1\lambda \neq 1 时：∣A∣≠0|A| \neq 0，唯一解。

当 λ=1\lambda = 1 时：∣A∣=0|A| = 0，三个方程相同：x1+x2+x3=1x_1 + x_2 + x_3 = 1。

r(A)=r(A∣b)=1<3r(A) = r(A|b) = 1 < 3，有无穷多解。

5. 解的几何意义

5.1 二元方程组

每个方程表示平面上的一条直线：

  • 唯一解：两直线相交于一点
  • 无穷多解：两直线重合
  • 无解：两直线平行

5.2 三元方程组

每个方程表示三维空间中的一个平面：

  • 唯一解：三个平面交于一点
  • 无穷多解：三个平面交于一条直线或重合
  • 无解：三个平面无公共交点

5.3 一般情形

Ax=bAx = b 的解集是 Rn\mathbb{R}^n 中的一个仿射子空间（平移后的向量空间）：

  • 有解时，解集的维数为 n−r(A)n - r(A)
  • 无解时，解集为空集

6. 解的存在性与矩阵的列空间

6.1 列空间观点

Ax=bAx = b 有解   ⟺  b∈Col(A)\iff b \in \text{Col}(A)

即 bb 属于 AA 的列空间（AA 的列向量的线性组合的全体）。

6.2 四个基本子空间

对于 m×nm \times n 矩阵 AA：

子空间定义维数
列空间 Col(A)\text{Col}(A){Ax∣x∈Rn}\{Ax \mid x \in \mathbb{R}^n\}r(A)r(A)
零空间 Nul(A)\text{Nul}(A){x∣Ax=0}\{x \mid Ax = 0\}n−r(A)n - r(A)
行空间 Row(A)\text{Row}(A){ATy∣y∈Rm}\{A^Ty \mid y \in \mathbb{R}^m\}r(A)r(A)
左零空间 Nul(AT)\text{Nul}(A^T){y∣ATy=0}\{y \mid A^Ty = 0\}m−r(A)m - r(A)

6.3 秩-零度定理

dim⁡(Col(A))+dim⁡(Nul(A))=n\dim(\text{Col}(A)) + \dim(\text{Nul}(A)) = n

即 r(A)+dim⁡(Nul(A))=nr(A) + \dim(\text{Nul}(A)) = n。