逆矩阵

9 minIntermediate2026/6/14

逆矩阵的定义、性质与判定，伴随矩阵法求逆，逆矩阵的运算性质，矩阵方程的求解。

1. 逆矩阵的定义

1.1 定义

设 AA 为 nn 阶方阵，若存在 nn 阶方阵 BB，使得：

AB=BA=IAB = BA = I

则称 AA 可逆，BB 为 AA 的逆矩阵，记作 B=A−1B = A^{-1}。

1.2 逆矩阵的唯一性

若 AA 可逆，则其逆矩阵唯一。

证明：设 B1B_1 和 B2B_2 都是 AA 的逆矩阵，则：

B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2B_1 = B_1 I = B_1(AB_2) = (B_1A)B_2 = IB_2 = B_2

1.3 可逆的等价条件

以下条件等价：

  1. AA 可逆
  2. ∣A∣≠0|A| \neq 0（AA 非奇异）
  3. AA 的秩 r(A)=nr(A) = n（AA 满秩）
  4. Ax=0Ax = 0 只有零解
  5. Ax=bAx = b 对任意 bb 有唯一解
  6. AA 的行（列）向量线性无关
  7. AA 可以表示为有限个初等矩阵的乘积
  8. AA 的特征值全不为零

2. 伴随矩阵

2.1 定义

设 A=(aij)n×nA = (a_{ij})_{n \times n}，AijA_{ij} 为 aija_{ij} 的代数余子式，则 AA 的伴随矩阵为：

A∗=(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋱⋮A1nA2n⋯Ann)A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}

注意：伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置，即 (A∗)ij=Aji(A^*)_{ij} = A_{ji}。

2.2 基本关系

AA∗=A∗A=∣A∣IAA^* = A^*A = |A|I

证明：由行列式展开定理和代数余子式性质：

(AA∗)ij=∑k=1naikAjk={∣A∣,i=j0,i≠j=∣A∣δij(AA^*)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{jk} = \begin{cases} |A|, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} = |A|\delta_{ij}

3. 伴随矩阵法求逆

3.1 公式

当 ∣A∣≠0|A| \neq 0 时：

A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*

3.2 求逆步骤

  1. 计算 ∣A∣|A|，验证 ∣A∣≠0|A| \neq 0
  2. 求所有 AijA_{ij}（共 n2n^2 个代数余子式）
  3. 构造伴随矩阵 A∗A^*
  4. A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A^*

3.3 二阶矩阵求逆公式

设 A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}，∣A∣=ad−bc≠0|A| = ad - bc \neq 0，则：

A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

口诀：主对角线交换，副对角线变号，除以行列式。

示例：求 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 的逆矩阵。

∣A∣=4−6=−2|A| = 4 - 6 = -2

A−1=1−2(4−2−31)=(−213/2−1/2)A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}

3.4 三阶矩阵求逆示例

设 A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}

∣A∣=1(0−24)−2(0−20)+3(0−5)=−24+40−15=1|A| = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1

计算各代数余子式后构造 A∗A^*，则 A−1=A∗A^{-1} = A^*。

4. 逆矩阵的运算性质

4.1 基本性质

  1. (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A
  2. (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
  3. (kA)−1=1kA−1(kA)^{-1} = \dfrac{1}{k}A^{-1}（k≠0k \neq 0）
  4. (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}（注意顺序反转）
  5. (Ak)−1=(A−1)k=A−k(A^k)^{-1} = (A^{-1})^k = A^{-k}
  6. ∣A−1∣=∣A∣−1=1∣A∣|A^{-1}| = |A|^{-1} = \dfrac{1}{|A|}

4.2 性质4的推广

(A1A2⋯Ak)−1=Ak−1⋯A2−1A1−1(A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}

4.3 伴随矩阵的性质

  1. ∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*| = |A|^{n-1}
  2. (A∗)−1=A∣A∣(A^*)^{-1} = \dfrac{A}{|A|}（∣A∣≠0|A| \neq 0）
  3. (A∗)T=(AT)∗(A^*)^T = (A^T)^*
  4. (AB)∗=B∗A∗(AB)^* = B^*A^*
  5. (kA)∗=kn−1A∗(kA)^* = k^{n-1}A^*
  6. (A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^* = |A|^{n-2}A（n≥2n \geq 2）

5. 矩阵方程的求解

5.1 基本类型

类型一：AX=BAX = B（AA 可逆）

X=A−1BX = A^{-1}B

类型二：XA=BXA = B（AA 可逆）

X=BA−1X = BA^{-1}

类型三：AXB=CAXB = C（A,BA, B 可逆）

X=A−1CB−1X = A^{-1}CB^{-1}

5.2 求解方法

方法一：逆矩阵法——直接用公式计算

方法二：初等变换法——对增广矩阵做行变换

对于 AX=BAX = B：(A∣B)→行变换(I∣A−1B)(A | B) \xrightarrow{\text{行变换}} (I | A^{-1}B)

对于 XA=BXA = B：(AB)→列变换(IBA−1)\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{列变换}} \begin{pmatrix} I \\ BA^{-1} \end{pmatrix}

5.3 示例

设 A=(1235)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}，B=(1002)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}，解矩阵方程 AX=BAX = B。

∣A∣=5−6=−1|A| = 5 - 6 = -1

A−1=1−1(5−2−31)=(−523−1)A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

X=A−1B=(−523−1)(1002)=(−543−2)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

6. 逆矩阵的应用

6.1 解线性方程组

Ax=bAx = b，当 AA 可逆时，x=A−1bx = A^{-1}b。

6.2 判断矩阵可逆性

示例：设 AA 为 nn 阶方阵，A2−3A+2I=OA^2 - 3A + 2I = O，证明 AA 可逆并求 A−1A^{-1}。

由 A2−3A+2I=OA^2 - 3A + 2I = O 得 A(A−3I)=−2IA(A - 3I) = -2I，即 A⋅3I−A2=IA \cdot \dfrac{3I - A}{2} = I。

故 AA 可逆，且 A−1=3I−A2A^{-1} = \dfrac{3I - A}{2}。

6.3 证明矩阵可逆的常用方法

  1. 证明 ∣A∣≠0|A| \neq 0
  2. 找到矩阵 BB 使得 AB=IAB = I（或 BA=IBA = I）
  3. 利用 AA 满足的多项式方程
  4. 证明 AA 是初等矩阵的乘积