QR分解

9 minAdvanced2026/6/14

QR分解的定义与存在性，Gram-Schmidt方法，Householder变换方法，Givens旋转方法，QR分解的应用。

1. QR分解的定义

1.1 定义

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵（ $m \geq n$ ），若 $A$ 可以分解为：

$A = QR$

其中 $Q$ 为 $m \times n$ 矩阵，其列向量构成标准正交组（ $Q^TQ = I_n$ ）， $R$ 为 $n \times n$ 上三角矩阵，则称为 $A$ 的 QR 分解（瘦型 QR 分解）。

完全型 QR 分解： $A = QRP$ ，其中 $Q$ 为 $m \times m$ 正交矩阵， $R$ 为 $m \times n$ 上梯形矩阵。

1.2 存在条件

定理：若 $A$ 的列向量线性无关（ $r(A) = n$ ），则 $A$ 的 QR 分解存在。

2. Gram-Schmidt 方法

2.1 方法

对 $A$ 的列向量 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \ldots, \boldsymbol{a}_n$ 进行施密特正交化：

$\boldsymbol{q}_1 = \frac{\boldsymbol{a}_1}{\|\boldsymbol{a}_1\|}$

$\tilde{\boldsymbol{q}}_k = \boldsymbol{a}_k - \sum_{j=1}^{k-1}(\boldsymbol{a}_k, \boldsymbol{q}_j)\boldsymbol{q}_j, \quad \boldsymbol{q}_k = \frac{\tilde{\boldsymbol{q}}_k}{\|\tilde{\boldsymbol{q}}_k\|}$

则 $Q = (\boldsymbol{q}_1, \boldsymbol{q}_2, \ldots, \boldsymbol{q}_n)$ ， $R = Q^TA$ 。

$R$ 的元素： $r_{ij} = \boldsymbol{q}_i^T\boldsymbol{a}_j$ （ $i \leq j$ ）， $r_{ij} = 0$ （ $i > j$ ）。

2.2 示例

对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 进行 QR 分解。

$\boldsymbol{a}_1 = (1, 1, 1)^T$ ， $\boldsymbol{a}_2 = (1, 2, 3)^T$

$\boldsymbol{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)^T$

$\tilde{\boldsymbol{q}}_2 = (1, 2, 3)^T - \frac{6}{3}(1, 1, 1)^T = (-1, 0, 1)^T$

$\boldsymbol{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 0, 1)^T$

$Q = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{3} & 0 \\ 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$

$R = Q^TA = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 2\sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$

2.3 Gram-Schmidt 方法的数值问题

经典 Gram-Schmidt 方法在数值计算中可能不稳定（舍入误差累积）。改进的 Gram-Schmidt 方法（MGS）更稳定。

改进的 Gram-Schmidt：在每一步中，立即用已正交化的向量消去后续向量中的分量。

3. Householder 变换方法

3.1 Householder 变换

Householder 矩阵（初等反射矩阵）定义为：

$H = I - 2\frac{\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}^T}{\boldsymbol{v}^T\boldsymbol{v}}$

其中 $\boldsymbol{v}$ 为非零向量。

3.2 性质

$H$ 是对称矩阵： $H^T = H$
$H$ 是正交矩阵： $H^TH = I$
$H$ 是对合的： $H^2 = I$
$|H| = -1$
几何意义： $H\boldsymbol{x}$ 是 $\boldsymbol{x}$ 关于超平面 $\boldsymbol{v}^T\boldsymbol{x} = 0$ 的反射

3.3 构造 Householder 变换

给定向量 $\boldsymbol{x}$ ，要使 $H\boldsymbol{x} = \alpha\boldsymbol{e}_1$ ：

$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{x} - \alpha\boldsymbol{e}_1$

其中 $\alpha = -\text{sign}(x_1)\|\boldsymbol{x}\|$ （选择符号以避免相消）。

3.4 QR 分解的 Householder 方法

步骤：

构造 $H_1$ 使 $H_1 A$ 的第一列除第一个元素外全为零
对 $H_1 A$ 的右下子矩阵重复上述过程
最终 $H_{n-1} \cdots H_2 H_1 A = R$ （上三角）
$Q = H_1 H_2 \cdots H_{n-1}$

3.5 示例

对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 用 Householder 方法进行 QR 分解。

第一列 $\boldsymbol{a}_1 = (1, 1, 1)^T$ ， $\|\boldsymbol{a}_1\| = \sqrt{3}$

$\boldsymbol{v} = (1, 1, 1)^T - (-\sqrt{3}, 0, 0)^T = (1 + \sqrt{3}, 1, 1)^T$

$H_1 = I - 2\frac{\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}^T}{\boldsymbol{v}^T\boldsymbol{v}}$

$H_1 A$ 的第一列变为 $(-\sqrt{3}, 0, 0)^T$ ，对第二列做相应变换。

4. Givens 旋转方法

4.1 Givens 旋转

Givens 旋转矩阵 $G(i, j, \theta)$ 在 $i, j$ 平面上做旋转：

$G = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \cos\theta & & -\sin\theta & \\ & & 1 & & \\ & \sin\theta & & \cos\theta & \\ & & & & 1 \end{pmatrix}$

4.2 特点

Givens 旋转只改变两个分量
适合稀疏矩阵（只消去特定元素）
可以并行化

4.3 与 Householder 的比较

特点	Householder	Givens
每步消去	一列中多个元素	一个元素
计算量	较少	较多
稀疏矩阵	不够高效	高效
并行性	较差	较好