二次型的标准形

1. 二次型的定义

1.1 定义

含 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的二次齐次多项式：

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j(a_{ij}=a_{ji})$

称为 $n$ 元二次型。

1.2 矩阵表示

令 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$（$A$ 为实对称矩阵），$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$，则：

$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$

$A$ 称为二次型 $f$ 的矩阵，$A$ 的秩称为二次型的秩。

1.3 示例

将 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1{x}_2+4x_1{x}_3+3x_2^2+2x_2{x}_3+7x_3^2$ 写成矩阵形式。

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 3& 1\\ 2& 1& 7\end{array}\right)$

$f={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 3& 1\\ 2& 1& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$

注意：$a_{ij}$ 是 $x_i{x}_j$ 系数的一半（$i\ne j$ 时）。

2. 合同变换

2.1 合同的定义

设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $C$，使得：

$B=C^{T}AC$

则称 $A$ 与 $B$ 合同。

2.2 合同的性质

1. 自反性：$A$ 与 $A$ 合同
2. 对称性：$A$ 与 $B$ 合同 $\Rightarrow$ $B$ 与 $A$ 合同
3. 传递性：$A$ 与 $B$ 合同，$B$ 与 $C$ 合同 $\Rightarrow$ $A$ 与 $C$ 合同

2.3 合同与相似的关系

• 相似 $\Rightarrow$ 合同（$P^{-1}=P^T$ 时，即正交相似）
• 合同 $\nRightarrow$ 相似
• 正交相似 = 相似 + 合同

2.4 惯性定理

两个实对称矩阵合同 $⟺$ 它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

3. 配方法化标准形

3.1 标准形

二次型的标准形是只含平方项的形式：

$f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2$

3.2 配方法步骤

1. 若含 $x_i^2$ 项，将含 $x_i$ 的所有项集中，配方
2. 若不含 $x_i^2$ 项但含 $x_i{x}_j$ 项，先做变量替换产生平方项
3. 重复直到所有交叉项消除

3.3 示例

将 $f=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2^2+4x_2{x}_3+x_3^2$ 化为标准形。

配方：

$f=(x_1+x_2+x_3{)}^2+x_2^2+2x_2{x}_3$

$=(x_1+x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2-x_3^2$

令 $\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+x_2+x_3\\ y_2=x_2+x_3\\ y_3=x_3\end{array}$

标准形：$f=y_1^2+y_2^2-y_3^2$

3.4 无平方项的情形

将 $f=2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-6x_2{x}_3$ 化为标准形。

先做替换：$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_3=y_3$

$f=2(y_1+y_2)(y_1-y_2)+2(y_1+y_2)y_3-6(y_1-y_2)y_3$

$=2y_1^2-2y_2^2-4y_1{y}_3+8y_2{y}_3$

$=2(y_1-y_3{)}^2-2y_3^2-2y_2^2+8y_2{y}_3$

$=2(y_1-y_3{)}^2-2(y_2-2y_3{)}^2+6y_3^2$

4. 正交变换法化标准形

4.1 方法原理

对实对称矩阵 $A$，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T}AQ=\Lambda$。

令 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$（正交变换），则：

$f={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=(Q\mathbf{y}{)}^{T}A(Q\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T{Q}^{T}AQ\mathbf{y}={\mathbf{y}}^T\Lambda \mathbf{y}={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$

4.2 步骤

1. 写出二次型的矩阵 $A$
2. 求 $A$ 的特征值和特征向量
3. 将特征向量正交化、单位化，构造正交矩阵 $Q$
4. 令 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，标准形为 ${\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$

4.3 示例

将 $f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 用正交变换化为标准形。

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$

特征值：${\lambda }_1=4$，${\lambda }_2={\lambda }_3=1$

正交对角化后：

$f=4y_1^2+y_2^2+y_3^2$

4.4 正交变换的特点

• 正交变换保持向量的长度和角度不变
• 正交变换是刚体运动（旋转或反射）
• 标准形中的系数就是特征值

5. 两种方法的比较