二次型典型例题

1. 化标准形与规范形

例1

用配方法将 $f=x_1^2-2x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+4x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 化为标准形和规范形。

解：

$f=(x_1+x_2+2x_3{)}^2-x_2^2-4x_3^2-4x_2{x}_3-2x_2^2+x_3^2+2x_2{x}_3$

$=(x_1+x_2+2x_3{)}^2-3x_2^2-2x_2{x}_3-3x_3^2$

$=(x_1+x_2+2x_3{)}^2-3(x_2+\frac{1}{3}{x}_3{)}^2+\frac{1}{3}{x}_3^2-3x_3^2$

$=(x_1+x_2+2x_3{)}^2-3(x_2+\frac{1}{3}{x}_3{)}^2-\frac{8}{3}{x}_3^2$

标准形：$f=y_1^2-3y_2^2-\frac{8}{3}{y}_3^2$

规范形：$f=z_1^2-z_2^2-z_3^2$

正惯性指数 $p=1$，负惯性指数 $q=2$。

例2

用正交变换将 $f=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1{x}_2-4x_1{x}_3-8x_2{x}_3$ 化为标准形。

解：

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& -2\\ 2& 5& -4\\ -2& -4& 5\end{array}\right)$

$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & 2& -2\\ 2& 5-\lambda & -4\\ -2& -4& 5-\lambda \end{array}\right|=(10-\lambda )(1-\lambda {)}^2$

${\lambda }_1=10$，${\lambda }_2={\lambda }_3=1$

标准形：$f=10y_1^2+y_2^2+y_3^2$

2. 正定性判定

例3

判断 $f=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+2t{x}_1{x}_2+2x_1{x}_3+6x_2{x}_3$ 的正定性。

解：

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& t& 1\\ t& 4& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$

${\Delta }_1=1>0$

${\Delta }_2=4-t^2>0\Rightarrow |t|<2$

${\Delta }_3=|A|=1(4-9)-t(t-3)+1(3t-4)=-5-t^2+3t+3t-4=-t^2+6t-9=-(t-3{)}^2$

${\Delta }_3=-(t-3{)}^2\le 0$，等号在 $t=3$ 时成立。

但 $t=3$ 时 ${\Delta }_2=4-9=-5<0$，不满足。

故对任何 $t$，$f$ 都不是正定的。

例4

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，证明 $A+B$ 正定。

证明：对任意 $\mathbf{x}\ne 0$：

${\mathbf{x}}^T(A+B)\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}+{\mathbf{x}}^{T}B\mathbf{x}$

$A$ 正定：${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0$

$B$ 半正定：${\mathbf{x}}^{T}B\mathbf{x}\ge 0$

故 ${\mathbf{x}}^T(A+B)\mathbf{x}>0$，$A+B$ 正定。

3. 合同判定

例5

判断 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$ 是否合同。

解：$A$ 的特征值为 $3,-1$，$p=1,q=1$。

$B$ 的特征值为 $1,-3$，$p=1,q=1$。

$p$ 和 $q$ 相同，故 $A$ 与 $B$ 合同。

例6

设 $A$ 为三阶实对称矩阵，$r(A)=2$，$f={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$ 的规范形为 $y_1^2-y_2^2$，求 $A$ 的特征值。

解：规范形为 $y_1^2-y_2^2$，正惯性指数 $p=1$，负惯性指数 $q=1$，秩 $r=2$。

$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1>0$，${\lambda }_2<0$，${\lambda }_3=0$。

具体值无法确定，但符号为正、负、零。

4. 含参数二次型

例7

设 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\lambda x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2\mu x_2{x}_3$，当 $\lambda ,\mu$ 满足什么条件时，$f$ 正定？

解：

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& \lambda & 1\\ \lambda & 1& \mu \\ 1& \mu & 1\end{array}\right)$

${\Delta }_1=1>0$

${\Delta }_2=1-{\lambda }^2>0\Rightarrow |\lambda |<1$

${\Delta }_3=|A|=1(1-{\mu }^2)-\lambda (\lambda -\mu )+1(\lambda \mu -1)=1-{\mu }^2-{\lambda }^2+\lambda \mu +\lambda \mu -1=2\lambda \mu -{\lambda }^2-{\mu }^2=-(\lambda -\mu {)}^2$

${\Delta }_3>0\Rightarrow -(\lambda -\mu {)}^2>0$，不可能！

故 $f$ 不可能正定（除非 $\lambda =\mu$ 且 ${\Delta }_3=0$，此时半正定）。

实际上，$|A|=-(\lambda -\mu {)}^2\le 0$，$f$ 不可能正定。

例8

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1{x}_2$ 的秩为 2，求 $a$ 及正惯性指数。

解：

$A=\left(\begin{array}{ccc}1-a& 1+a& 0\\ 1+a& 1-a& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

$|A|=2[(1-a{)}^2-(1+a{)}^2]=2[(1-2a+a^2)-(1+2a+a^2)]=2\cdot (-4a)=-8a$

$r(A)=2\Rightarrow |A|=0\Rightarrow a=0$

当 $a=0$ 时：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

$r(A)=2$

特征值：$\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 1& 0\\ 1& 1-\lambda & 0\\ 0& 0& 2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )[(1-\lambda {)}^2-1]=(2-\lambda )\lambda (\lambda -2)=-\lambda (2-\lambda {)}^2$

${\lambda }_1=0$，${\lambda }_2=2$（二重）

正惯性指数 $p=2$。

5. 综合证明题

例9

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明 $A$ 正定 $⟺$ 存在可逆矩阵 $B$ 使得 $A=B^{T}B$。

证明：

$\Rightarrow$：$A$ 正定，合同于 $I$，存在可逆 $C$ 使得 $C^{T}AC=I$，$A=(C^{-1}{)}^T{C}^{-1}$，取 $B=C^{-1}$。

$\Leftarrow$：$A=B^{T}B$，${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}={\mathbf{x}}^T{B}^{T}B\mathbf{x}=\Vert B\mathbf{x}{\Vert }^2\ge 0$。$B$ 可逆，$\mathbf{x}\ne 0\Rightarrow B\mathbf{x}\ne 0\Rightarrow \Vert B\mathbf{x}{\Vert }^2>0$。$A$ 正定。

例10

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=1$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的椭球面，证明该椭球面的体积为 $V=\frac{{\omega }_n}{\sqrt{|A|}}$，其中 ${\omega }_n$ 是单位球的体积。

证明：$A=Q\Lambda Q^T$，令 $\mathbf{x}=Q{\Lambda }^{-1/2}\mathbf{y}$，则 ${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}={\mathbf{y}}^T\mathbf{y}=1$。

变换的雅可比行列式为 $|Q{\Lambda }^{-1/2}|=|\Lambda {|}^{-1/2}=|A{|}^{-1/2}$。

$V={\omega }_n\cdot |A{|}^{-1/2}=\frac{{\omega }_n}{\sqrt{|A|}}$。