矩阵的秩

1. 矩阵秩的定义

1.1 子式定义

在 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列（$k\le \min (m,n)$），位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素按原顺序组成的 $k$ 阶行列式，称为 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。

矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 定义为 $A$ 中非零子式的最高阶数。

即：$r(A)=r$ 意味着：

• $A$ 中存在一个 $r$ 阶非零子式
• $A$ 中所有 $r+1$ 阶子式（如果存在）都为零

1.2 行阶梯形定义

矩阵 $A$ 的秩等于其行阶梯形中非零行的行数。

1.3 行秩与列秩

• 行秩：矩阵行向量组的极大线性无关组所含向量的个数
• 列秩：矩阵列向量组的极大线性无关组所含向量的个数

定理：行秩 = 列秩 = 矩阵的秩。

2. 矩阵秩的求法

2.1 初等变换法

将矩阵 $A$ 用初等行变换化为行阶梯形，非零行的行数即为 $r(A)$。

示例：求 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$ 的秩。

$A\stackrel{r_2-2r_1,r_3-r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& -2& -3\end{array}\right)\stackrel{r_2\leftrightarrow r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& -1& -2& -3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

非零行有 2 行，故 $r(A)=2$。

2.2 子式法

从高阶到低阶寻找非零子式。若所有 $r+1$ 阶子式为零，但存在 $r$ 阶非零子式，则秩为 $r$。

此方法适用于低阶矩阵或特殊结构的矩阵。

3. 矩阵秩的重要性质

3.1 基本性质

1. $0\le r(A)\le \min (m,n)$
2. $r(A)=r(A^T)$
3. $r(A)=r(A^{T}A)=r(A{A}^T)$
4. $r(kA)=r(A)$（$k\ne 0$）
5. $A$ 可逆 $⟺r(A)=n$（$A$ 为 $n$ 阶方阵）

3.2 秩与初等变换

初等变换不改变矩阵的秩。

3.3 秩与矩阵乘法

1. $r(AB)\le \min (r(A),r(B))$
2. 若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B)$，$r(BA)=r(B)$
3. Sylvester 不等式：$r(A)+r(B)-n\le r(AB)$（$A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times p$）

3.4 秩与矩阵和

1. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
2. $r(A+B)\ge |r(A)-r(B)|$

3.5 秩与零空间

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则：

$r(A)+\text{dim}(N(A))=n$

其中 $N(A)=\{x\mid Ax=0\}$ 为 $A$ 的零空间（解空间）。

3.6 伴随矩阵的秩

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵（$n\ge 2$），则：

$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$

证明：

• 当 $r(A)=n$ 时，$|A|\ne 0$，$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}\ne 0$，故 $r(A^{\ast })=n$
• 当 $r(A)=n-1$ 时，$|A|=0$ 且存在 $n-1$ 阶非零子式，故 $A^{\ast }\ne O$；又 $A{A}^{\ast }=|A|I=O$，故 $r(A^{\ast })\le n-r(A)=1$，所以 $r(A^{\ast })=1$
• 当 $r(A)<n-1$ 时，所有 $n-1$ 阶子式为零，故 $A^{\ast }=O$，$r(A^{\ast })=0$

4. 秩的应用

4.1 判断线性方程组解的情况

对于 $Ax=b$（$A$ 为 $m\times n$ 矩阵）：

| 条件 | 解的情况 | | ----------- | -------- | -------- | | $r(A)=r(A|b)=n$ | 唯一解 | | $r(A)=r(A|b)<n$ | 无穷多解 | | $r(A)<r(A|b)$ | 无解 |

4.2 判断矩阵的可逆性

$A$ 可逆 $⟺r(A)=n$

4.3 判断向量组的线性相关性

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 为 $n$ 维向量，构造矩阵 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$：

• $r(A)=s$：线性无关
• $r(A)<s$：线性相关

4.4 矩阵方程 $AB=O$ 的秩关系

若 $AB=O$，则 $r(A)+r(B)\le n$（$A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times p$）。

推论：若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵且 $r(A)=n$，$AB=O$，则 $B=O$。

5. 典型例题

例1

设 $A$ 为 $4\times 3$ 矩阵，$r(A)=2$，$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$，求 $r(AB)$。

解：$B$ 为可逆矩阵，故 $r(AB)=r(A)=2$。

例2

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2=A$，证明 $r(A)+r(I-A)=n$。

证明：由 $A^2=A$ 得 $A(I-A)=O$，故 $r(A)+r(I-A)\le n$。

又 $A+(I-A)=I$，故 $n=r(I)\le r(A)+r(I-A)$。

因此 $r(A)+r(I-A)=n$。

例3

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，$AB=O$，证明 $r(A)+r(B)\le n$。

证明：$AB=O$ 意味着 $B$ 的列向量都是 $Ax=0$ 的解，即 $B$ 的列空间包含在 $A$ 的零空间中。

$\text{dim}(\text{col}(B))\le \text{dim}(N(A))=n-r(A)$

即 $r(B)\le n-r(A)$，故 $r(A)+r(B)\le n$。