线性相关性

1. 线性组合与线性表示

1.1 线性组合

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 是一组向量，$k_1,k_2,\dots ,k_s$ 是一组数，则

$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s$

称为 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的一个线性组合。

1.2 线性表示

若向量 $\mathbf{\beta }$ 可以表示为 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的线性组合：

$\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s$

则称 $\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表示。

1.3 线性表示的判定

$\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表示 $⟺$ 方程组 $x_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +x_s{\mathbf{\alpha }}_s=\mathbf{\beta }$ 有解 $⟺r({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)=r({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s,\mathbf{\beta })$

1.4 线性表示的性质

1. 零向量可由任何向量组线性表示（取所有系数为零）
2. 向量组中每个向量可由该向量组线性表示
3. 若 $\mathbf{\alpha }$ 可由 ${\mathbf{\beta }}_1,\dots ,{\mathbf{\beta }}_t$ 线性表示，而每个 ${\mathbf{\beta }}_i$ 可由 ${\mathbf{\gamma }}_1,\dots ,{\mathbf{\gamma }}_r$ 线性表示，则 $\mathbf{\alpha }$ 可由 ${\mathbf{\gamma }}_1,\dots ,{\mathbf{\gamma }}_r$ 线性表示（传递性）

2. 线性相关与线性无关

2.1 定义

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 是一组向量，若存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots ,k_s$，使得：

$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$

则称 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性相关。

否则，若上式仅在 $k_1=k_2=\cdots =k_s=0$ 时成立，则称 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性无关。

2.2 等价定义

线性相关：向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。

线性无关：向量组中没有任何一个向量可由其余向量线性表示。

2.3 判定方法

方法一：定义法

设 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$，判断是否只有零解。

方法二：行列式法（向量个数等于维数时）

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为 $n$ 个 $n$ 维向量，构造矩阵 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$：

• $|A|\ne 0$：线性无关
• $|A|=0$：线性相关

方法三：秩法

构造矩阵 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$：

• $r(A)=s$：线性无关
• $r(A)<s$：线性相关

2.4 特殊情形

1. 单个向量：$\mathbf{\alpha }$ 线性相关 $⟺\mathbf{\alpha }=0$
2. 两个向量：${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性相关 $⟺{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 成比例
3. 含零向量的向量组：一定线性相关
4. 向量个数大于维数：$s>n$ 时，$n$ 维向量组一定线性相关

3. 线性相关性的重要性质

3.1 部分组与整体组

1. 若部分组线性相关，则整体组线性相关
2. 若整体组线性无关，则任何部分组线性无关

逆否命题不成立：整体组线性相关，部分组未必线性相关。

3.2 扩充与缩短

1. 线性无关的向量组添加分量后仍线性无关（“无关组加维仍无关”）
2. 线性相关的向量组减少分量后仍线性相关（“相关组减维仍相关”）

3.3 向量个数与维数的关系

• $n$ 维向量组中，任意 $n+1$ 个向量必线性相关
• $n$ 个 $n$ 维向量线性无关 $⟺$ 它们构成的行列式不为零

3.4 替换定理

若 ${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性无关，且可由 ${\mathbf{\beta }}_1,\dots ,{\mathbf{\beta }}_t$ 线性表示，则 $s\le t$。

推论：两个等价的线性无关向量组所含向量个数相同。

4. 向量组的等价

4.1 定义

若向量组 (I) 中每个向量都可由向量组 (II) 线性表示，则称 (I) 可由 (II) 线性表示。

若 (I) 和 (II) 可以互相线性表示，则称 (I) 与 (II) 等价。

4.2 性质

1. 自反性：(I) 与 (I) 等价
2. 对称性：(I) 与 (II) 等价 $\Rightarrow$ (II) 与 (I) 等价
3. 传递性：(I) 与 (II) 等价，(II) 与 (III) 等价 $\Rightarrow$ (I) 与 (III) 等价

4.3 等价与秩

等价的向量组秩相同，但秩相同的向量组未必等价。

4.4 矩阵的行等价

两个矩阵行等价（可经初等行变换互化）$⟺$ 它们的行向量组等价。

5. 典型例题

例1

判断 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,2,3{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(2,4,6{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,1{)}^T$ 的线性相关性。

解：${\mathbf{\alpha }}_2=2{\mathbf{\alpha }}_1$，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性相关，从而 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关。

例2

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$，${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$，${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_1$，判断 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 的线性相关性。

解：设 $k_1{\mathbf{\beta }}_1+k_2{\mathbf{\beta }}_2+k_3{\mathbf{\beta }}_3=0$：

$(k_1+k_3){\mathbf{\alpha }}_1+(k_1+k_2){\mathbf{\alpha }}_2+(k_2+k_3){\mathbf{\alpha }}_3=0$

由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关：

$\{\begin{array}{l}{k}_1+k_3=0\\ k_1+k_2=0\\ k_2+k_3=0\end{array}$

系数行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=2\ne 0$，只有零解 $k_1=k_2=k_3=0$。

故 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 线性无关。

例3

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2$，${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3$，${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_1$，判断 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 的线性相关性。

解：${\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2+{\mathbf{\beta }}_3=({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2)+({\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3)+({\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_1)=0$

存在不全为零的系数 $(1,1,1)$，故 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 线性相关。