行列式典型例题

1. 化上三角法

例1

计算 $\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 4& 9& 16\\ 1& 8& 27& 64\end{array}\right|$

解：这是范德蒙德行列式，$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$。

$D={\prod }_{1\le j<i\le 4}(x_i-x_j)=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\times 2\times 3\times 1\times 2\times 1=12$

例2

计算 $\left|\begin{array}{cccc}3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right|$

解：各行之和为 $6$，将第 2、3、4 列加到第 1 列：

$D=\left|\begin{array}{cccc}6& 1& 1& 1\\ 6& 3& 1& 1\\ 6& 1& 3& 1\\ 6& 1& 1& 3\end{array}\right|=6\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right|$

各行减第一行：

$=6\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right|=6\times 1\times 2\times 2\times 2=48$

2. 递推法

例3

计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccccc}2& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\end{array}\right|$

解：按第一行展开：

$D_n=2D_{n-1}-1\cdot \left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 2& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2\end{array}\right|=2D_{n-1}-D_{n-2}$

即 $D_n-2D_{n-1}+D_{n-2}=0$，特征方程 $t^2-2t+1=0$，$(t-1{)}^2=0$。

通解 $D_n=(C_1+C_{2}n)\cdot 1^n=C_1+C_{2}n$。

由 $D_1=2$，$D_2=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3$，得 $C_1+C_2=2$，$C_1+2C_2=3$，解得 $C_1=C_2=1$。

故 $D_n=n+1$。

例4

计算 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|$

解：各行加到第一行，提取公因子 $a+(n-1)b$：

$D_n=[a+(n-1)b]\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|$

各行减第一行的 $b$ 倍：

$=[a+(n-1)b]\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& a-b& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a-b& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a-b\end{array}\right|$

$=[a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}$

3. 加边法

例5

计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1+a_2& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$（$a_i\ne 0$）

解：加边升阶：

$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 1+a_1& 1& \cdots & 1\\ 0& 1& 1+a_2& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 1& 1& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$

第一行乘 $(-1)$ 加到各行：

$=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ -1& a_1& 0& \cdots & 0\\ -1& 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -1& 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|$

第 $j+1$ 列乘 $\frac{1}{a_j}$ 加到第一列（$j=1,2,\dots ,n$）：

$=\left|\begin{array}{ccccc}1+{\sum }_{j=1}^n\frac{1}{a_j}& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& a_1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|=\left(1+{\sum }_{j=1}^n\frac{1}{a_j}\right){\prod }_{i=1}^n{a}_i$

4. 拆行（列）法

例6

计算 $\left|\begin{array}{ccc}1+a& b& c\\ b& 1+b& c\\ a& b& 1+c\end{array}\right|$

解：将第一列拆为 $(1,0,0{)}^T+(a,b,a{)}^T$：

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& 1+b& c\\ 0& b& 1+c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& 1+b& c\\ a& b& 1+c\end{array}\right|$

$=[(1+b)(1+c)-bc]+a\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=(1+b+c)+a=1+a+b+c$

5. 抽象行列式

例7

设 $A$ 为三阶方阵，$|A|=\frac{1}{2}$，求 $|(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }|$。

解：

$A^{\ast }=|A|A^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{-1}$

$(3A{)}^{-1}=\frac{1}{3}{A}^{-1}$

$(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }=\frac{1}{3}{A}^{-1}-2\cdot \frac{1}{2}{A}^{-1}=\frac{1}{3}{A}^{-1}-A^{-1}=-\frac{2}{3}{A}^{-1}$

$|(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }|=\left|-\frac{2}{3}{A}^{-1}\right|={\left(-\frac{2}{3}\right)}^3|A^{-1}|=-\frac{8}{27}\cdot \frac{1}{|A|}=-\frac{8}{27}\cdot 2=-\frac{16}{27}$

例8

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，$|A|=2$，$|B|=-3$，求 $|2A{B}^{-1}{A}^2|$。

解：

$|2A{B}^{-1}{A}^2|=2^n|A|\cdot |B^{-1}|\cdot |A{|}^2=2^n\cdot 2\cdot \frac{1}{-3}\cdot 4=-\frac{2^{n+3}}{3}$

例9

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 为三维列向量，$|A|=|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|=2$，求 $|{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_1|$。

解：

$\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2& {\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3& {\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{\alpha }}_1& {\mathbf{\alpha }}_2& {\mathbf{\alpha }}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1+1=2$

故 $|{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_1|=|A|\cdot 2=2\times 2=4$。

6. 证明题

例10

证明：奇数阶反对称行列式为零。

证明：设 $A$ 为 $n$ 阶反对称矩阵（$n$ 为奇数），则 $A^T=-A$。

$|A|=|A^T|=|-A|=(-1{)}^n|A|=-|A|$

故 $2|A|=0$，即 $|A|=0$。

例11

设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵（$A^{T}A=I$），证明 $|A|=\pm 1$。

证明：$|A^{T}A|=|I|=1$，又 $|A^{T}A|=|A^T|\cdot |A|=|A{|}^2$，故 $|A{|}^2=1$，$|A|=\pm 1$。

例12

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$A{A}^T=I$，$|A|<0$，证明 $|A+I|=0$。

证明：

$|A+I|=|A+A{A}^T|=|A(I+A^T)|=|A|\cdot |I+A^T|$

又 $|I+A^T|=|(I+A{)}^T|=|I+A|=|A+I|$，故：

$|A+I|=|A|\cdot |A+I|$

因为 $|A|<0\ne 1$，所以 $|A+I|=0$。

7. 代数余子式相关

例13

设 $D=\left|\begin{array}{cccc}3& 1& -1& 2\\ -5& 1& 3& -4\\ 2& 0& 1& -1\\ 1& -5& 3& -3\end{array}\right|$，求 $A_{31}+A_{32}+A_{33}+A_{34}$。

解：$A_{31}+A_{32}+A_{33}+A_{34}$ 相当于将第三行替换为 $(1,1,1,1)$ 后的行列式：

$\left|\begin{array}{cccc}3& 1& -1& 2\\ -5& 1& 3& -4\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& -5& 3& -3\end{array}\right|$

按第三行展开，计算得 $A_{31}+A_{32}+A_{33}+A_{34}=24$。

例14

设三阶行列式 $D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$，求 $M_{12}+M_{22}+M_{32}$。

解：$M_{12}=-A_{12}$，$M_{22}=A_{22}$，$M_{32}=-A_{32}$。

$M_{12}+M_{22}+M_{32}=-A_{12}+A_{22}-A_{32}$

这等于将第二列替换为 $(0,-1,0{)}^T$ 后的行列式取负：

$=-\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 4& -1& 6\\ 7& 0& 9\end{array}\right|=-[(-1)(9-21)]=-12$

例15

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|=a\ne 0$，求 $|A^{\ast }|$。

解：由 $A^{\ast }A=|A|I$，两边取行列式：

$|A^{\ast }|\cdot |A|=|A{|}^n$

故 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}=a^{n-1}$。