施密特正交化

1. 施密特正交化方法

1.1 问题提出

给定一组线性无关的向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_s$，如何构造一组与之等价的正交向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\dots ,{\mathbf{\beta }}_s$？

1.2 正交化公式

Gram-Schmidt 正交化步骤如下：

${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1$

${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1$

${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\alpha }}_3-\frac{({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1-\frac{({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_2)}{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)}{\mathbf{\beta }}_2$

一般地：

${\mathbf{\beta }}_k={\mathbf{\alpha }}_k-{\sum }_{j=1}^{k-1}\frac{({\mathbf{\alpha }}_k,{\mathbf{\beta }}_j)}{({\mathbf{\beta }}_j,{\mathbf{\beta }}_j)}{\mathbf{\beta }}_j,k=2,3,\dots ,s$

1.3 几何理解

每一步中，${\mathbf{\beta }}_k$ 是 ${\mathbf{\alpha }}_k$ 减去其在已正交化向量 ${\mathbf{\beta }}_1,\dots ,{\mathbf{\beta }}_{k-1}$ 上的投影：

${\mathbf{\beta }}_k={\mathbf{\alpha }}_k-{\text{proj}}_{\text{span}({\mathbf{\beta }}_1,\dots ,{\mathbf{\beta }}_{k-1})}{\mathbf{\alpha }}_k$

1.4 单位化

正交化后，将每个向量单位化：

${\mathbf{e}}_k=\frac{{\mathbf{\beta }}_k}{\Vert {\mathbf{\beta }}_k\Vert }$

得到标准正交向量组 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_s$。

1.5 完整示例

设 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,0{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_2=(1,0,1{)}^T$，${\mathbf{\alpha }}_3=(0,1,1{)}^T$，用施密特正交化求标准正交组。

步骤1：${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,0{)}^T$

步骤2：

${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1=(1,0,1{)}^T-\frac{1}{2}(1,1,0{)}^T={\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)}^T$

步骤3：

$({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_1)=1,({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_2)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$

$({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1=\frac{3}{2}$

${\mathbf{\beta }}_3=(0,1,1{)}^T-\frac{1}{2}(1,1,0{)}^T-\frac{1/2}{3/2}{\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)}^T$

$=(0,1,1{)}^T-{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)}^T-{\left(\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{3}\right)}^T={\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)}^T$

步骤4：单位化

$\Vert {\mathbf{\beta }}_1\Vert =\sqrt{2},\Vert {\mathbf{\beta }}_2\Vert =\sqrt{3/2},\Vert {\mathbf{\beta }}_3\Vert =\frac{2\sqrt{3}}{3}$

${\mathbf{e}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^T,{\mathbf{e}}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2{)}^T,{\mathbf{e}}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1{)}^T$

2. 正交矩阵

2.1 定义

$n$ 阶实方阵 $A$ 称为正交矩阵，若：

$A^{T}A=I\text{或}{A}^{-1}=A^T$

2.2 等价条件

以下条件等价：

1. $A$ 是正交矩阵
2. $A^{T}A=I$
3. $A{A}^T=I$
4. $A^{-1}=A^T$
5. $A$ 的列向量构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基
6. $A$ 的行向量构成 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基

2.3 正交矩阵的性质

1. $|A|=\pm 1$
2. $A^{-1}$ 也是正交矩阵
3. $A^T$ 也是正交矩阵
4. 两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵
5. 正交变换保持内积：$(A\mathbf{\alpha },A\mathbf{\beta })=(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })$
6. 正交变换保持长度：$\Vert A\mathbf{\alpha }\Vert =\Vert \mathbf{\alpha }\Vert$
7. 正交变换保持距离和角度

2.4 正交变换的几何意义

正交矩阵表示的线性变换是刚体运动（旋转或旋转加反射）：

• $|A|=1$：旋转
• $|A|=-1$：旋转加反射（镜像）

2.5 常见正交矩阵

二维旋转矩阵：

$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

置换矩阵：每行每列恰好有一个1，其余为0。

3. 正交矩阵的构造

3.1 由标准正交基构造

将 $n$ 个 $n$ 维标准正交向量按列排列即得正交矩阵。

3.2 由施密特正交化构造

对任意可逆矩阵 $A$ 的列向量进行施密特正交化，得到正交矩阵 $Q$，且 $A=QR$（QR分解）。

4. 施密特正交化的应用

4.1 构造标准正交基

将向量空间的任意一组基正交化，得到标准正交基。

4.2 QR 分解

任意 $m\times n$ 矩阵（$m\ge n$，列满秩）可分解为 $A=QR$，其中 $Q$ 是 $m\times n$ 的列正交矩阵，$R$ 是 $n\times n$ 的上三角矩阵。

4.3 最小二乘法

求超定方程组 $Ax\approx b$ 的最小二乘解，等价于求解正规方程 $A^{T}Ax=A^{T}b$。利用 QR 分解可以简化计算。

4.4 实对称矩阵的正交对角化

对实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量，自动正交；同一特征值对应的特征向量需要用施密特正交化。

5. 典型例题

例1

验证 $A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& -\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$ 是正交矩阵。

解：验证 $A^{T}A=I$：

$A^{T}A$ 的 $(1,1)$ 元素 $=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$

$A^{T}A$ 的 $(1,2)$ 元素 $=\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}}+0=0$

（其余类似验证）

例2

设 $A$ 为正交矩阵，$|A|=-1$，证明 $|A+I|=0$。

证明：

$|A+I|=|A+A{A}^T|=|A(I+A^T)|=|A|\cdot |I+A^T|$

$=-|I+A^T|=-|(I+A{)}^T|=-|I+A|=-|A+I|$

故 $2|A+I|=0$，$|A+I|=0$。