矩阵对角化

1. 相似矩阵

1.1 定义

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $P$，使得：

$B=P^{-1}AP$

则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$。

1.2 相似关系的性质

1. 自反性：$A\sim A$
2. 对称性：$A\sim B\Rightarrow B\sim A$
3. 传递性：$A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C$

1.3 相似矩阵的共同性质

若 $A\sim B$，则：

1. $|A|=|B|$
2. $\text{tr}(A)=\text{tr}(B)$
3. $r(A)=r(B)$
4. $A$ 和 $B$ 有相同的特征值（含重数）
5. $|A-\lambda I|=|B-\lambda I|$（特征多项式相同）
6. $A$ 可逆 $⟺$ $B$ 可逆
7. $A^k\sim B^k$
8. $f(A)\sim f(B)$（$f$ 为多项式）

1.4 相似的必要条件

以上性质都是相似的必要条件，但不是充分条件。两个矩阵有相同的特征值不一定相似。

反例：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

特征值都是 $1,1$，但 $A$ 不相似于 $B$（$A=I$ 只与自身相似）。

2. 矩阵可对角化的条件

2.1 定义

若 $A$ 相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（对角矩阵），则称 $A$ 可对角化。

2.2 可对角化的等价条件

以下条件等价：

1. $A$ 可对角化
2. $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
3. 每个特征值的几何重数等于代数重数

2.3 充分条件

1. $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值 $\Rightarrow$ $A$ 可对角化
2. $A$ 为实对称矩阵 $\Rightarrow$ $A$ 可对角化（且可正交对角化）

2.4 不可对角化的情形

若某个特征值的几何重数小于代数重数，则 $A$ 不可对角化。

示例：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

特征值 $\lambda =1$（二重），$A-I=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，$r(A-I)=1$。

几何重数 $=2-1=1<2=$ 代数重数，故 $A$ 不可对角化。

3. 对角化的步骤

3.1 步骤

1. 求出 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$
2. 对每个特征值 ${\lambda }_i$，求 $(A-{\lambda }_{i}I)\mathbf{x}=0$ 的基础解系
3. 判断是否有 $n$ 个线性无关的特征向量
4. 若有，以这 $n$ 个特征向量为列构造 $P$，则 $P^{-1}AP=\Lambda$

3.2 完整示例

将 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 6& -11& 6\end{array}\right)$ 对角化。

步骤1：特征值 ${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=2$，${\lambda }_3=3$。

步骤2：

对 ${\lambda }_1=1$：$(A-I)\mathbf{x}=0$

$\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 6& -11& 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& -5& 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\mathbf{x}}_1=(1,1,1{)}^T$

对 ${\lambda }_2=2$：$(A-2I)\mathbf{x}=0$

$\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ 0& -2& 1\\ 6& -11& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1/4\\ 0& 1& -1/2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\mathbf{x}}_2=(1,2,4{)}^T$

对 ${\lambda }_3=3$：$(A-3I)\mathbf{x}=0$

$\left(\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ 0& -3& 1\\ 6& -11& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1/9\\ 0& 1& -1/3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\mathbf{x}}_3=(1,3,9{)}^T$

步骤3：三个特征值互不相同，特征向量线性无关。

步骤4：

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

$P^{-1}AP=\Lambda$

4. 对角化的应用

4.1 求矩阵的幂

若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$。

示例：设 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，求 $A^{10}$。

$A$ 的特征值为 $1,3$，特征向量 $(1,-1{)}^T,(1,1{)}^T$。

$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

$A^{10}=P{\Lambda }^{10}{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3^{10}\end{array}\right)\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1+3^{10}& -1+3^{10}\\ -1+3^{10}& 1+3^{10}\end{array}\right)$

4.2 求矩阵多项式

若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $f(A)=Pf(\Lambda )P^{-1}$。

4.3 解微分方程组

$\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}$ 的通解为 $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$。

若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $e^{At}=P{e}^{\Lambda t}{P}^{-1}$。

5. 典型例题

例1

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，判断 $A$ 是否可对角化。

解：特征值 ${\lambda }_1=1$（二重），${\lambda }_2=2$。

对 ${\lambda }_1=1$：$A-I=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r(A-I)=1$，几何重数 $=3-1=2=$ 代数重数。

对 ${\lambda }_2=2$：$A-2I=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(A-2I)=2$，几何重数 $=3-2=1=$ 代数重数。

$A$ 可对角化。

例2

设 $A\sim B$，$A$ 的特征值为 $1,2,3$，求 $B^{-1}$ 的特征值。

解：$B$ 与 $A$ 有相同的特征值 $1,2,3$。$B^{-1}$ 的特征值为 $1,1/2,1/3$。